I1M2011: Ejercicios de exámenes del curso 2010-11

En primera parte de la clase de hoy de Informática de 1º del Grado en Matemáticas se han explicado las soluciones de los ejercicios de la 16ª relación sobre ejercicios de exámenes del curso 2010-11 correspondientes a los 9 primeros temas del curso.

Los ejercicios, y sus soluciones, se muestran a continuación.

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-- Importación de librerías auxiliares                                  
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import Data.List
import Test.QuickCheck

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-- Ejercicio 1. Definir por recursión la función 
--    sumaR :: Num b => (a -> b) -> [a] -> b
-- tal que (suma f xs) es la suma de los valores obtenido aplicando la
-- función f a lo elementos de la lista xs. Por ejemplo,
--    sumaR (*2)  [3,5,10]  ==  36
--    sumaR (/10) [3,5,10]  ==  1.8
 -- ---------------------------------------------------------------------

sumaR :: Num b => (a -> b) -> [a] -> b
sumaR f []     = 0
sumaR f (x:xs) = f x + sumaR f xs 

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 2. Definir por plegado la función 
--    sumaP :: Num b => (a -> b) -> [a] -> b
-- tal que (suma f xs) es la suma de los valores obtenido aplicando la
-- función f a lo elementos de la lista xs. Por ejemplo,
--    sumaP (*2)  [3,5,10]  ==  36
--    sumaP (/10) [3,5,10]  ==  1.8
-- ---------------------------------------------------------------------

sumaP :: Num b => (a -> b) -> [a] -> b
sumaP f = foldr (\x y -> (f x) + y) 0

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 3. El enunciado del problema 1 de la Olimpiada
-- Iberoamericana de Matemática Universitaria del 2006 es el siguiente:
--    Sean m y n números enteros mayores que 1. Se definen los conjuntos 
--    P(m) = {1/m, 2/m,..., (m-1)/m} y P(n) = {1/n, 2/n,..., (n-1)/n}.
--    Encontrar la distancia entre P(m) y P(n), que se define como
--    mín {|a - b| : a en P(m), b en P(n)}.
-- Definir la función  
--    distancia :: Float -> Float -> Float
-- tal que (distancia m n) es la distancia entre P(m) y P(n). Por
-- ejemplo, 
--    distancia 2 7 == 7.142857e-2
--    distancia 2 8 == 0.0
-- ---------------------------------------------------------------------

distancia :: Float -> Float -> Float
distancia m n = 
    minimum [abs (i/m - j/n) | i <- [1..m-1], j <- [1..n-1]]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 4. El enunciado del problema 580 de "Números y
-- algo más.." es el siguiente: 
--    ¿Cuál es el menor número que puede expresarse como la suma de 9,
--    10 y 11 números consecutivos?  
-- (El problema se encuentra en http://goo.gl/1K3t7 )
-- A lo largo de los distintos apartados de este ejercicio se resolverá
-- el problema.
-- ---------------------------------------------------------------------

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-- Ejercicio 4.1. Definir la función
--    consecutivosConSuma :: Int -> Int -> [[Int]]
-- tal que (consecutivosConSuma x n) es la lista de listas de n números
-- consecutivos cuya suma es x. Por ejemplo,
--    consecutivosConSuma 12 3  ==  [[3,4,5]]
--    consecutivosConSuma 10 3  ==  []
-- ---------------------------------------------------------------------

consecutivosConSuma :: Int -> Int -> [[Int]]
consecutivosConSuma x n = 
    [[y..y+n-1] | y <- [1..x], sum [y..y+n-1] == x]

-- Se puede hacer una definición sin búsqueda, ya que por la fórmula de
-- la suma de progresiones aritméticas, la expresión
--    sum [y..y+n-1] == x
-- se reduce a
--    (y+(y+n-1))n/2 = x
-- De donde se puede despejar la y, ya que
--    2yn+n^2-n = 2x
--    y = (2x-n^2+n)/2n
-- De la anterior anterior se obtiene la siguiente definición de
-- consecutivosConSuma que no utiliza búsqueda.

consecutivosConSuma' :: Int -> Int -> [[Int]]
consecutivosConSuma' x n
    | z >= 0 && mod z (2*n) == 0 = [[y..y+n-1]]
    | otherwise                  = []
    where z = 2*x-n^2+n
          y = div z (2*n)

