I1M2010: Ejercicios sobre listas infinitas en Haskell

En la clase de hoy de Informática de 1º del Grado en Matemáticas hemos comentado las soluciones a los ejercicios sobre listas infinitas en Haskell de la 26ª relación.

Los ejercicios y su solución se muestran a continuación

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-- Introducción                                                       --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- En esta relación se estudia distintas aplicaciones de la programación
-- funcional que usan listas infinitas
-- * definición alternativa de la sucesión de Hamming estudiada en el
--   tema 11,
-- * propiedades de la sucesión de Hamming,
-- * problemas 10 y 12 del proyecto Euler y
-- * numero de pares de naturales en un círculo.

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-- Importación de librerías                                           --
-- ---------------------------------------------------------------------

import Test.QuickCheck
import Data.List

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 1.1. Definir la función
--    divisoresEn :: Integer -> [Integer] -> Bool
-- tal que (divisoresEn x ys) se verifica si x puede expresarse como un
-- producto de potencias de elementos de ys. Por ejemplo,
--    divisoresEn 12 [2,3,5]  ==  True
--    divisoresEn 14 [2,3,5]  ==  False
-- ---------------------------------------------------------------------

divisoresEn :: Integer -> [Integer] -> Bool
divisoresEn 1 _                     = True
divisoresEn x []                    = False
divisoresEn x (y:ys) | mod x y == 0 = divisoresEn (div x y) (y:ys)
                     | otherwise    = divisoresEn x ys   

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 1.2. Los números de Hamming forman una sucesión 
-- estrictamente creciente de números que cumplen las siguientes 
-- condiciones: 
--    1. El número 1 está en la sucesión.
--    2. Si x está en la sucesión, entonces 2x, 3x y 5x también están.
--    3. Ningún otro número está en la sucesión.
-- Definir, usando divisoresEn, la constante
--    hamming :: [Integer]
-- tal que hamming es la sucesión de Hamming. Por ejemplo,
--    take 12 hamming  ==  [1,2,3,4,5,6,8,9,10,12,15,16]
-- ---------------------------------------------------------------------

hamming :: [Integer]
hamming = [x | x <- [1..], divisoresEn x [2,3,5]]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 1.3. Definir la función
--    cantidadHammingMenores :: Integer -> Int
-- tal que (cantidadHammingMenores x) es la cantidad de números de
-- Hamming menores que x. Por ejemplo,
--    cantidadHammingMenores 6  ==  5
--    cantidadHammingMenores 7  ==  6
--    cantidadHammingMenores 8  ==  6
-- ---------------------------------------------------------------------

cantidadHammingMenores :: Integer -> Int
cantidadHammingMenores x = length (takeWhile (<x) hamming)

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 1.4. Definir la función
--    siguienteHamming :: Integer -> Integer
-- tal que (siguienteHamming x) es el menor número de la sucesión de
-- Hamming mayor que x. Por ejemplo,
--    siguienteHamming 6  ==  8
--    siguienteHamming 21  ==  24
-- ---------------------------------------------------------------------

siguienteHamming :: Integer -> Integer
siguienteHamming x = head (dropWhile (<=x) hamming)

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 1.5. Definir la función
--    huecoHamming :: Integer -> [(Integer,Integer)]
-- tal que (huecoHamming n) es la lista de pares de números consecutivos
-- en la sucesión de Hamming cuya distancia es mayor o igual que n. Por
-- ejemplo,  
--    take 4 (huecoHamming 2)   ==  [(12,15),(20,24),(27,30),(32,36)]
--    take 3 (huecoHamming 2)   ==  [(12,15),(20,24),(27,30)]
--    take 2 (huecoHamming 3)   ==  [(20,24),(32,36)]
--    head (huecoHamming 10)    ==  (108,120)
--    head (huecoHamming 1000)  ==  (34992,36000)
-- ---------------------------------------------------------------------

huecoHamming :: Integer -> [(Integer,Integer)]
huecoHamming n = [(x,y) | x <- hamming, 
                          let y = siguienteHamming x,
                          y-x > n]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 1.6. Comprobar con QuickCheck que para todo n, existen
-- pares de números consecutivos en la sucesión de Hamming cuya
-- distancia es mayor o igual que n.
-- ---------------------------------------------------------------------

-- La propiedad es
prop_Hamming :: Integer -> Bool
prop_Hamming n = huecoHamming n' /= []
                 where n' = abs n

-- La comprobación es
--    *Main> quickCheck prop_Hamming
--    OK, passed 100 tests.

