I1M2011: Combinatoria en Haskell (2)
En segunda parte de la clase de hoy de Informática de 1º del Grado en Matemáticas se han explicado las soluciones de los ejercicios 7 a 12 de la 17ª relación.
El objetivo de esta relación es estudiar la generación y el número de las principales operaciones de la combinatoria. En concreto, se
estudia
- Permutaciones.
- Combinaciones sin repetición..
- Combinaciones con repetición
- Variaciones sin repetición.
- Variaciones con repetición.
Además, se estudia dos temas relacionados:
- Reconocimiento y generación de subconjuntos y
- El triángulo de Pascal
Los 12 primeros ejercicios, y sus soluciones, se muestran a continuación.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 |
-- --------------------------------------------------------------------- -- Importación de librerías -- -- --------------------------------------------------------------------- import Test.QuickCheck import Data.List (genericLength) -- --------------------------------------------------------------------- -- § Subconjuntos -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 1. Definir, por recursión, la función -- subconjunto :: Eq a => [a] -> [a] -> Bool -- tal que (subconjunto xs ys) se verifica si xs es un subconjunto de -- ys. Por ejemplo, -- subconjunto [1,3,2,3] [1,2,3] == True -- subconjunto [1,3,4,3] [1,2,3] == False -- --------------------------------------------------------------------- subconjunto :: Eq a => [a] -> [a] -> Bool subconjunto [] _ = True subconjunto (x:xs) ys = elem x ys && subconjunto xs ys -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 2. Definir, mediante all, la función -- subconjunto' :: Eq a => [a] -> [a] -> Bool -- tal que (subconjunto' xs ys) se verifica si xs es un subconjunto de -- ys. Por ejemplo, -- subconjunto' [1,3,2,3] [1,2,3] == True -- subconjunto' [1,3,4,3] [1,2,3] == False -- --------------------------------------------------------------------- subconjunto' :: Eq a => [a] -> [a] -> Bool subconjunto' xs ys = all (`elem` ys) xs -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 3. Comprobar con QuickCheck que las funciones subconjunto -- y subconjunto' son equivalentes. -- --------------------------------------------------------------------- -- La propiedad es prop_equivalencia :: [Int] -> [Int] -> Bool prop_equivalencia xs ys = subconjunto xs ys == subconjunto' xs ys -- La comprobación es -- ghci> quickCheck prop_equivalencia -- OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 4. Definir la función -- igualConjunto :: Eq a => [a] -> [a] -> Bool -- tal que (igualConjunto xs ys) se verifica si las listas xs e ys, -- vistas como conjuntos, son iguales. Por ejemplo, -- igualConjunto [1..10] [10,9..1] == True -- igualConjunto [1..10] [11,10..1] == False -- --------------------------------------------------------------------- igualConjunto :: Eq a => [a] -> [a] -> Bool igualConjunto xs ys = subconjunto xs ys && subconjunto ys xs -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 5. Definir la función -- subconjuntos :: [a] -> [[a]] -- tal que (subconjuntos xs) es la lista de las subconjuntos de la lista -- xs. Por ejemplo, -- ghci> subconjuntos [2,3,4] -- [[2,3,4],[2,3],[2,4],[2],[3,4],[3],[4],[]] -- ghci> subconjuntos [1,2,3,4] -- [[1,2,3,4],[1,2,3],[1,2,4],[1,2],[1,3,4],[1,3],[1,4],[1], -- [2,3,4], [2,3], [2,4], [2], [3,4], [3], [4], []] -- --------------------------------------------------------------------- subconjuntos :: [a] -> [[a]] subconjuntos [] = [[]] subconjuntos (x:xs) = [x:ys | ys <- sub] ++ sub where sub = subconjuntos xs -- Cambiando la comprensión por map se obtiene subconjuntos' :: [a] -> [[a]] subconjuntos' [] = [[]] subconjuntos' (x:xs) = sub ++ map (x:) sub where sub = subconjuntos' xs -- --------------------------------------------------------------------- -- § Permutaciones -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 6. Definir la función -- intercala :: a -> [a] -> [[a]] -- tal que (intercala x ys) es la lista de las listas obtenidas -- intercalando x entre los elementos de ys. Por ejemplo, -- intercala 1 [2,3] == [[1,2,3],[2,1,3],[2,3,1]] -- --------------------------------------------------------------------- intercala :: a -> [a] -> [[a]] intercala x [] = [[x]] intercala x (y:ys) = (x:y:ys) : [y:zs | zs <- intercala x ys] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 7. Definir la función -- permutaciones :: [a] -> [[a]] -- tal que (permutaciones xs) es la lista de las permutaciones de la -- lista xs. Por ejemplo, -- permutaciones "bc" == ["bc","cb"] -- permutaciones "abc" == ["abc","bac","bca","acb","cab","cba"] -- --------------------------------------------------------------------- permutaciones :: [a] -> [[a]] permutaciones [] = [[]] permutaciones (x:xs) = concat [intercala x ys | ys <- permutaciones xs] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 8. Definir la función -- permutacionesN :: Integer -> [[Integer]] -- tal que (permutacionesN n) es la lista de las permutaciones de los n -- primeros números. Por ejemplo, -- ghci> permutacionesN 3 -- [[1,2,3],[1,3,2],[2,1,3],[2,3,1],[3,1,2],[3,2,1]] -- --------------------------------------------------------------------- permutacionesN :: Integer -> [[Integer]] permutacionesN n = permutaciones [1..n] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 9. Definir, usando permutacionesN, la función -- numeroPermutacionesN :: Integer -> Integer -- tal que (numeroPermutacionesN n) es el número de permutaciones de un -- conjunto con n elementos. Por ejemplo, -- numeroPermutacionesN 3 == 6 -- numeroPermutacionesN 4 == 24 -- --------------------------------------------------------------------- numeroPermutacionesN :: Integer -> Integer numeroPermutacionesN = genericLength . permutacionesN -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 10. Definir la función -- fact :: Integer -> Integer -- tal que (fact n) es el factorial de n. Por ejemplo, -- fact 3 == 6 -- --------------------------------------------------------------------- fact :: Integer -> Integer fact n = product [1..n] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 11. Definir, usando fact, la función -- numeroPermutacionesN' :: Integer -> Integer -- tal que (numeroPermutacionesN' n) es el número de permutaciones de un -- conjunto con n elementos. Por ejemplo, -- numeroPermutacionesN' 3 == 6 -- numeroPermutacionesN' 4 == 24 -- --------------------------------------------------------------------- numeroPermutacionesN' :: Integer -> Integer numeroPermutacionesN' = fact -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 12. Definir la función -- prop_numeroPermutacionesN :: Integer -> Bool -- tal que (prop_numeroPermutacionesN n) se verifica si las funciones -- numeroPermutacionesN y numeroPermutacionesN' son equivalentes para -- los n primeros números. Por ejemplo, -- prop_numeroPermutacionesN 5 == True -- --------------------------------------------------------------------- prop_numeroPermutacionesN :: Integer -> Bool prop_numeroPermutacionesN n = and [numeroPermutacionesN x == numeroPermutacionesN' x | x <- [1..n]] |