I1M2010: Ejercicios sobre la numeración de los racionales en Haskell
En la clase de hoy de Informática de 1º del Grado en Matemáticas hemos comentado las soluciones a los ejercicios sobre la numeración de los números racionales en Haskell de la 31ª relación.
Los ejercicios y su solución se muestran a continuación
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-- --------------------------------------------------------------------- -- Introducción -- -- --------------------------------------------------------------------- -- El objetivo de esta relación es construir dos enumeraciones de los -- números racionales. Concretamente, -- * una enumeración basada en las representaciones hiperbinarias y -- * una enumeración basada en los los árboles de Calkin-Wilf. -- También se incluye la comprobación de la igualdad de las dos -- sucesiones y una forma alternativa de calcular el número de -- representaciones hiperbinarias mediante la función fucs. -- -- Esta relación se basa en los siguientes artículos: -- * Gaussianos "Sorpresa sumando potencias de 2" http://goo.gl/AHdAG -- * N. Calkin y H.S. Wilf "Recounting the rationals" http://goo.gl/gVZtW -- * Wikipedia "Calkin-Wilf tree" http://goo.gl/cB3vn -- --------------------------------------------------------------------- -- Importación de librerías -- -- --------------------------------------------------------------------- import Data.List import Test.QuickCheck -- --------------------------------------------------------------------- -- Numeración de los racionales mediante representaciones hiperbinarias -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 1. Definir la constante -- potenciasDeDos :: [Integer] -- tal que potenciasDeDos es la lista de las potencias de 2. Por -- ejemplo, -- take 10 potenciasDeDos == [1,2,4,8,16,32,64,128,256,512] -- --------------------------------------------------------------------- potenciasDeDos :: [Integer] potenciasDeDos = [2^n | n <- [0..]] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 2. Definir la función -- empiezaConDos :: Eq a => a -> [a] -> Bool -- tal que (empiezaConDos x ys) se verifica si los dos primeros -- elementos de ys son iguales a x. Por ejemplo, -- empiezaConDos 5 [5,5,3,7] == True -- empiezaConDos 5 [5,3,5,7] == False -- empiezaConDos 5 [5,5,5,7] == True -- --------------------------------------------------------------------- empiezaConDos x (y1:y2:ys) = y1 == x && y2 == x empiezaConDos x (y1:y2:ys) = y1 == x && y2 == x empiezaConDos x _ = False -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 3. Definir la función -- representacionesHB :: Integer -> [[Integer]] -- tal que (representacionesHB n) es la lista de las representaciones -- hiperbinarias del número n como suma de potencias de 2 donde cada -- sumando aparece como máximo 2 veces. Por ejemplo -- representacionesHB 5 == [[1,2,2],[1,4]] -- representacionesHB 6 == [[1,1,2,2],[1,1,4],[2,4]] -- --------------------------------------------------------------------- representacionesHB :: Integer -> [[Integer]] representacionesHB n = representacionesHB' n potenciasDeDos representacionesHB' n (x:xs) | n == 0 = [[]] | x == n = [[x]] | x < n = [x:ys | ys <- representacionesHB' (n-x) (x:xs), not (empiezaConDos x ys)] ++ representacionesHB' n xs | otherwise = [] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 4. Definir la función -- nRepresentacionesHB :: Integer -> Integer -- tal que (nRepresentacionesHB n) es el número de las representaciones -- hiperbinarias del número n como suma de potencias de 2 donde cada -- sumando aparece como máximo 2 veces. Por ejemplo, -- ghci> [nRepresentacionesHB n | n <- [0..20]] -- [1,1,2,1,3,2,3,1,4,3,5,2,5,3,4,1,5,4,7,3,8] -- --------------------------------------------------------------------- nRepresentacionesHB :: Integer -> Integer nRepresentacionesHB = genericLength . representacionesHB -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 5. Definir la función -- termino :: Integer -> (Integer,Integer) -- tal que (termino n) es el par formado por el número de -- representaciones hiperbinarias de n y de n+1 (que se interpreta como -- su cociente). Por ejemplo, -- termino 4 == (3,2) -- --------------------------------------------------------------------- termino :: Integer -> (Integer,Integer) termino n = (nRepresentacionesHB n, nRepresentacionesHB (n+1)) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 6. Definir la función -- sucesionHB :: [(Integer,Integer)] -- sucesionHB es la la sucesión cuyo témino n-ésimo es (termino n); es -- decir, el par formado por el número de representaciones hiperbinarias -- de n y de n+1. Por ejemplo, -- ghci> take 10 sucesionHB -- [(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(3,2),(2,3),(3,1),(1,4),(4,3),(3,5)] -- --------------------------------------------------------------------- sucesionHB :: [(Integer,Integer)] sucesionHB = [termino n | n <- [0..]] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 7. Comprobar con QuickCheck que, para todo n, -- (nRepresentacionesHB n) y (nRepresentacionesHB (n+1)) son primos -- entre sí. -- --------------------------------------------------------------------- prop_irreducibles :: Integer -> Property prop_irreducibles n = n >= 0 ==> gcd (nRepresentacionesHB n) (nRepresentacionesHB (n+1)) == 1 -- La comprobación es -- ghci> quickCheck prop_irreducibles -- +++ OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 8. Comprobar con QuickCheck que todos los elementos de la -- sucesionHB son distintos. -- --------------------------------------------------------------------- prop_distintos :: Integer -> Integer -> Bool prop_distintos n m = termino n' /= termino m' where n' = abs n m' = n' + abs m + 1 -- La comprobación es -- ghci> quickCheck prop_distintos -- +++ OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 9. Definir la función -- contenido :: Integer -> Integer -> Bool -- tal que (contenido n) se verifica si la expresiones reducidas de -- todas las fracciones x/y, con x e y entre 1 y n, pertenecen a la -- sucesionHB. Por ejemplo, -- contenidos 5 == True -- --------------------------------------------------------------------- contenido :: Integer -> Bool contenido n = and [pertenece (reducida (x,y)) sucesionHB | x <- [1..n], y <- [1..n]] where pertenece x (y:ys) = x == y || pertenece x ys reducida (x,y) = (x `div` z, y `div` z) where z = gcd x y -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 10. Definir la función -- indice :: (Integer,Integer) -> Integer -- tal que (indice (a,b)) es el índice del par (a,b) en la sucesión de -- los racionales. Por ejemplo, -- indice (3,2) == 4 -- --------------------------------------------------------------------- indice :: (Integer,Integer) -> Integer indice (a,b) = head [n | (n,(x,y)) <- zip [0..] sucesionHB, (x,y) == (a,b)] -- --------------------------------------------------------------------- -- Numeraciones mediante árboles de Calkin-Wilf -- -- --------------------------------------------------------------------- -- El árbol de Calkin-Wilf es el árbol definido por las siguientes -- reglas: -- * El nodo raíz es el (1,1) -- * Los hijos del nodo (x,y) son (x,x+y) y (x+y,y) -- Por ejemplo, los 4 primeros niveles del árbol de Calkin-Wilf son -- (1,1) -- | -- +-----------+-----------+ -- | | -- (1,2) (2,1) -- | | -- +-----+-----+ +-----+-----+ -- | | | | -- (1,3) (3,2) (2,3) (3,1) -- | | | | -- +--+--+ +--+--+ +--+--+ +--+--+ -- | | | | | | | | -- (1,4) (4,3) (3,5) (5,2) (2,5) (5,3) (3,4) (4,1) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 11. Definir la función -- sucesores :: (Integer,Integer) -> [(Integer,Integer)] -- tal que (sucesores (x,y)) es la lista de los hijos del par (x,y) en -- el árbol de Calkin-Wilf. Por ejemplo, -- sucesores (3,2) == [(3,5),(5,2)] -- --------------------------------------------------------------------- sucesores :: (Integer,Integer) -> [(Integer,Integer)] sucesores (x,y) = [(x,x+y),(x+y,y)] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 12. Definir la función -- siguiente :: [(Integer,Integer)] -> [(Integer,Integer)] -- tal que (siguiente xs) es la lista formada por los hijos de los -- elementos de xs en el árbol de Calkin-Wilf. Por ejemplo, -- ghci> siguiente [(1,3),(3,2),(2,3),(3,1)] -- [(1,4),(4,3),(3,5),(5,2),(2,5),(5,3),(3,4),(4,1)] -- --------------------------------------------------------------------- siguiente :: [(Integer,Integer)] -> [(Integer,Integer)] siguiente xs = [p | x <- xs, p <- sucesores x] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 13. Definir la constante -- nivelesCalkinWilf:: [[(Integer,Integer)]] -- tal que nivelesCalkinWilf es la lista de los niveles del árbol de -- Calkin-Wilf. Por ejemplo, -- ghci> take 4 nivelesCalkinWilf -- [[(1,1)], -- [(1,2),(2,1)], -- [(1,3),(3,2),(2,3),(3,1)], -- [(1,4),(4,3),(3,5),(5,2),(2,5),(5,3),(3,4),(4,1)]] -- --------------------------------------------------------------------- nivelesCalkinWilf:: [[(Integer,Integer)]] nivelesCalkinWilf = iterate siguiente [(1,1)] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 14. Definir la constante -- sucesionCalkinWilf :: [(Integer,Integer)] -- tal que sucesionCalkinWilf es la lista correspondiente al recorrido -- en anchura del árbol de Calkin-Wilf. Por ejemplo, -- ghci> take 10 sucesionCalkinWilf -- [(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(3,2),(2,3),(3,1),(1,4),(4,3),(3,5)] -- --------------------------------------------------------------------- sucesionCalkinWilf :: [(Integer,Integer)] sucesionCalkinWilf = concat nivelesCalkinWilf -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 15. Definir la función -- igual_sucesion_HB_CalkinWilf :: Int -> Bool -- tal que (igual_sucesion_HB_CalkinWilf n) se verifica si los n -- primeros términos de la sucesión HB son iguales que los de la -- sucesión de Calkin-Wilf. Por ejemplo, -- igual_sucesion_HB_CalkinWilf 20 == True -- --------------------------------------------------------------------- igual_sucesion_HB_CalkinWilf :: Int -> Bool igual_sucesion_HB_CalkinWilf n = take n sucesionCalkinWilf == take n sucesionHB -- --------------------------------------------------------------------- -- Número de representaciones hiperbinarias mediante la función fusc -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 16. Definir la función -- fusc :: Integer -> Integer -- tal que -- fusc(0) = 1 -- fusc(2n+1) = fusc(n) -- fusc(2n+2) = fusc(n+1)+fusc(n) -- Por ejemplo, -- fusc 4 == 3 -- --------------------------------------------------------------------- fusc :: Integer -> Integer fusc 0 = 1 fusc n | odd n = fusc ((n-1) `div` 2) | otherwise = fusc(m+1) + fusc m where m = (n-2) `div` 2 -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 17. Comprobar con QuickCheck que, para todo n, (fusc n) es -- el número de las representaciones hiperbinarias del número n como -- suma de potencias de 2 donde cada sumando aparece como máximo 2 -- veces; es decir, que las funciones fusc y nRepresentacionesHB son -- equivalentes. -- --------------------------------------------------------------------- prop_fusc :: Integer -> Bool prop_fusc n = nRepresentacionesHB n' == fusc n' where n' = abs n -- La comprobación es -- ghci> quickCheck prop_fusc -- +++ OK, passed 100 tests. |
Las soluciones de las relaciones anteriores se encuentran en el libro Ejercicios de “Informática de 1º de Matemáticas” (Curso 2010-11).