I1M2011: Demostración de propiedades por inducción

La clase de hoy de Informática de 1º del Grado en Matemáticas se han explicado las soluciones de los ejercicios de la 13ª relación en la que se plantean ejercicios de demostración por inducción de propiedades de programas. En concreto,

la suma de los n primeros impares es $n^2$ ,
$1 + 2^0 + 2^1 + 2^2 + \cdots + 2^n = 2^{n+1}$ ,
todos los elementos de (copia n x) son iguales a x.

Además, se plantea la definición de la traspuesta de una matriz.

Estos ejercicios corresponden al tema 8.

Los ejercicios, y sus soluciones, se muestran a continuación.

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-- Importación de librerías                                           --
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import Test.QuickCheck

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-- Ejercicio 1.1. Definir por recursión la función
--    sumaImpares :: Int -> Int
-- tal que (sumaImpares n) es la suma de los n primeros números
-- impares. Por ejemplo,
--    sumaImpares 5  ==  25
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sumaImpares :: Int -> Int
sumaImpares 0     = 0
sumaImpares (n+1) = sumaImpares n + (2*n+1) 

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 1.2. Definir, sin usar recursión, la función
--    sumaImpares' :: Int -> Int
-- tal que (sumaImpares' n) es la suma de los n primeros números
-- impares. Por ejemplo,
--    *Main> sumaImpares' 5  ==  25
-- ---------------------------------------------------------------------

sumaImpares' :: Int -> Int
sumaImpares' n = sum [1,3..(2*n-1)]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 1.3. Definir la función
--    sumaImparesIguales :: Int -> Int -> Bool
-- tal que (sumaImparesIguales m n) se verifica si para todo x entre m y
-- n se tiene que (sumaImpares x) y (sumaImpares' x) son iguales.
-- 
-- Comprobar que (sumaImpares x) y (sumaImpares' x) son iguales para
-- todos los números x entre 1 y 100.
-- ---------------------------------------------------------------------

-- La definición es
sumaImparesIguales :: Int -> Int -> Bool
sumaImparesIguales m n = 
    and [sumaImpares x == sumaImpares' x | x <- [m..n]]

-- La comprobación es
--    *Main>  sumaImparesIguales 1 100
--    True

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-- Ejercicio 1.4. Definir la función 
--    grafoSumaImpares :: Int -> Int -> [(Int,Int)]
-- tal que (grafoSumaImpares m n) es la lista formadas por los números x
-- entre m y n y los valores de (sumaImpares x).
--
-- Calcular (grafoSumaImpares 1 9).
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-- La definición es
grafoSumaImpares :: Int -> Int -> [(Int,Int)]
grafoSumaImpares m n =
    [(x,sumaImpares x) | x <- [m..n]]

-- El cálculo es
--    *Main> grafoSumaImpares 1 9
--    [(1,1),(2,4),(3,9),(4,16),(5,25),(6,36),(7,49),(8,64),(9,81)]

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-- Ejercicio 1.5. Demostrar por inducción que para todo n, 
-- (sumaImpares n) es igual a n^2.
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{-
 Caso base: Hay que demostrar que
    sumaImpares 0 = 0^2 
 En efecto,
    sumaImpares 0   [por hipótesis]  
    = 0               [por sumaImpares.1]
    = 0^2             [por aritmética]
 
  Caso inductivo: Se supone la hipótesis de inducción (H.I.)
     sumaImpares n = n^2
  Hay que demostrar que
     sumaImpares (n+1) = (n+1)^2
  En efecto,
     sumaImpares (n+1) = 
     = (sumaImpares n) + (2*n+1    )    [por sumaImpares.2]
     = n^2 + (2*n+1)                    [por H.I.]
     = (n+1)^2                          [por álgebra]
-} 

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 2.1. Definir por recursión la función
--    sumaPotenciasDeDosMasUno :: Int -> Int
-- tal que 
--    (sumaPotenciasDeDosMasUno n) = 1 + 2^0 + 2^1 + 2^2 + ... + 2^n. 
-- Por ejemplo, 
--    sumaPotenciasDeDosMasUno 3  ==  16
-- ---------------------------------------------------------------------

sumaPotenciasDeDosMasUno :: Int -> Int
sumaPotenciasDeDosMasUno 0     = 2
sumaPotenciasDeDosMasUno (n+1) = sumaPotenciasDeDosMasUno n + 2^(n+1)

