I1M2010: Tercer examen de la evaluacion continua

En la clase de hoy de Informática de 1º del Grado en Matemáticas se ha realizado el tercer examen de la evaluación continua.

Las notas se han publicado en la WebCT.

El resumen estadístico del resultado del examen es el siguiente

Suspensos	0	00.0%
Aprobados	8	42.1%
Notables	8	42.1%
Sobresalientes	3	15.8%
Total	19

El porcentaje de aprobados (sobre presentados) es 100.0 y la nota media es 7.

A continuación se muestra el examen junto con su solución:

-- Informática (1º del Grado en Matemáticas)
-- 3º examen (20 de diciembre de 2010)
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 1. [2.5 puntos] Definir por recursión la función 
--    sumaR :: Num b => (a -> b) -> [a] -> b
-- tal que (suma f xs) es la suma de los valores obtenido aplicando la
-- función f a lo elementos de la lista xs. Por ejemplo,
--    sumaR (*2)  [3,5,10]  ==  36
--    sumaR (/10) [3,5,10]  ==  1.8
 -- ---------------------------------------------------------------------

sumaR :: Num b => (a -> b) -> [a] -> b
sumaR f []     = 0
sumaR f (x:xs) = f x + sumaR f xs 

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 2. [2.5 puntos] Definir por plegado la función 
--    sumaP :: Num b => (a -> b) -> [a] -> b
-- tal que (suma f xs) es la suma de los valores obtenido aplicando la
-- función f a lo elementos de la lista xs. Por ejemplo,
--    sumaP (*2)  [3,5,10]  ==  36
--    sumaP (/10) [3,5,10]  ==  1.8
-- ---------------------------------------------------------------------

sumaP :: Num b => (a -> b) -> [a] -> b
sumaP f = foldr (\x y -> (f x) + y) 0

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 3. [2.5 puntos] El enunciado del problema 1 de la Olimpiada
-- Iberoamericana de Matemática Universitaria del 2006 es el siguiente:
--    Sean m y n números enteros mayores que 1. Se definen los conjuntos 
--    P(m) = {1/m, 2/m,..., (m-1)/m} y P(n) = {1/n, 2/n,..., (n-1)/n}.
--    Encontrar la distancia entre P(m) y P(n), que se define como
--    mín {|a - b| : a en P(m), b en P(n)}.
-- Definir la función distancia tal que (distancia m n) es la distancia
-- entre P(m) y P(n). Por ejemplo,
--    distancia 2 7 == 7.142857e-2
--    distancia 2 8 == 0.0
-- ---------------------------------------------------------------------

distancia :: Float -> Float -> Float
distancia m n = 
    minimum [abs (i/m - j/n) | i <- [1..m-1], j <- [1..n-1]]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 4. [2.5 puntos] El enunciado del problema 580 de "Números y
-- algo más.." es el siguiente: 
--    ¿Cuál es el menor número que puede expresarse como la suma de 9,
--    10 y 11 números consecutivos?  
-- (El problema se encuentra en http://goo.gl/1K3t7 )
-- A lo largo de los distintos apartados de este ejercicio se resolverá
-- el problema.
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 4.1. Definir la función
--    consecutivosConSuma :: Int -> Int -> [[Int]]
-- tal que (consecutivosConSuma x n) es la lista de listas de n números
-- consecutivos cuya suma es x. Por ejemplo,
--    consecutivosConSuma 12 3  ==  [[3,4,5]]
--    consecutivosConSuma 10 3  ==  []
-- ---------------------------------------------------------------------

consecutivosConSuma :: Int -> Int -> [[Int]]
consecutivosConSuma x n = 
    [[y..y+n-1] | y <- [1..x], sum [y..y+n-1] == x]

-- Se puede hacer una definición sin búsqueda, ya que por la fórmula de
-- la suma de progresiones aritméticas, la expresión
--    sum [y..y+n-1] == x
-- se reduce a
--    (y+(y+n-1))n/2 = x
-- De donde se puede despejar la y, ya que
--    2yn+n^2-n = 2x
--    y = (2x-n^2+n)/2n
-- De la anterior anterior se obtiene la siguiente definición de
-- consecutivosConSuma que no utiliza búsqueda.

consecutivosConSuma' :: Int -> Int -> [[Int]]
consecutivosConSuma' x n
    | z >= 0 && mod z (2*n) == 0 = [[y..y+n-1]]
    | otherwise                  = []
    where z = 2*x-n^2+n
          y = div z (2*n)

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 4.2. Definir la función 
--    esSuma :: Int -> Int -> Bool
-- tal que (esSuma x n) se verifica si x es la suma de n números
-- naturales consecutivos. Por ejemplo,
--    esSuma 12 3  ==  True
--    esSuma 10 3  ==  False
-- ---------------------------------------------------------------------

esSuma :: Int -> Int -> Bool
esSuma x n = consecutivosConSuma x n /= []

-- También puede definirse directamente sin necesidad de
-- consecutivosConSuma como se muestra a continuación.
esSuma' :: Int -> Int -> Bool
esSuma' x n = or [sum [y..y+n-1] == x | y <- [1..x]]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 4.3. Definir la función
--    menorQueEsSuma :: [Int] -> Int
-- tal que (menorQueEsSuma ns) es el menor número que puede expresarse
-- como suma de tantos números consecutivos como indica ns. Por ejemplo, 
--    menorQueEsSuma [3,4]  ==  18
-- Lo que indica que 18 es el menor número se puede escribir como suma
-- de 3 y de 4 números consecutivos. En este caso, las sumas son 
-- 18 = 5+6+7 y 18 = 3+4+5+6.
-- ---------------------------------------------------------------------

menorQueEsSuma :: [Int] -> Int
menorQueEsSuma ns = 
    head [x | x <- [1..], and [esSuma x n | n <- ns]]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 4.4. Usando la función menorQueEsSuma calcular el menor
-- número que puede expresarse como la suma de 9, 10 y 11 números
-- consecutivos.
-- ---------------------------------------------------------------------

