ForMatUS: Pruebas en Lean de que las equivalencias son los preórdenes simétricos
He añadido a la lista Lógica con Lean el vídeo en el que se comentan 5 pruebas en Lean de que las equivalencias son los preórdenes simétricos, usando los estilos declarativos, aplicativos, funcional y automático.
A continuación, se muestra el vídeo
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-- ---------------------------------------------------- -- Ej. 1. Un preorden es una relación reflexiva y -- transitiva. -- -- Demostrar que las relaciones de equivalencias son -- los prórdenes simétricos. -- ---------------------------------------------------- import tactic variable {A : Type} variable R : A → A → Prop def preorden (R : A → A → Prop) : Prop := reflexive R ∧ transitive R -- #print equivalence -- #print symmetric -- 1ª demostración example : equivalence R ↔ preorden R ∧ symmetric R := begin split, { rintros ⟨h1, h2, h3⟩, exact ⟨⟨h1, h3⟩, h2⟩, }, { rintros ⟨⟨h1, h3⟩, h2⟩, exact ⟨h1, h2, h3⟩, }, end -- 2ª demostración example : equivalence R ↔ preorden R ∧ symmetric R := ⟨λ ⟨h1, h2, h3⟩, ⟨⟨h1, h3⟩, h2⟩, λ ⟨⟨h1, h3⟩, h2⟩, ⟨h1, h2, h3⟩⟩ -- 3ª demostración example : equivalence R ↔ preorden R ∧ symmetric R := iff.intro ( assume h1 : equivalence R, have h2 : reflexive R, from and.left h1, have h3 : symmetric R, from and.left (and.right h1), have h4 : transitive R, from and.right (and.right h1), show preorden R ∧ symmetric R, from and.intro (and.intro h2 h4) h3) ( assume h1 : preorden R ∧ symmetric R, have h2 : preorden R, from and.left h1, show equivalence R, from and.intro (and.left h2) (and.intro (and.right h1) (and.right h2))) -- 4ª demostración example : equivalence R ↔ preorden R ∧ symmetric R := begin unfold equivalence preorden, tauto, end -- 5ª demostración example : equivalence R ↔ preorden R ∧ symmetric R := by finish [preorden] |