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 2.2. Definir por comprensión la función
--    sumaPotenciasDeDosMasUno' :: Int -> Int
-- tal que 
--    (sumaPotenciasDeDosMasUno' n) = 1 + 2^0 + 2^1 + 2^2 + ... + 2^n. 
-- Por ejemplo, 
--    sumaPotenciasDeDosMasUno' 3  ==  16
-- ---------------------------------------------------------------------

sumaPotenciasDeDosMasUno' :: Int -> Int
sumaPotenciasDeDosMasUno' n = 1 + sum [2^x | x <- [0..n]]

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-- Ejercicio 2.3. Demostrar por inducción que
--    sumaPotenciasDeDosMasUno n = 2^(n+1)
-- ---------------------------------------------------------------------

{-
  Caso base: Hay que demostrar que 
     sumaPotenciasDeDosMasUno 0 = 2^(0+1)
  En efecto,
       sumaPotenciasDeDosMasUno 0 
     = 2                              [por sumaPotenciasDeDosMasUno.1]
     = 2^(0+1)                        [por aritmética]

  Caso inductivo: Se supone la hipótesis de inducción (H.I.)
     sumaPotenciasDeDosMasUno n = 2^(n+1)
  Hay que demostrar que 
     sumaPotenciasDeDosMasUno (n+1) = 2^((n+1)+1)
  En efecto, 
       sumaPotenciasDeDosMasUno (n+1)
     = (sumaPotenciasDeDosMasUno n) + 2^(n+1)  [por sumaPotenciasDeDosMasUno.2]
     = 2^(n+1) + 2^(n+1)                       [por H.I.]
     = 2^((n+1)+1)                             [por aritmética]
-}

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 3.1. Definir por recursión la función
--    copia :: Int -> a -> [a]
-- tal que (copia n x) es la lista formado por n copias del elemento
-- x. Por ejemplo, 
--    copia 3 2  ==  [2,2,2]
-- ---------------------------------------------------------------------
 
copia :: Int -> a -> [a]
copia 0 _     = []              -- copia.1
copia (n+1) x = x : copia n x   -- copia.2

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 3.2. Definir por recursión la función 
--    todos :: (a -> Bool) -> [a] -> Bool
-- tal que (todos p xs) se verifica si todos los elementos de xs cumplen
-- la propiedad p. Por ejemplo,
--    todos even [2,6,4]  ==  True
--    todos even [2,5,4]  ==  False
-- ---------------------------------------------------------------------

todos :: (a -> Bool) -> [a] -> Bool
todos p []       = True                -- todos.1
todos p (x : xs) = p x && todos p xs   -- todos.2

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-- Ejercicio 3.3. Comprobar con QuickCheck que todos los elementos de 
-- (copia n x) son iguales a x.
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-- La propiedad es
prop_copia :: Eq a => Int -> a -> Bool
prop_copia n x =
    todos (==x) (copia n' x)
    where n' = abs n

-- La comprobación es
--    *Main> quickCheck prop_copia
--    OK, passed 100 tests.

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 3.4. Demostrar, por inducción en n, que todos los elementos
-- de (copia n x) son iguales a x.
-- ---------------------------------------------------------------------

{-
  Hay que demostrar que para todo n y todo x,
     todos (==x) (copia n x)

  Caso base: Hay que demostrar que
     todos (==x) (copia 0 x) = True 
  En efecto, 
       todos (== x) (copia 0 x)
     = todos (== x) []            [por copia.1] 
     = True                       [por todos.1] 

  Caso inductivo: Se supone la hipótesis de inducción (H.I.)
     todos (==x) (copia n x) = True
  Hay que demostrar que
     todos (==x) (copia (n+1) x) = True
  En efecto, 
       todos (==x) (copia (n+1) x)
     = todos (==x) (x : copia n x )         [por copia.2]
     = x == x && todos (==x) (copia n x )   [por todos.2] 
     = True && todos (==x) (copia n x )     [por def. de ==] 
     = todos (==x) (copia n x )             [por def. de &&] 
     = True                                 [por H.I.]
-}

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-- Ejercicio 3.5. Definir por plegado la función 
--    todos' :: (a -> Bool) -> [a] -> Bool
-- tal que (todos' p xs) se verifica si todos los elementos de xs cumplen
-- la propiedad p. Por ejemplo,
--    todos' even [2,6,4]  ==>  True
--    todos' even [2,5,4]  ==>  False
-- ---------------------------------------------------------------------

todos' :: (a -> Bool) -> [a] -> Bool
todos' p = foldr ((&&) . p) True 

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 4. Definir la función
--    traspuesta :: [[a]] -> [[a]]
-- tal que (traspuesta m) es la traspuesta de la matriz m. Por ejemplo,
--    traspuesta [[1,2,3],[4,5,6]]    ==  [[1,4],[2,5],[3,6]]
--    traspuesta [[1,4],[2,5],[3,6]]  ==  [[1,2,3],[4,5,6]]
-- ---------------------------------------------------------------------

traspuesta :: [[a]] -> [[a]]
traspuesta []           = []
traspuesta ([]:xss)     = traspuesta xss
traspuesta ((x:xs):xss) = 
    (x:[h | (h:_) <- xss]) : traspuesta (xs : [t | (_:t) <- xss])