-- La solución es
--    *Main> menorQueEsSuma [9,10,11]
--    495

100

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-- Informática (1º del Grado en Matemáticas)

-- 3º examen (20 de diciembre de 2010)

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-- Ejercicio 1. [2.5 puntos] Definir por recursión la función

-- sumaR :: Num b => (a -> b) -> [a] -> b

-- tal que (suma f xs) es la suma de los valores obtenido aplicando la

-- función f a lo elementos de la lista xs. Por ejemplo,

-- sumaR (*2) [3,5,10] == 36

-- sumaR (/10) [3,5,10] == 1.8

-- ---------------------------------------------------------------------

sumaR :: Num b => (a -> b) -> [a] -> b

sumaR f [] = 0

sumaR f (x:xs) = f x + sumaR f xs

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 2. [2.5 puntos] Definir por plegado la función

-- sumaP :: Num b => (a -> b) -> [a] -> b

-- tal que (suma f xs) es la suma de los valores obtenido aplicando la

-- función f a lo elementos de la lista xs. Por ejemplo,

-- sumaP (*2) [3,5,10] == 36

-- sumaP (/10) [3,5,10] == 1.8

-- ---------------------------------------------------------------------

sumaP :: Num b => (a -> b) -> [a] -> b

sumaP f = foldr (\x y -> (f x) + y) 0

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 3. [2.5 puntos] El enunciado del problema 1 de la Olimpiada

-- Iberoamericana de Matemática Universitaria del 2006 es el siguiente:

-- Sean m y n números enteros mayores que 1. Se definen los conjuntos

-- P(m) = {1/m, 2/m,..., (m-1)/m} y P(n) = {1/n, 2/n,..., (n-1)/n}.

-- Encontrar la distancia entre P(m) y P(n), que se define como

-- mín {|a - b| : a en P(m), b en P(n)}.

-- Definir la función distancia tal que (distancia m n) es la distancia

-- entre P(m) y P(n). Por ejemplo,

-- distancia 2 7 == 7.142857e-2

-- distancia 2 8 == 0.0

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distancia :: Float -> Float -> Float

distancia m n =

minimum [abs (i/m - j/n) | i <- [1..m-1], j <- [1..n-1]]

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 4. [2.5 puntos] El enunciado del problema 580 de "Números y

-- algo más.." es el siguiente:

-- ¿Cuál es el menor número que puede expresarse como la suma de 9,

-- 10 y 11 números consecutivos?

-- (El problema se encuentra en http://goo.gl/1K3t7 )

-- A lo largo de los distintos apartados de este ejercicio se resolverá

-- el problema.

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-- Ejercicio 4.1. Definir la función

-- consecutivosConSuma :: Int -> Int -> [[Int]]

-- tal que (consecutivosConSuma x n) es la lista de listas de n números

-- consecutivos cuya suma es x. Por ejemplo,

-- consecutivosConSuma 12 3 == [[3,4,5]]

-- consecutivosConSuma 10 3 == []

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consecutivosConSuma :: Int -> Int -> [[Int]]

consecutivosConSuma x n =

[[y..y+n-1] | y <- [1..x], sum [y..y+n-1] == x]

-- Se puede hacer una definición sin búsqueda, ya que por la fórmula de

-- la suma de progresiones aritméticas, la expresión

-- sum [y..y+n-1] == x

-- se reduce a

-- (y+(y+n-1))n/2 = x

-- De donde se puede despejar la y, ya que

-- 2yn+n^2-n = 2x

-- y = (2x-n^2+n)/2n

-- De la anterior anterior se obtiene la siguiente definición de

-- consecutivosConSuma que no utiliza búsqueda.

consecutivosConSuma' :: Int -> Int -> [[Int]]

consecutivosConSuma' x n

| z >= 0 && mod z (2*n) == 0 = [[y..y+n-1]]

| otherwise = []

where z = 2*x-n^2+n

y = div z (2*n)

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-- Ejercicio 4.2. Definir la función

-- esSuma :: Int -> Int -> Bool

-- tal que (esSuma x n) se verifica si x es la suma de n números

-- naturales consecutivos. Por ejemplo,

-- esSuma 12 3 == True

-- esSuma 10 3 == False

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esSuma :: Int -> Int -> Bool

esSuma x n = consecutivosConSuma x n /= []

-- También puede definirse directamente sin necesidad de

-- consecutivosConSuma como se muestra a continuación.

esSuma' :: Int -> Int -> Bool

esSuma' x n = or [sum [y..y+n-1] == x | y <- [1..x]]

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-- Ejercicio 4.3. Definir la función

-- menorQueEsSuma :: [Int] -> Int

-- tal que (menorQueEsSuma ns) es el menor número que puede expresarse

-- como suma de tantos números consecutivos como indica ns. Por ejemplo,

-- menorQueEsSuma [3,4] == 18

-- Lo que indica que 18 es el menor número se puede escribir como suma

-- de 3 y de 4 números consecutivos. En este caso, las sumas son

-- 18 = 5+6+7 y 18 = 3+4+5+6.

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menorQueEsSuma :: [Int] -> Int

menorQueEsSuma ns =

head [x | x <- [1..], and [esSuma x n | n <- ns]]

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-- Ejercicio 4.4. Usando la función menorQueEsSuma calcular el menor

-- número que puede expresarse como la suma de 9, 10 y 11 números

-- consecutivos.

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-- La solución es

-- *Main> menorQueEsSuma [9,10,11]

-- 495

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