ForMatUS: Regla de eliminación del cuantificador existencial en Lean
He añadido a la lista Lógica con Lean el vídeo en el que se comentan 11 pruebas en Lean de la propiedad
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∀x [P(x) → Q(x)], ∃x P(x) ⊢ ∃x Q(x) |
usando los estilos declarativos, aplicativos, funcional y automático.
A continuación, se muestra el vídeo
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-- Ej. 1. Demostrar -- ∀x [P(x) → Q(x)], ∃x P(x) ⊢ ∃x Q(x) import tactic variable U : Type variables P Q : U -> Prop -- 1ª demostración -- =============== example (h1 : ∀x, P x → Q x) (h2 : ∃x, P x) : ∃x, Q x := exists.elim h2 ( assume x₀ (h3 : P x₀), have h4 : P x₀ → Q x₀, from h1 x₀, have h5 : Q x₀, from h4 h3, show ∃x, Q x, from exists.intro x₀ h5 ) -- 2ª demostración -- =============== example (h1 : ∀x, P x → Q x) (h2 : ∃x, P x) : ∃x, Q x := exists.elim h2 ( assume x₀ (h3 : P x₀), have h4 : P x₀ → Q x₀, from h1 x₀, have h5 : Q x₀, from h4 h3, show ∃x, Q x, from ⟨x₀, h5⟩ ) -- 3ª demostración -- =============== example (h1 : ∀x, P x → Q x) (h2 : ∃x, P x) : ∃x, Q x := exists.elim h2 ( assume x₀ (h3 : P x₀), have h4 : P x₀ → Q x₀, from h1 x₀, have h5 : Q x₀, from h4 h3, ⟨x₀, h5⟩ ) -- 4ª demostración -- =============== example (h1 : ∀x, P x → Q x) (h2 : ∃x, P x) : ∃x, Q x := exists.elim h2 ( assume x₀ (h3 : P x₀), have h4 : P x₀ → Q x₀, from h1 x₀, ⟨x₀, h4 h3⟩ ) -- 5ª demostración -- =============== example (h1 : ∀x, P x → Q x) (h2 : ∃x, P x) : ∃x, Q x := exists.elim h2 ( assume x₀ (h3 : P x₀), ⟨x₀, h1 x₀ h3⟩ ) -- 6ª demostración -- =============== example (h1 : ∀x, P x → Q x) (h2 : ∃x, P x) : ∃x, Q x := exists.elim h2 (λ x₀ h3, ⟨x₀, h1 x₀ h3⟩) -- 7ª demostración -- =============== example (h1 : ∀x, P x → Q x) (h2 : ∃x, P x) : ∃x, Q x := -- by library_search Exists.imp h1 h2 -- 8ª demostración -- =============== example (h1 : ∀x, P x → Q x) (h2 : ∃x, P x) : ∃x, Q x := begin cases h2 with x₀ h3, use x₀, apply h1, exact h3, end -- 9ª demostración -- =============== example (h1 : ∀x, P x → Q x) (h2 : ∃x, P x) : ∃x, Q x := begin cases h2 with x₀ h3, use x₀, specialize h1 x₀, apply h1, exact h3, end -- 10ª demostración -- =============== example (h1 : ∀x, P x → Q x) (h2 : ∃x, P x) : ∃x, Q x := -- by hint by tauto -- 11ª demostración -- =============== example (h1 : ∀x, P x → Q x) (h2 : ∃x, P x) : ∃x, Q x := by finish |