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 4.2. Definir la función 
--    esSuma :: Int -> Int -> Bool
-- tal que (esSuma x n) se verifica si x es la suma de n números
-- naturales consecutivos. Por ejemplo,
--    esSuma 12 3  ==  True
--    esSuma 10 3  ==  False
-- ---------------------------------------------------------------------

esSuma :: Int -> Int -> Bool
esSuma x n = consecutivosConSuma x n /= []

-- También puede definirse directamente sin necesidad de
-- consecutivosConSuma como se muestra a continuación.
esSuma' :: Int -> Int -> Bool
esSuma' x n = or [sum [y..y+n-1] == x | y <- [1..x]]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 4.3. Definir la función
--    menorQueEsSuma :: [Int] -> Int
-- tal que (menorQueEsSuma ns) es el menor número que puede expresarse
-- como suma de tantos números consecutivos como indica ns. Por ejemplo, 
--    menorQueEsSuma [3,4]  ==  18
-- Lo que indica que 18 es el menor número se puede escribir como suma
-- de 3 y de 4 números consecutivos. En este caso, las sumas son 
-- 18 = 5+6+7 y 18 = 3+4+5+6.
-- ---------------------------------------------------------------------

menorQueEsSuma :: [Int] -> Int
menorQueEsSuma ns = 
    head [x | x <- [1..], and [esSuma x n | n <- ns]]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 4.4. Usando la función menorQueEsSuma calcular el menor
-- número que puede expresarse como la suma de 9, 10 y 11 números
-- consecutivos.
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-- La solución es
--    *Main> menorQueEsSuma [9,10,11]
--    495

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-- Ejercicio 5. (Problema 303 del proyecto Euler) Definir la función
--    multiplosRestringidos :: Int -> (Int -> Bool) -> [Int]
-- tal que (multiplosRestringidos n x) es la lista de los múltiplos de n
-- tales que todas sus cifras verifican la propiedad p. Por ejemplo, 
--    take 4 (multiplosRestringidos 5 (<=3))  ==  [10,20,30,100]
--    take 5 (multiplosRestringidos 3 (<=4))  ==  [3,12,21,24,30]
--    take 5 (multiplosRestringidos 3 even)   ==  [6,24,42,48,60]
-- ---------------------------------------------------------------------

multiplosRestringidos :: Int -> (Int -> Bool) -> [Int]
multiplosRestringidos n p = 
    [y | y <- [n,2*n..], all p (cifras y)]

-- (cifras n) es la lista de las cifras de n, Por ejemplo, 
--    cifras 327  ==  [3,2,7]
cifras :: Int -> [Int]
cifras n = [read [x] | x <- show n]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 6. Definir la función
--    sumaDeDosPrimos :: Int -> [(Int,Int)]
-- tal que (sumaDeDosPrimos n) es la lista de las distintas
-- descomposiciones de n como suma de dos números primos. Por ejemplo, 
--    sumaDeDosPrimos 30  ==  [(7,23),(11,19),(13,17)]
-- Calcular, usando la función sumaDeDosPrimos, el menor número que
-- puede escribirse de 10 formas distintas como suma de dos primos.
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sumaDeDosPrimos :: Int -> [(Int,Int)]
sumaDeDosPrimos n = 
    [(x,n-x) | x <- primosN, x < n-x, elem (n-x) primosN]
    where primosN = takeWhile (<=n) primos

primos :: [Int]
primos = criba [2..]
    where criba []     = []
          criba (n:ns) = n : criba (elimina n ns)
          elimina n xs = [x | x <- xs, x `mod` n /= 0]

-- El cálculo es
--    ghci> head [x | x <- [1..], length (sumaDeDosPrimos x) == 10]
--    114

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-- Ejercicio 7. [2 puntos] Definir la función
--    segmentos :: (a -> Bool) -> [a] -> [a]
-- tal que (segmentos p xs) es la lista de los segmentos de xs cuyos
-- elementos verifican la propiedad p. Por ejemplo,
--    segmentos even [1,2,0,4,5,6,48,7,2]  ==  [[],[2,0,4],[6,48],[2]]
-- ---------------------------------------------------------------------

segmentos :: (a -> Bool) -> [a] -> [[a]]
segmentos _ [] = []
segmentos p xs = 
    takeWhile p xs : (segmentos p (dropWhile (not.p) (dropWhile p xs)))