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-- Importación de librerías --

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import Test.QuickCheck

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-- Ejercicio 1.1. Definir por recursión la función

-- sumaImpares :: Int -> Int

-- tal que (sumaImpares n) es la suma de los n primeros números

-- impares. Por ejemplo,

-- sumaImpares 5 == 25

-- ---------------------------------------------------------------------

sumaImpares :: Int -> Int

sumaImpares 0 = 0

sumaImpares (n+1) = sumaImpares n + (2*n+1)

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 1.2. Definir, sin usar recursión, la función

-- sumaImpares' :: Int -> Int

-- tal que (sumaImpares' n) es la suma de los n primeros números

-- impares. Por ejemplo,

-- *Main> sumaImpares' 5 == 25

-- ---------------------------------------------------------------------

sumaImpares' :: Int -> Int

sumaImpares' n = sum [1,3..(2*n-1)]

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 1.3. Definir la función

-- sumaImparesIguales :: Int -> Int -> Bool

-- tal que (sumaImparesIguales m n) se verifica si para todo x entre m y

-- n se tiene que (sumaImpares x) y (sumaImpares' x) son iguales.

-- Comprobar que (sumaImpares x) y (sumaImpares' x) son iguales para

-- todos los números x entre 1 y 100.

-- ---------------------------------------------------------------------

-- La definición es

sumaImparesIguales :: Int -> Int -> Bool

sumaImparesIguales m n =

and [sumaImpares x == sumaImpares' x | x <- [m..n]]

-- La comprobación es

-- *Main> sumaImparesIguales 1 100

-- True

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 1.4. Definir la función

-- grafoSumaImpares :: Int -> Int -> [(Int,Int)]

-- tal que (grafoSumaImpares m n) es la lista formadas por los números x

-- entre m y n y los valores de (sumaImpares x).

-- Calcular (grafoSumaImpares 1 9).

-- ---------------------------------------------------------------------

-- La definición es

grafoSumaImpares :: Int -> Int -> [(Int,Int)]

grafoSumaImpares m n =

[(x,sumaImpares x) | x <- [m..n]]

-- El cálculo es

-- *Main> grafoSumaImpares 1 9

-- [(1,1),(2,4),(3,9),(4,16),(5,25),(6,36),(7,49),(8,64),(9,81)]

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-- Ejercicio 1.5. Demostrar por inducción que para todo n,

-- (sumaImpares n) es igual a n^2.

-- ---------------------------------------------------------------------

Caso base: Hay que demostrar que

sumaImpares 0 = 0^2

En efecto,

sumaImpares 0 [por hipótesis]

= 0 [por sumaImpares.1]

= 0^2 [por aritmética]

Caso inductivo: Se supone la hipótesis de inducción (H.I.)

sumaImpares n = n^2

Hay que demostrar que

sumaImpares (n+1) = (n+1)^2

En efecto,

sumaImpares (n+1) =

= (sumaImpares n) + (2*n+1 ) [por sumaImpares.2]

= n^2 + (2*n+1) [por H.I.]

= (n+1)^2 [por álgebra]

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-- Ejercicio 2.1. Definir por recursión la función

-- sumaPotenciasDeDosMasUno :: Int -> Int

-- tal que

-- (sumaPotenciasDeDosMasUno n) = 1 + 2^0 + 2^1 + 2^2 + ... + 2^n.

-- Por ejemplo,

-- sumaPotenciasDeDosMasUno 3 == 16

-- ---------------------------------------------------------------------

sumaPotenciasDeDosMasUno :: Int -> Int

sumaPotenciasDeDosMasUno 0 = 2

sumaPotenciasDeDosMasUno (n+1) = sumaPotenciasDeDosMasUno n + 2^(n+1)

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 2.2. Definir por comprensión la función

-- sumaPotenciasDeDosMasUno' :: Int -> Int

-- tal que

-- (sumaPotenciasDeDosMasUno' n) = 1 + 2^0 + 2^1 + 2^2 + ... + 2^n.

