I1M2012: Combinatoria en Haskell (1)
En la clase de hoy de Informática de 1º del Grado en Matemáticas se han explicado las soluciones de los 19 primeros ejercicios de la relación 22.
El objetivo de esta relación es estudiar la generación y el número de
las principales operaciones de la combinatoria. En concreto, se
estudia
- Permutaciones.
- Combinaciones sin repetición..
- Combinaciones con repetición
- Variaciones sin repetición.
- Variaciones con repetición.
Además, se estudia dos temas relacionados:
- Reconocimiento y generación de subconjuntos y
- El triángulo de Pascal
Los ejercicios, y sus soluciones, se muestran a continuación.
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-- --------------------------------------------------------------------- -- Importación de librerías -- -- --------------------------------------------------------------------- import Test.QuickCheck import Data.List (genericLength) -- --------------------------------------------------------------------- -- § Subconjuntos -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 1. Definir, por recursión, la función -- subconjunto :: Eq a => [a] -> [a] -> Bool -- tal que (subconjunto xs ys) se verifica si xs es un subconjunto de -- ys. Por ejemplo, -- subconjunto [1,3,2,3] [1,2,3] == True -- subconjunto [1,3,4,3] [1,2,3] == False -- --------------------------------------------------------------------- subconjunto :: Eq a => [a] -> [a] -> Bool subconjunto [] _ = True subconjunto (x:xs) ys = elem x ys && subconjunto xs ys -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 2. Definir, mediante all, la función -- subconjunto' :: Eq a => [a] -> [a] -> Bool -- tal que (subconjunto' xs ys) se verifica si xs es un subconjunto de -- ys. Por ejemplo, -- subconjunto' [1,3,2,3] [1,2,3] == True -- subconjunto' [1,3,4,3] [1,2,3] == False -- --------------------------------------------------------------------- subconjunto' :: Eq a => [a] -> [a] -> Bool subconjunto' xs ys = all (`elem` ys) xs -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 3. Comprobar con QuickCheck que las funciones subconjunto -- y subconjunto' son equivalentes. -- --------------------------------------------------------------------- -- La propiedad es prop_equivalencia :: [Int] -> [Int] -> Bool prop_equivalencia xs ys = subconjunto xs ys == subconjunto' xs ys -- La comprobación es -- ghci> quickCheck prop_equivalencia -- OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 4. Definir la función -- igualConjunto :: Eq a => [a] -> [a] -> Bool -- tal que (igualConjunto xs ys) se verifica si las listas xs e ys, -- vistas como conjuntos, son iguales. Por ejemplo, -- igualConjunto [1..10] [10,9..1] == True -- igualConjunto [1..10] [11,10..1] == False -- --------------------------------------------------------------------- igualConjunto :: Eq a => [a] -> [a] -> Bool igualConjunto xs ys = subconjunto xs ys && subconjunto ys xs -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 5. Definir la función -- subconjuntos :: [a] -> [[a]] -- tal que (subconjuntos xs) es la lista de las subconjuntos de la lista -- xs. Por ejemplo, -- ghci> subconjuntos [2,3,4] -- [[2,3,4],[2,3],[2,4],[2],[3,4],[3],[4],[]] -- ghci> subconjuntos [1,2,3,4] -- [[1,2,3,4],[1,2,3],[1,2,4],[1,2],[1,3,4],[1,3],[1,4],[1], -- [2,3,4], [2,3], [2,4], [2], [3,4], [3], [4], []] -- --------------------------------------------------------------------- subconjuntos :: [a] -> [[a]] subconjuntos [] = [[]] subconjuntos (x:xs) = [x:ys | ys <- sub] ++ sub where sub = subconjuntos xs -- Cambiando la comprensión por map se obtiene subconjuntos' :: [a] -> [[a]] subconjuntos' [] = [[]] subconjuntos' (x:xs) = sub ++ map (x:) sub where sub = subconjuntos xs -- --------------------------------------------------------------------- -- § Permutaciones -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 6. Definir la función -- intercala :: a -> [a] -> [[a]] -- tal que (intercala x ys) es la lista de las listas obtenidas -- intercalando x entre los elementos de ys. Por ejemplo, -- intercala 1 [2,3] == [[1,2,3],[2,1,3],[2,3,1]] -- --------------------------------------------------------------------- intercala :: a -> [a] -> [[a]] intercala x [] = [[x]] intercala x (y:ys) = (x:y:ys) : [y:zs | zs <- intercala x ys] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 7. Definir la función -- permutaciones :: [a] -> [[a]] -- tal que (permutaciones xs) es la lista de las permutaciones de la -- lista xs. Por ejemplo, -- permutaciones "bc" == ["bc","cb"] -- permutaciones "abc" == ["abc","bac","bca","acb","cab","cba"] -- --------------------------------------------------------------------- permutaciones :: [a] -> [[a]] permutaciones [] = [[]] permutaciones (x:xs) = concat [intercala x ys | ys <- permutaciones xs] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 8. Definir la función -- permutacionesN :: Integer -> [[Integer]] -- tal que (permutacionesN n) es la lista de las permutaciones de los n -- primeros números. Por ejemplo, -- ghci> permutacionesN 3 -- [[1,2,3],[1,3,2],[2,1,3],[2,3,1],[3,1,2],[3,2,1]] -- --------------------------------------------------------------------- permutacionesN :: Integer -> [[Integer]] permutacionesN n = permutaciones [1..n] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 9. Definir, usando permutacionesN, la función -- numeroPermutacionesN :: Integer -> Integer -- tal que (numeroPermutacionesN n) es el número de permutaciones de un -- conjunto con n elementos. Por ejemplo, -- numeroPermutacionesN 3 == 6 -- numeroPermutacionesN 4 == 24 -- --------------------------------------------------------------------- numeroPermutacionesN :: Integer -> Integer numeroPermutacionesN = genericLength . permutacionesN -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 10. Definir la función -- fact :: Integer -> Integer -- tal que (fact n) es el factorial de n. Por ejemplo, -- fact 3 == 6 -- --------------------------------------------------------------------- fact :: Integer -> Integer fact n = product [1..n] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 11. Definir, usando fact, la función -- numeroPermutacionesN' :: Integer -> Integer -- tal que (numeroPermutacionesN' n) es el número de permutaciones de un -- conjunto con n elementos. Por ejemplo, -- numeroPermutacionesN' 3 == 6 -- numeroPermutacionesN' 4 == 24 -- --------------------------------------------------------------------- numeroPermutacionesN' :: Integer -> Integer numeroPermutacionesN' = fact -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 12. Definir la función -- prop_numeroPermutacionesN :: Integer -> Bool -- tal que (prop_numeroPermutacionesN n) se verifica si las funciones -- numeroPermutacionesN y numeroPermutacionesN' son equivalentes para -- los n primeros números. Por ejemplo, -- prop_numeroPermutacionesN 5 == True -- --------------------------------------------------------------------- prop_numeroPermutacionesN :: Integer -> Bool prop_numeroPermutacionesN n = and [numeroPermutacionesN x == numeroPermutacionesN' x | x <- [1..n]] -- --------------------------------------------------------------------- -- § Combinaciones -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 13. Definir la función -- combinaciones :: Integer -> [a] -> [[a]] -- tal que (combinaciones k xs) es la lista de las combinaciones de -- orden k de los elementos de la lista xs. Por ejemplo, -- ghci> combinaciones 2 "bcde" -- ["bc","bd","be","cd","ce","de"] -- ghci> combinaciones 3 "bcde" -- ["bcd","bce","bde","cde"] -- ghci> combinaciones 3 "abcde" -- ["abc","abd","abe","acd","ace","ade","bcd","bce","bde","cde"] -- --------------------------------------------------------------------- -- 1ª definición combinaciones_1 :: Integer -> [a] -> [[a]] combinaciones_1 n xs = [ys | ys <- subconjuntos xs, genericLength ys == n] -- 2ª definición combinaciones_2 :: Integer -> [a] -> [[a]] combinaciones_2 0 _ = [[]] combinaciones_2 _ [] = [] combinaciones_2 k (x:xs) = [x:ys | ys <- combinaciones_2 (k-1) xs] ++ combinaciones_2 k xs -- La anterior definición se puede escribir usando map: combinaciones_3 :: Integer -> [a] -> [[a]] combinaciones_3 0 _ = [[]] combinaciones_3 _ [] = [] combinaciones_3 (k+1) (x:xs) = map (x:) (combinaciones_3 k xs) ++ combinaciones_3 (k+1) xs -- Nota. La segunda definición es más eficiente como se comprueba en la -- siguiente sesión -- ghci> :set +s -- ghci> length (combinaciones_1 2 [1..15]) -- 105 -- (0.19 secs, 6373848 