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 2. (Problema 10 del Proyecto Euler)
-- Definir la función 
--    sumaPrimoMenores :: Integer -> Integer
-- tal que (sumaPrimoMenores n) es la suma de los primos menores que
-- n. Por ejemplo,
--    sumaPrimoMenores 10  ==  17
-- ---------------------------------------------------------------------

-- La definición es
sumaPrimoMenores :: Integer -> Integer
sumaPrimoMenores n = sumaMenores n primos 0
   where sumaMenores n (x:xs) a | n <= x    = a
                                | otherwise = sumaMenores n xs (a+x)

-- primos es la lista de los número primos obtenida mediante la criba de 
-- Erastótenes. Por ejemplo,
--    primos  =>  [2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,...
primos :: [Integer]
primos = criba [2..]
         where criba (p:ps) = p : criba [n | n<-ps, mod n p /= 0]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 3. (Problema 12 del Proyecto Euler)
-- La sucesión de los números triangulares se obtiene sumando los
-- números naturales. Así, el 7º número triangular es 
--    1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28. 
-- Los primeros 10 números triangulares son
--    1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, ...
-- Los divisores de los primeros 7 números triangulares son:
--     1: 1
--     3: 1,3
--     6: 1,2,3,6
--    10: 1,2,5,10
--    15: 1,3,5,15
--    21: 1,3,7,21
--    28: 1,2,4,7,14,28
-- Como se puede observar, 28 es el menor número triangular con más de 5
-- divisores. 
-- 
-- Definir la función 
--    euler12 :: Int -> Integer
-- tal que (euler12 n) es el menor número triangular con más de n
-- divisores. Por ejemplo,
--    euler12 5  ==  28
-- ---------------------------------------------------------------------

euler12 :: Int -> Integer
euler12 n = head [x | x <- triangulares, nDivisores x > n]

-- triangulares es la lista de los números triangulares
--    take 10 triangulares  =>  [1,3,6,10,15,21,28,36,45,55]
triangulares :: [Integer]
triangulares = 1:[x+y | (x,y) <- zip [2..] triangulares]

-- Otra definición de triangulares es
triangulares' :: [Integer]
triangulares' = scanl (+) 1 [2..]

-- (divisores n) es la lista de los divisores de n. Por ejemplo,
--    divisores 28  ==  [1,2,4,7,14,28]
divisores :: Integer -> [Integer]
divisores x = [y | y <- [1..x], mod x y == 0]

-- (nDivisores n) es el número de los divisores de n. Por ejemplo,
--    nDivisores 28  ==  6
nDivisores :: Integer -> Int
nDivisores x = length (divisores x)

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 4. Definir la función 
--    circulo :: Int -> Int
-- tal que (circulo n) es el la cantidad de pares de números naturales
-- (x,y) que se encuentran dentro del círculo de radio n. Por ejemplo,
--    circulo 3  ==  9
--    circulo 4  ==  15
--    circulo 5  ==  22
-- ---------------------------------------------------------------------

circulo :: Int -> Int
circulo n = length [(x,y) | x <- [0..n], y <- [0..n], x^2+y^2 < n^2]

-- La eficiencia puede mejorarse con
circulo' :: Int -> Int
circulo' n = length [(x,y) | x <- [0..m], y <- [0..m], x^2+y^2 < n^2]
    where m = raizCuadradaEntera n

