I1M2011: El 2011 y los números primos
En la segunda parte de la clase de hoy de Informática de 1º del Grado en Matemáticas se han explicado las soluciones de los ejercicios de la 14ª relación sobre propiedades del número 2011 relacionadas con números primos.
Los ejercicios, y sus soluciones, se muestran a continuación.
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-- --------------------------------------------------------------------- -- Introducción -- -- --------------------------------------------------------------------- -- Cada comienzo de año se suelen buscar propiedades numéricas del -- número del año. En el 2011 se han buscado propiedades que relacionan -- el 2011 y los números primos. En este ejercicio vamos a realizar la -- búsqueda de dichas propiedades con Haskell. import Data.List (sort) -- La criba de Erastótenes es un método para calcular números primos. Se -- comienza escribiendo todos los números desde 2 hasta (supongamos) -- 100. El primer número (el 2) es primo. Ahora eliminamos todos los -- múltiplos de 2. El primero de los números restantes (el 3) también es -- primo. Ahora eliminamos todos los múltiplos de 3. El primero de los -- números restantes (el 5) también es primo ... y así -- sucesivamente. Cuando no quedan números, se han encontrado todos los -- números primos en el rango fijado. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 1. Definir la función -- elimina :: Int -> [Int] -> [Int] -- tal que (elimina n xs) es la lista obtenida eliminando en la lista xs -- los múltiplos de n. Por ejemplo, -- elimina 3 [2,3,8,9,5,6,7] == [2,8,5,7] -- --------------------------------------------------------------------- -- Por comprensión: elimina :: Int -> [Int] -> [Int] elimina n xs = [ x | x <- xs, x `mod` n /= 0 ] -- Por recursión: eliminaR :: Int -> [Int] -> [Int] eliminaR n [] = [] eliminaR n (x:xs) | mod x n == 0 = eliminaR n xs | otherwise = x : eliminaR n xs -- Por plegado: eliminaP :: Int -> [Int] -> [Int] eliminaP n = foldr f [] where f x y | mod x n == 0 = y | otherwise = x:y -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 2. Definir la función -- criba :: [Int] -> [Int] -- tal que (criba xs) es la lista obtenida cribando la lista xs con el -- método descrito anteriormente. Por ejemplo, -- criba [2..20] == [2,3,5,7,11,13,17,19] -- take 10 (criba [2..]) == [2,3,5,7,11,13,17,19,23,29] -- --------------------------------------------------------------------- criba :: [Int] -> [Int] criba [] = [] criba (n:ns) = n : criba (elimina n ns) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 3. Definir la función -- primos :: [Int] -- cuyo valor es la lista de los números primos. Por ejemplo, -- take 10 primos == [2,3,5,7,11,13,17,19,23,29] -- --------------------------------------------------------------------- primos :: [Int] primos = criba [2..] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 4. Definir la función -- esPrimo :: Int -> Bool -- tal que (esPrimo n) se verifica si n es primo. Por ejemplo, -- esPrimo 7 == True -- esPrimo 9 == False -- --------------------------------------------------------------------- esPrimo :: Int -> Bool esPrimo n = head (dropWhile (<n) primos) == n -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 5. Comprobar que 2011 es primo. -- --------------------------------------------------------------------- -- La comprobación es -- ghci> esPrimo 2011 -- True -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 6. Definir la función -- prefijosConSuma :: [Int] -> Int -> [[Int]] -- tal que (prefijosConSuma xs n) es la lista de los prefijos de xs cuya -- suma es n. Por ejemplo, -- prefijosConSuma [1..10] 3 == [[1,2]] -- prefijosConSuma [1..10] 4 == [] -- --------------------------------------------------------------------- prefijosConSuma :: [Int] -> Int -> [[Int]] prefijosConSuma [] 0 = [[]] prefijosConSuma [] n = [] prefijosConSuma (x:xs) n | x < n = [x:ys | ys <- prefijosConSuma xs (n-x)] | x == n = [[x]] | x > n = [] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 7. Definir la función -- consecutivosConSuma :: [Int] -> Int -> [[Int]] -- (consecutivosConSuma xs n) es la lista de los elementos consecutivos -- de xs cuya suma es n. Por ejemplo, -- consecutivosConSuma [1..10] 9 == [[2,3,4],[4,5],[9]] -- --------------------------------------------------------------------- consecutivosConSuma :: [Int] -> Int -> [[Int]] consecutivosConSuma [] 0 = [[]] consecutivosConSuma [] n = [] consecutivosConSuma (x:xs) n = (prefijosConSuma (x:xs) n) ++ (consecutivosConSuma xs n) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 8. Definir la función -- primosConsecutivosConSuma :: Int -> [[Int]] -- tal que (primosConsecutivosConSuma n) es la lista de los números -- primos consecutivos cuya suma es n. Por ejemplo, -- ghci> primosConsecutivosConSuma 41 -- [[2,3,5,7,11,13],[11,13,17],[41]] -- --------------------------------------------------------------------- primosConsecutivosConSuma :: Int -> [[Int]] primosConsecutivosConSuma n = consecutivosConSuma (takeWhile (<=n) primos) n -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 9. Calcular las descomposiciones de 2011 como sumas de -- primos consecutivos. -- --------------------------------------------------------------------- -- El cálculo es -- ghci> primosConsecutivosConSuma 2011 -- [[157,163,167,173,179,181,191,193,197,199,211],[661,673,677],[2011]] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 10. Definir la función -- propiedad1 :: Int -> Bool -- tal que (propiedad1 n) se verifica si n sólo se puede expresar como -- sumas de 1, 3 y 11 primos consecutivos. Por ejemplo, -- propiedad1 2011 == True -- propiedad1 2010 == False -- --------------------------------------------------------------------- propiedad1 :: Int -> Bool propiedad1 n = sort (map length (primosConsecutivosConSuma n)) == [1,3,11] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 11. Calcular los años hasta el 3000 que cumplen la -- propiedad1. -- --------------------------------------------------------------------- -- El cálculo es -- ghci> [n | n <- [1..3000], propiedad1 n] -- [883,2011] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 12. Definir la función -- sumaCifras :: Int -> Int -- tal que (sumaCifras x) es la suma de las cifras del número x. Por -- ejemplo, -- sumaCifras 254 == 11 -- --------------------------------------------------------------------- sumaCifras :: Int -> Int sumaCifras x = sum [read [y] | y <- show x] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 13. Definir la función -- sumaCifrasLista :: [Int] -> Int -- tal que (sumaCifrasLista xs) es la suma de las cifras de la lista de -- números xs. Por ejemplo, -- sumaCifrasLista [254, 61] == 18 -- --------------------------------------------------------------------- -- Por comprensión: sumaCifrasLista :: [Int] -> Int sumaCifrasLista xs = sum [sumaCifras y | y <- xs] -- Por recursión: sumaCifrasListaR :: [Int] -> Int sumaCifrasListaR [] = 0 sumaCifrasListaR (x:xs) = sumaCifras x + sumaCifrasListaR xs -- Por plegado: sumaCifrasListaP :: [Int] -> Int sumaCifrasListaP = foldr f 0 where f x y = sumaCifras x + y -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 14. Definir la función -- propiedad2 :: Int -> Bool -- tal que (propiedad2 n) se verifica si n puede expresarse como suma de -- 11 primos consecutivos y la suma de las cifras de los 11 sumandos es -- un número primo. Por ejemplo, -- propiedad2 2011 == True -- propiedad2 2000 == False -- --------------------------------------------------------------------- propiedad2 :: Int -> Bool propiedad2 n = [xs | xs <- primosConsecutivosConSuma n, length xs == 11, esPrimo (sumaCifrasLista xs)] /= [] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 15. Calcular el primer año que cumple la propiedad1 y la -- propiedad2. -- --------------------------------------------------------------------- -- El cálculo es -- ghci> head [n | n <- [1..], propiedad1 n, propiedad2 n] -- 2011 -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 16. Definir la función -- propiedad3 :: Int -> Bool -- tal que (propiedad3 n) se verifica si n puede expresarse como suma de -- tantos números primos consecutivos como indican sus dos últimas -- cifras. Por ejemplo, -- propiedad3 2011 == True -- propiedad3 2000 == False -- --------------------------------------------------------------------- propiedad3 :: Int -> Bool propiedad3 n = [xs | xs <- primosConsecutivosConSuma n, length xs == a] /= [] where a = mod n 100 -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 17. Calcular el primer año que cumple la propiedad1 y la -- propiedad3. -- --------------------------------------------------------------------- -- El cálculo es -- ghci> head [n | n <- [1..], propiedad1 n, propiedad3 n] -- 2011 -- Hemos comprobado que 2011 es el menor número que cumple las -- propiedades 1 y 2 y también es el menor número que cumple las -- propiedades 1 y 3. |