100

101

102

103

104

105

106

107

108

109

110

111

112

113

114

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116

117

118

119

120

121

122

123

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125

126

127

128

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130

131

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168

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178

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180

181

182

183

184

185

186

187

188

189

190

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-- Importación de librerías auxiliares

-- ---------------------------------------------------------------------

import Data.List

import Test.QuickCheck

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-- Ejercicio 1. Definir por recursión la función

-- sumaR :: Num b => (a -> b) -> [a] -> b

-- tal que (suma f xs) es la suma de los valores obtenido aplicando la

-- función f a lo elementos de la lista xs. Por ejemplo,

-- sumaR (*2) [3,5,10] == 36

-- sumaR (/10) [3,5,10] == 1.8

-- ---------------------------------------------------------------------

sumaR :: Num b => (a -> b) -> [a] -> b

sumaR f [] = 0

sumaR f (x:xs) = f x + sumaR f xs

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 2. Definir por plegado la función

-- sumaP :: Num b => (a -> b) -> [a] -> b

-- tal que (suma f xs) es la suma de los valores obtenido aplicando la

-- función f a lo elementos de la lista xs. Por ejemplo,

-- sumaP (*2) [3,5,10] == 36

-- sumaP (/10) [3,5,10] == 1.8

-- ---------------------------------------------------------------------

sumaP :: Num b => (a -> b) -> [a] -> b

sumaP f = foldr (\x y -> (f x) + y) 0

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 3. El enunciado del problema 1 de la Olimpiada

-- Iberoamericana de Matemática Universitaria del 2006 es el siguiente:

-- Sean m y n números enteros mayores que 1. Se definen los conjuntos

-- P(m) = {1/m, 2/m,..., (m-1)/m} y P(n) = {1/n, 2/n,..., (n-1)/n}.

-- Encontrar la distancia entre P(m) y P(n), que se define como

-- mín {|a - b| : a en P(m), b en P(n)}.

-- Definir la función

-- distancia :: Float -> Float -> Float

-- tal que (distancia m n) es la distancia entre P(m) y P(n). Por

-- ejemplo,

-- distancia 2 7 == 7.142857e-2

-- distancia 2 8 == 0.0

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distancia :: Float -> Float -> Float

distancia m n =

minimum [abs (i/m - j/n) | i <- [1..m-1], j <- [1..n-1]]

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 4. El enunciado del problema 580 de "Números y

-- algo más.." es el siguiente:

-- ¿Cuál es el menor número que puede expresarse como la suma de 9,

-- 10 y 11 números consecutivos?

-- (El problema se encuentra en http://goo.gl/1K3t7 )

-- A lo largo de los distintos apartados de este ejercicio se resolverá

-- el problema.

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-- Ejercicio 4.1. Definir la función

-- consecutivosConSuma :: Int -> Int -> [[Int]]

-- tal que (consecutivosConSuma x n) es la lista de listas de n números

-- consecutivos cuya suma es x. Por ejemplo,

-- consecutivosConSuma 12 3 == [[3,4,5]]

-- consecutivosConSuma 10 3 == []

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consecutivosConSuma :: Int -> Int -> [[Int]]

consecutivosConSuma x n =

[[y..y+n-1] | y <- [1..x], sum [y..y+n-1] == x]

-- Se puede hacer una definición sin búsqueda, ya que por la fórmula de

-- la suma de progresiones aritméticas, la expresión

-- sum [y..y+n-1] == x

-- se reduce a

-- (y+(y+n-1))n/2 = x

-- De donde se puede despejar la y, ya que

-- 2yn+n^2-n = 2x

-- y = (2x-n^2+n)/2n

-- De la anterior anterior se obtiene la siguiente definición de

-- consecutivosConSuma que no utiliza búsqueda.

consecutivosConSuma' :: Int -> Int -> [[Int]]

consecutivosConSuma' x n

| z >= 0 && mod z (2*n) == 0 = [[y..y+n-1]]

| otherwise = []

where z = 2*x-n^2+n

y = div z (2*n)

