I1M2011: Un programa en Haskell para decidir tautologías
En la clase de hoy de Informática de 1º del Grado en Matemáticas se ha estudiado cómo definir el tipo de las fórmulas proposicionales y, trabajando con dicho tipo, construir un programa para determinar si una fórmula es una tautología.
El código correspondiente es
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import Data.List (nub) -- Las fórmulas proposicionales se definen por: -- * Las constantes booleanas son fórmulas proposicionales. -- * Las fórmulas atómicas son fórmulas proposicionales. -- * Si F es una fómula proposicional, entonces -F también los es. -- * Si F y F son fórmulas proposicionales, entonces (F /\ G) y -- (F -> G) también lo son. data Prop = Const Bool | Var Char | Neg Prop | Conj Prop Prop | Impl Prop Prop deriving Show -- Ejemplos de representación de fórmulas proposicionales: Las fórmulas -- * p1 := A /\ -A -- * p2 := (A /\ B) -> A -- * p3 := A -> (A /\ B) -- * p4 := (A -> (A -> B)) -> B -- se representan por p1, p2, p3, p4 :: Prop p1 = Conj (Var 'A') (Neg (Var 'A')) p2 = Impl (Conj (Var 'A') (Var 'B')) (Var 'A') p3 = Impl (Var 'A') (Conj (Var 'A') (Var 'B')) p4 = Impl (Conj (Var 'A') (Impl (Var 'A') (Var 'B'))) (Var 'B') -- Las interpretaciones son listas formadas por el nombre de una -- variable proposicional y un valor de verdad. type Interpretacion = Asoc Char Bool -- (valor i p) es el valor de la proposición p en la interpretación -- i. Por ejemplo, -- valor [('A',False),('B',True)] p3 => True -- valor [('A',True),('B',False)] p3 => False valor :: Interpretacion -> Prop -> Bool valor _ (Const b) = b valor i (Var x) = busca x i valor i (Neg p) = not (valor i p) valor i (Conj p q) = valor i p && valor i q valor i (Impl p q) = valor i p <= valor i q -- (variables p) es la lista de los nombres de las variables de la -- fórmula p. Por ejemplo, -- variables p3 == "AAB" variables :: Prop -> [Char] variables (Const _) = [] variables (Var x) = [x] variables (Neg p) = variables p variables (Conj p q) = variables p ++ variables q variables (Impl p q) = variables p ++ variables q -- (interpretacionesVar n) es la lista de las interpretaciones con n -- variables. Por ejemplo, -- *Main> interpretacionesVar 2 -- [[False,False], -- [False,True], -- [True,False], -- [True,True]] interpretacionesVar :: Int -> [[Bool]] interpretacionesVar 0 = [[]] interpretacionesVar (n+1) = map (False:) bss ++ map (True:) bss where bss = interpretacionesVar n -- (interpretaciones p) es la lista de las interpretaciones de la -- fórmula p. Por ejemplo, -- *Main> interpretaciones p3 -- [[('A',False),('B',False)], -- [('A',False),('B',True)], -- [('A',True),('B',False)], -- [('A',True),('B',True)]] interpretaciones :: Prop -> [Interpretacion] interpretaciones p = map (zip vs) (interpretacionesVar (length vs)) where vs = nub (variables p) -- Una definición alternativa es interpretaciones' :: Prop -> [Interpretacion] interpretaciones' p = [zip vs i | i <- is] where vs = nub (variables p) is = (interpretacionesVar (length vs)) -- (esTautologia p) se verifica si la fórmula p es una tautología. Por -- ejemplo, -- esTautologia p1 => False -- esTautologia p2 => True -- esTautologia p3 => False -- esTautologia p4 => True esTautologia :: Prop -> Bool esTautologia p = and [valor i p | i <- interpretaciones p] |
Las transparencias usadas en la clase son las del tema 9 (páginas 25-33):