-- (raizCuadradaEntera n) es la parte entera de la raíz cuadrada de
-- n. Por ejemplo,
--    raizCuadradaEntera 17  ==  4 
raizCuadradaEntera :: Int -> Int
raizCuadradaEntera n = truncate (sqrt (fromIntegral n))

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-- Introducción --

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-- En esta relación se estudia distintas aplicaciones de la programación

-- funcional que usan listas infinitas

-- * definición alternativa de la sucesión de Hamming estudiada en el

-- tema 11,

-- * propiedades de la sucesión de Hamming,

-- * problemas 10 y 12 del proyecto Euler y

-- * numero de pares de naturales en un círculo.

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Importación de librerías --

-- ---------------------------------------------------------------------

import Test.QuickCheck

import Data.List

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 1.1. Definir la función

-- divisoresEn :: Integer -> [Integer] -> Bool

-- tal que (divisoresEn x ys) se verifica si x puede expresarse como un

-- producto de potencias de elementos de ys. Por ejemplo,

-- divisoresEn 12 [2,3,5] == True

-- divisoresEn 14 [2,3,5] == False

-- ---------------------------------------------------------------------

divisoresEn :: Integer -> [Integer] -> Bool

divisoresEn 1 _ = True

divisoresEn x [] = False

divisoresEn x (y:ys) | mod x y == 0 = divisoresEn (div x y) (y:ys)

| otherwise = divisoresEn x ys

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 1.2. Los números de Hamming forman una sucesión

-- estrictamente creciente de números que cumplen las siguientes

-- condiciones:

-- 1. El número 1 está en la sucesión.

-- 2. Si x está en la sucesión, entonces 2x, 3x y 5x también están.

-- 3. Ningún otro número está en la sucesión.

-- Definir, usando divisoresEn, la constante

-- hamming :: [Integer]

-- tal que hamming es la sucesión de Hamming. Por ejemplo,

-- take 12 hamming == [1,2,3,4,5,6,8,9,10,12,15,16]

-- ---------------------------------------------------------------------

hamming :: [Integer]

hamming = [x | x <- [1..], divisoresEn x [2,3,5]]

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 1.3. Definir la función

-- cantidadHammingMenores :: Integer -> Int

-- tal que (cantidadHammingMenores x) es la cantidad de números de

-- Hamming menores que x. Por ejemplo,

-- cantidadHammingMenores 6 == 5

-- cantidadHammingMenores 7 == 6

-- cantidadHammingMenores 8 == 6

-- ---------------------------------------------------------------------

cantidadHammingMenores :: Integer -> Int

cantidadHammingMenores x = length (takeWhile (<x) hamming)

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 1.4. Definir la función

-- siguienteHamming :: Integer -> Integer

-- tal que (siguienteHamming x) es el menor número de la sucesión de

-- Hamming mayor que x. Por ejemplo,

-- siguienteHamming 6 == 8

-- siguienteHamming 21 == 24

-- ---------------------------------------------------------------------

siguienteHamming :: Integer -> Integer

siguienteHamming x = head (dropWhile (<=x) hamming)

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 1.5. Definir la función

-- huecoHamming :: Integer -> [(Integer,Integer)]

-- tal que (huecoHamming n) es la lista de pares de números consecutivos

-- en la sucesión de Hamming cuya distancia es mayor o igual que n. Por

-- ejemplo,

-- take 4 (huecoHamming 2) == [(12,15),(20,24),(27,30),(32,36)]

-- take 3 (huecoHamming 2) == [(12,15),(20,24),(27,30)]

-- take 2 (huecoHamming 3) == [(20,24),(32,36)]

-- head (huecoHamming 10) == (108,120)

-- head (huecoHamming 1000) == (34992,36000)

-- ---------------------------------------------------------------------

huecoHamming :: Integer -> [(Integer,Integer)]

huecoHamming n = [(x,y) | x <- hamming,

let y = siguienteHamming x,

y-x > n]

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 1.6. Comprobar con QuickCheck que para todo n, existen

-- pares de números consecutivos en la sucesión de Hamming cuya

-- distancia es mayor o igual que n.