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-- Ejercicio 4.2. Definir la función

-- esSuma :: Int -> Int -> Bool

-- tal que (esSuma x n) se verifica si x es la suma de n números

-- naturales consecutivos. Por ejemplo,

-- esSuma 12 3 == True

-- esSuma 10 3 == False

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esSuma :: Int -> Int -> Bool

esSuma x n = consecutivosConSuma x n /= []

-- También puede definirse directamente sin necesidad de

-- consecutivosConSuma como se muestra a continuación.

esSuma' :: Int -> Int -> Bool

esSuma' x n = or [sum [y..y+n-1] == x | y <- [1..x]]

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-- Ejercicio 4.3. Definir la función

-- menorQueEsSuma :: [Int] -> Int

-- tal que (menorQueEsSuma ns) es el menor número que puede expresarse

-- como suma de tantos números consecutivos como indica ns. Por ejemplo,

-- menorQueEsSuma [3,4] == 18

-- Lo que indica que 18 es el menor número se puede escribir como suma

-- de 3 y de 4 números consecutivos. En este caso, las sumas son

-- 18 = 5+6+7 y 18 = 3+4+5+6.

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menorQueEsSuma :: [Int] -> Int

menorQueEsSuma ns =

head [x | x <- [1..], and [esSuma x n | n <- ns]]

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-- Ejercicio 4.4. Usando la función menorQueEsSuma calcular el menor

-- número que puede expresarse como la suma de 9, 10 y 11 números

-- consecutivos.

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-- La solución es

-- *Main> menorQueEsSuma [9,10,11]

-- 495

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-- Ejercicio 5. (Problema 303 del proyecto Euler) Definir la función

-- multiplosRestringidos :: Int -> (Int -> Bool) -> [Int]

-- tal que (multiplosRestringidos n x) es la lista de los múltiplos de n

-- tales que todas sus cifras verifican la propiedad p. Por ejemplo,

-- take 4 (multiplosRestringidos 5 (<=3)) == [10,20,30,100]

-- take 5 (multiplosRestringidos 3 (<=4)) == [3,12,21,24,30]

-- take 5 (multiplosRestringidos 3 even) == [6,24,42,48,60]

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multiplosRestringidos :: Int -> (Int -> Bool) -> [Int]

multiplosRestringidos n p =

[y | y <- [n,2*n..], all p (cifras y)]

-- (cifras n) es la lista de las cifras de n, Por ejemplo,

-- cifras 327 == [3,2,7]

cifras :: Int -> [Int]

cifras n = [read [x] | x <- show n]

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-- Ejercicio 6. Definir la función

-- sumaDeDosPrimos :: Int -> [(Int,Int)]

-- tal que (sumaDeDosPrimos n) es la lista de las distintas

-- descomposiciones de n como suma de dos números primos. Por ejemplo,

-- sumaDeDosPrimos 30 == [(7,23),(11,19),(13,17)]

-- Calcular, usando la función sumaDeDosPrimos, el menor número que

-- puede escribirse de 10 formas distintas como suma de dos primos.

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sumaDeDosPrimos :: Int -> [(Int,Int)]

sumaDeDosPrimos n =

[(x,n-x) | x <- primosN, x < n-x, elem (n-x) primosN]

where primosN = takeWhile (<=n) primos

primos :: [Int]

primos = criba [2..]

where criba [] = []

criba (n:ns) = n : criba (elimina n ns)

elimina n xs = [x | x <- xs, x `mod` n /= 0]

-- El cálculo es

-- ghci> head [x | x <- [1..], length (sumaDeDosPrimos x) == 10]

-- 114

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-- Ejercicio 7. [2 puntos] Definir la función

-- segmentos :: (a -> Bool) -> [a] -> [a]

-- tal que (segmentos p xs) es la lista de los segmentos de xs cuyos

-- elementos verifican la propiedad p. Por ejemplo,

-- segmentos even [1,2,0,4,5,6,48,7,2] == [[],[2,0,4],[6,48],[2]]

-- ---------------------------------------------------------------------

segmentos :: (a -> Bool) -> [a] -> [[a]]

segmentos _ [] = []

segmentos p xs =

takeWhile p xs : (segmentos p (dropWhile (not.p) (dropWhile p xs)))

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