ForMatUS: Pruebas en Lean de “Las funciones de extracción no están acotadas”
He añadido a la lista DAO (Demostración Asistida por Ordenador) con Lean el vídeo en el que se comentan 11 pruebas en Lean de la propiedad
Las funciones de extracción no están acotadas; es decir, que si φ es una función de extracción, entonces
∀ N N’, ∃ n ≥ N’, φ n ≥ N
usando los estilos declarativo, aplicativo y funcional.
A continuación, se muestra el vídeo
y el código de la teoría utilizada
|
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 |
import data.real.basic open nat variable {φ : ℕ → ℕ} -- ---------------------------------------------------- -- Nota. Se usará la siguiente definición y lema -- estudiado anteriormente. -- ---------------------------------------------------- def extraccion : (ℕ → ℕ) → Prop | φ := ∀ n m, n < m → φ n < φ m lemma id_mne_extraccion (h : extraccion φ) : ∀ n, n ≤ φ n := begin intros n, induction n with m HI, { linarith }, { exact nat.succ_le_of_lt (by linarith [h m (m+1) (by linarith)]) }, end -- ---------------------------------------------------- -- Ejercicio. Demostrar que las funciones de extracción -- no está acotadas; es decir, que si φ es una función -- de extracción, entonces -- ∀ N N', ∃ n ≥ N', φ n ≥ N -- ---------------------------------------------------- -- 1ª demostración example (h : extraccion φ) : ∀ N N', ∃ n ≥ N', φ n ≥ N := begin intros N N', let n := max N N', use n, split, { exact le_max_right N N', }, { calc N ≤ n : le_max_left N N' ... ≤ φ n : id_mne_extraccion h n, }, end -- 2ª demostración example (h : extraccion φ) : ∀ N N', ∃ n ≥ N', φ n ≥ N := begin intros N N', let n := max N N', use n, split, { exact le_max_right N N', }, { exact le_trans (le_max_left N N') (id_mne_extraccion h n), }, end -- 3ª demostración example (h : extraccion φ) : ∀ N N', ∃ n ≥ N', φ n ≥ N := begin intros N N', use max N N', split, { exact le_max_right N N', }, { exact le_trans (le_max_left N N') (id_mne_extraccion h (max N N')), }, end -- 4ª demostración example (h : extraccion φ) : ∀ N N', ∃ n ≥ N', φ n ≥ N := begin intros N N', use max N N', exact ⟨le_max_right N N', le_trans (le_max_left N N') (id_mne_extraccion h (max N N'))⟩, end -- 5ª demostración example (h : extraccion φ) : ∀ N N', ∃ n ≥ N', φ n ≥ N := λ N N', ⟨max N N', ⟨le_max_right N N', le_trans (le_max_left N N') (id_mne_extraccion h (max N N'))⟩⟩ -- 6ª demostración example (h : extraccion φ) : ∀ N N', ∃ n ≥ N', φ n ≥ N := assume N N', let n := max N N' in have h1 : n ≥ N', from le_max_right N N', show ∃ n ≥ N', φ n ≥ N, from exists.intro n (exists.intro h1 (show φ n ≥ N, from calc N ≤ n : le_max_left N N' ... ≤ φ n : id_mne_extraccion h n)) -- 7ª demostración example (h : extraccion φ) : ∀ N N', ∃ n ≥ N', φ n ≥ N := assume N N', let n := max N N' in have h1 : n ≥ N', from le_max_right N N', show ