I1M2010: Ejercicios de Haskell (relación 14)
En la clase de hoy de Informática de 1º del Grado en Matemáticas hemos comentado la resolución de los 12 primeros ejercicios de la 14ª relación.
Los ejercicios y su solución se muestran a continuación
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-- Cada comienzo de año se suelen buscar propiedades numéricas del -- número del año. En el 2011 se han buscado propiedades que relacionan -- el 2011 y los números primos. En este ejercicio vamos a realizar la -- búsqueda de dichas propiedades con Haskell. import Data.List (sort) -- La criba de Erastótenes es un método para calcular números primos. Se -- comienza escribiendo todos los números desde 2 hasta (supongamos) -- 100. El primer número (el 2) es primo. Ahora eliminamos todos los -- múltiplos de 2. El primero de los números restantes (el 3) también es -- primo. Ahora eliminamos todos los múltiplos de 3. El primero de los -- números restantes (el 5) también es primo ... y así -- sucesivamente. Cuando no quedan números, se han encontrado todos los -- números primos en el rango fijado. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 1. Definir la función -- elimina :: Int -> [Int] -> [Int] -- tal que (elimina n xs) es la lista obtenida eliminando en la lista xs -- los múltiplos de n. Por ejemplo, -- elimina 3 [2,3,8,9,5,6,7] == [2,8,5,7] -- --------------------------------------------------------------------- -- Por comprensión: elimina :: Int -> [Int] -> [Int] elimina n xs = [ x | x <- xs, x `mod` n /= 0 ] -- Por recursión: eliminaR :: Int -> [Int] -> [Int] eliminaR n [] = [] eliminaR n (x:xs) | mod x n == 0 = eliminaR n xs | otherwise = x : eliminaR n xs -- Por plegado: eliminaP :: Int -> [Int] -> [Int] eliminaP n = foldr f [] where f x y | mod x n == 0 = y | otherwise = x:y -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 2. Definir la función -- criba :: [Int] -> [Int] -- tal que (criba xs) es la lista obtenida cribando la lista xs con el -- método descrito anteriormente. Por ejemplo, -- criba [2..20] == [2,3,5,7,11,13,17,19] -- take 10 (criba [2..]) == [2,3,5,7,11,13,17,19,23,29] -- --------------------------------------------------------------------- criba :: [Int] -> [Int] criba [] = [] criba (n:ns) = n : criba (elimina n ns) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 3. Definir la función -- primos :: [Int] -- cuyo valor es la lista de los números primos. Por ejemplo, -- take 10 primos == [2,3,5,7,11,13,17,19,23,29] -- --------------------------------------------------------------------- primos :: [Int] primos = criba [2..] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 4. Definir la función -- esPrimo :: Int -> Bool -- tal que (esPrimo n) se verifica si n es primo. Por ejemplo, -- esPrimo 7 == True -- esPrimo 9 == False -- --------------------------------------------------------------------- esPrimo :: Int -> Bool esPrimo n = head (dropWhile (<n) primos) == n -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 5. Comprobar que 2011 es primo. -- --------------------------------------------------------------------- -- La comprobación es -- ghci> esPrimo 2011 -- True -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 6. Definir la función -- prefijosConSuma :: [Int] -> Int -> [[Int]] -- tal que (prefijosConSuma xs n) es la lista de los prefijos de xs cuya -- suma es n. Por ejemplo, -- prefijosConSuma [1..10] 3 == [[1,2]] -- prefijosConSuma [1..10] 4 == [] -- --------------------------------------------------------------------- prefijosConSuma :: [Int] -> Int -> [[Int]] prefijosConSuma [] 0 = [[]] prefijosConSuma [] n = [] prefijosConSuma (x:xs) n | x < n = [x:ys | ys <- prefijosConSuma xs (n-x)] | x == n = [[x]] | x > n = [] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 7. Definir la función -- consecutivosConSuma :: [Int] -> Int -> [[Int]] -- (consecutivosConSuma xs n) es la lista de los elementos consecutivos -- de xs cuya suma es n. Por ejemplo, -- consecutivosConSuma [1..10] 9 == [[2,3,4],[4,5],[9]] -- --------------------------------------------------------------------- consecutivosConSuma :: [Int] -> Int -> [[Int]] consecutivosConSuma [] 0 = [[]] consecutivosConSuma [] n = [] consecutivosConSuma (x:xs) n = (prefijosConSuma (x:xs) n) ++ (consecutivosConSuma xs n) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 8. Definir la función -- primosConsecutivosConSuma :: Int -> [[Int]] -- tal que (primosConsecutivosConSuma n) es la lista de los números -- primos consecutivos cuya suma es n. Por ejemplo, -- ghci> primosConsecutivosConSuma 41 -- [[2,3,5,7,11,13],[11,13,17],[41]] -- --------------------------------------------------------------------- primosConsecutivosConSuma :: Int -> [[Int]] primosConsecutivosConSuma n = consecutivosConSuma (takeWhile (<=n) primos) n -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 9. Calcular las descomposiciones de 2011 como sumas de -- primos consecutivos. -- --------------------------------------------------------------------- -- El cálculo es -- ghci> primosConsecutivosConSuma 2011 -- [[157,163,167,173,179,181,191,193,197,199,211],[661,673,677],[2011]] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 10. Definir la función -- propiedad1 :: Int -> Bool -- tal que (propiedad1 n) se verifica si n sólo se puede expresar como -- sumas de 1, 3 y 11 primos consecutivos. Por ejemplo, -- propiedad1 2011 == True -- propiedad1 2010 == False -- --------------------------------------------------------------------- propiedad1 :: Int -> Bool propiedad1 n = sort (map length (primosConsecutivosConSuma n)) == [1,3,11] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 11. Calcular los años hasta el 3000 que cumplen la -- propiedad1. -- --------------------------------------------------------------------- -- El cálculo es -- ghci> [n | n <- [1..3000], propiedad1 n] -- [883,2011] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 12. Definir la función -- sumaCifras :: Int -> Int -- tal que (sumaCifras x) es la suma de las cifras del número x. Por -- ejemplo, -- sumaCifras 254 == 11 -- --------------------------------------------------------------------- sumaCifras :: Int -> Int sumaCifras x = sum [read [y] | y <- show x] |