-- ---------------------------------------------------------------------

-- La propiedad es

prop_Hamming :: Integer -> Bool

prop_Hamming n = huecoHamming n' /= []

where n' = abs n

-- La comprobación es

-- *Main> quickCheck prop_Hamming

-- OK, passed 100 tests.

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 2. (Problema 10 del Proyecto Euler)

-- Definir la función

-- sumaPrimoMenores :: Integer -> Integer

-- tal que (sumaPrimoMenores n) es la suma de los primos menores que

-- n. Por ejemplo,

-- sumaPrimoMenores 10 == 17

-- ---------------------------------------------------------------------

-- La definición es

sumaPrimoMenores :: Integer -> Integer

sumaPrimoMenores n = sumaMenores n primos 0

where sumaMenores n (x:xs) a | n <= x = a

| otherwise = sumaMenores n xs (a+x)

-- primos es la lista de los número primos obtenida mediante la criba de

-- Erastótenes. Por ejemplo,

-- primos => [2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,...

primos :: [Integer]

primos = criba [2..]

where criba (p:ps) = p : criba [n | n<-ps, mod n p /= 0]

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 3. (Problema 12 del Proyecto Euler)

-- La sucesión de los números triangulares se obtiene sumando los

-- números naturales. Así, el 7º número triangular es

-- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28.

-- Los primeros 10 números triangulares son

-- 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, ...

-- Los divisores de los primeros 7 números triangulares son:

-- 1: 1

-- 3: 1,3

-- 6: 1,2,3,6

-- 10: 1,2,5,10

-- 15: 1,3,5,15

-- 21: 1,3,7,21

-- 28: 1,2,4,7,14,28

-- Como se puede observar, 28 es el menor número triangular con más de 5

-- divisores.

-- Definir la función

-- euler12 :: Int -> Integer

-- tal que (euler12 n) es el menor número triangular con más de n

-- divisores. Por ejemplo,

-- euler12 5 == 28

-- ---------------------------------------------------------------------

euler12 :: Int -> Integer

euler12 n = head [x | x <- triangulares, nDivisores x > n]

-- triangulares es la lista de los números triangulares

-- take 10 triangulares => [1,3,6,10,15,21,28,36,45,55]

triangulares :: [Integer]

triangulares = 1:[x+y | (x,y) <- zip [2..] triangulares]

-- Otra definición de triangulares es

triangulares' :: [Integer]

triangulares' = scanl (+) 1 [2..]

-- (divisores n) es la lista de los divisores de n. Por ejemplo,

-- divisores 28 == [1,2,4,7,14,28]

divisores :: Integer -> [Integer]

divisores x = [y | y <- [1..x], mod x y == 0]

-- (nDivisores n) es el número de los divisores de n. Por ejemplo,

-- nDivisores 28 == 6

nDivisores :: Integer -> Int

nDivisores x = length (divisores x)

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 4. Definir la función

-- circulo :: Int -> Int

-- tal que (circulo n) es el la cantidad de pares de números naturales

-- (x,y) que se encuentran dentro del círculo de radio n. Por ejemplo,

-- circulo 3 == 9

-- circulo 4 == 15

-- circulo 5 == 22

-- ---------------------------------------------------------------------

circulo :: Int -> Int

circulo n = length [(x,y) | x <- [0..n], y <- [0..n], x^2+y^2 < n^2]

-- La eficiencia puede mejorarse con

circulo' :: Int -> Int

circulo' n = length [(x,y) | x <- [0..m], y <- [0..m], x^2+y^2 < n^2]

where m = raizCuadradaEntera n

-- (raizCuadradaEntera n) es la parte entera de la raíz cuadrada de

-- n. Por ejemplo,

-- raizCuadradaEntera 17 == 4

raizCuadradaEntera :: Int -> Int

raizCuadradaEntera n = truncate (sqrt (fromIntegral n))

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