bytes) -- ghci> length (combinaciones_2 2 [1..15]) -- 105 -- (0.01 secs, 525360 bytes) -- ghci> length (combinaciones_3 2 [1..15]) -- 105 -- (0.02 secs, 528808 bytes) -- En lo que sigue, usaremos combinaciones como combinaciones_2 combinaciones :: Integer -> [a] -> [[a]] combinaciones = combinaciones_2 -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 14. Definir la función -- combinacionesN :: Integer -> Integer -> [[Int]] -- tal que (combinacionesN n k) es la lista de las combinaciones de -- orden k de los n primeros números. Por ejemplo, -- ghci> combinacionesN 4 2 -- [[1,2],[1,3],[1,4],[2,3],[2,4],[3,4]] -- ghci> combinacionesN 4 3 -- [[1,2,3],[1,2,4],[1,3,4],[2,3,4]] -- --------------------------------------------------------------------- combinacionesN :: Integer -> Integer -> [[Integer]] combinacionesN n k = combinaciones k [1..n] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 15. Definir, usando combinacionesN, la función -- numeroCombinaciones :: Integer -> Integer -> Integer -- tal que (numeroCombinaciones n k) es el número de combinaciones de -- orden k de un conjunto con n elementos. Por ejemplo, -- numeroCombinaciones 4 2 == 6 -- numeroCombinaciones 4 3 == 4 -- --------------------------------------------------------------------- numeroCombinaciones :: Integer -> Integer -> Integer numeroCombinaciones n k = genericLength (combinacionesN n k) -- Puede definirse por composición numeroCombinaciones_2 :: Integer -> Integer -> Integer numeroCombinaciones_2 = (genericLength .) . combinacionesN -- Para facilitar la escritura de las definiciones por composición de -- funciones con dos argumentos, se puede definir (.:) :: (c -> d) -> (a -> b -> c) -> a -> b -> d (.:) = (.) . (.) -- con lo que la definición anterior se simplifica a numeroCombinaciones_3 :: Integer -> Integer -> Integer numeroCombinaciones_3 = genericLength .: combinacionesN -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 16. Definir la función -- comb :: Integer -> Integer -> Integer -- tal que (comb n k) es el número combinatorio n sobre k; es decir, . -- (comb n k) = n! / (k!(n-k)!). -- Por ejemplo, -- comb 4 2 == 6 -- comb 4 3 == 4 -- --------------------------------------------------------------------- comb :: Integer -> Integer -> Integer comb n k = (fact n) `div` ((fact k) * (fact (n-k))) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 17. Definir, usando comb, la función -- numeroCombinaciones' :: Integer -> Integer -> Integer -- tal que (numeroCombinaciones' n k) es el número de combinaciones de -- orden k de un conjunto con n elementos. Por ejemplo, -- numeroCombinaciones' 4 2 == 6 -- numeroCombinaciones' 4 3 == 4 -- --------------------------------------------------------------------- numeroCombinaciones' :: Integer -> Integer -> Integer numeroCombinaciones' = comb -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 18. Definir la función -- prop_numeroCombinaciones :: Integer -> Bool -- tal que (prop_numeroCombinaciones n) se verifica si las funciones -- numeroCombinaciones y numeroCombinaciones' son equivalentes para -- los n primeros números y todo k entre 1 y n. Por ejemplo, -- prop_numeroCombinaciones 5 == True -- --------------------------------------------------------------------- prop_numeroCombinaciones :: Integer -> Bool prop_numeroCombinaciones n = and [numeroCombinaciones n k == numeroCombinaciones' n k | k <- [1..n]] -- --------------------------------------------------------------------- -- § Combinaciones con repetición -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 19. Definir la función -- combinacionesR :: Integer -> [a] -> [[a]] -- tal que (combinacionesR k xs) es la lista de las combinaciones orden -- k de los elementos de xs con repeticiones. Por ejemplo, -- ghci> combinacionesR 2 "abc" -- ["aa","ab","ac","bb","bc","cc"] -- ghci> combinacionesR 3 "bc" -- ["bbb","bbc","bcc","ccc"] -- ghci> combinacionesR 3 "abc" -- ["aaa","aab","aac","abb","abc","acc","bbb","bbc","bcc","ccc"] -- --------------------------------------------------------------------- combinacionesR :: Integer -> [a] -> [[a]] combinacionesR _ [] = [] combinacionesR 0 _ = [[]] combinacionesR k (x:xs) = [x:ys | ys <- combinacionesR (k-1) (x:xs)] ++ combinacionesR k xs |