-- Por ejemplo,

-- sumaPotenciasDeDosMasUno' 3 == 16

-- ---------------------------------------------------------------------

sumaPotenciasDeDosMasUno' :: Int -> Int

sumaPotenciasDeDosMasUno' n = 1 + sum [2^x | x <- [0..n]]

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 2.3. Demostrar por inducción que

-- sumaPotenciasDeDosMasUno n = 2^(n+1)

-- ---------------------------------------------------------------------

Caso base: Hay que demostrar que

sumaPotenciasDeDosMasUno 0 = 2^(0+1)

En efecto,

sumaPotenciasDeDosMasUno 0

= 2 [por sumaPotenciasDeDosMasUno.1]

= 2^(0+1) [por aritmética]

Caso inductivo: Se supone la hipótesis de inducción (H.I.)

sumaPotenciasDeDosMasUno n = 2^(n+1)

Hay que demostrar que

sumaPotenciasDeDosMasUno (n+1) = 2^((n+1)+1)

En efecto,

sumaPotenciasDeDosMasUno (n+1)

= (sumaPotenciasDeDosMasUno n) + 2^(n+1) [por sumaPotenciasDeDosMasUno.2]

= 2^(n+1) + 2^(n+1) [por H.I.]

= 2^((n+1)+1) [por aritmética]

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 3.1. Definir por recursión la función

-- copia :: Int -> a -> [a]

-- tal que (copia n x) es la lista formado por n copias del elemento

-- x. Por ejemplo,

-- copia 3 2 == [2,2,2]

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copia :: Int -> a -> [a]

copia 0 _ = [] -- copia.1

copia (n+1) x = x : copia n x -- copia.2

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-- Ejercicio 3.2. Definir por recursión la función

-- todos :: (a -> Bool) -> [a] -> Bool

-- tal que (todos p xs) se verifica si todos los elementos de xs cumplen

-- la propiedad p. Por ejemplo,

-- todos even [2,6,4] == True

-- todos even [2,5,4] == False

-- ---------------------------------------------------------------------

todos :: (a -> Bool) -> [a] -> Bool

todos p [] = True -- todos.1

todos p (x : xs) = p x && todos p xs -- todos.2

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-- Ejercicio 3.3. Comprobar con QuickCheck que todos los elementos de

-- (copia n x) son iguales a x.

-- ---------------------------------------------------------------------

-- La propiedad es

prop_copia :: Eq a => Int -> a -> Bool

prop_copia n x =

todos (==x) (copia n' x)

where n' = abs n

-- La comprobación es

-- *Main> quickCheck prop_copia

-- OK, passed 100 tests.

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-- Ejercicio 3.4. Demostrar, por inducción en n, que todos los elementos

-- de (copia n x) son iguales a x.

-- ---------------------------------------------------------------------

Hay que demostrar que para todo n y todo x,

todos (==x) (copia n x)

Caso base: Hay que demostrar que

todos (==x) (copia 0 x) = True

En efecto,

todos (== x) (copia 0 x)

= todos (== x) [] [por copia.1]

= True [por todos.1]

Caso inductivo: Se supone la hipótesis de inducción (H.I.)

todos (==x) (copia n x) = True

Hay que demostrar que

todos (==x) (copia (n+1) x) = True

En efecto,

todos (==x) (copia (n+1) x)

= todos (==x) (x : copia n x ) [por copia.2]

= x == x && todos (==x) (copia n x ) [por todos.2]

= True && todos (==x) (copia n x ) [por def. de ==]

= todos (==x) (copia n x ) [por def. de &&]

= True [por H.I.]

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-- Ejercicio 3.5. Definir por plegado la función

-- todos' :: (a -> Bool) -> [a] -> Bool

-- tal que (todos' p xs) se verifica si todos los elementos de xs cumplen

-- la propiedad p. Por ejemplo,

-- todos' even [2,6,4] ==> True

-- todos' even [2,5,4] ==> False

-- ---------------------------------------------------------------------

todos' :: (a -> Bool) -> [a] -> Bool

todos' p = foldr ((&&) . p) True

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-- Ejercicio 4. Definir la función

-- traspuesta :: [[a]] -> [[a]]

-- tal que (traspuesta m) es la traspuesta de la matriz m. Por ejemplo,

-- traspuesta [[1,2,3],[4,5,6]] == [[1,4],[2,5],[3,6]]

-- traspuesta [[1,4],[2,5],[3,6]] == [[1,2,3],[4,5,6]]

-- ---------------------------------------------------------------------

traspuesta :: [[a]] -> [[a]]

traspuesta [] = []

traspuesta ([]:xss) = traspuesta xss

traspuesta ((x:xs):xss) =

(x:[h | (h:_) <- xss]) : traspuesta (xs : [t | (_:t) <- xss])

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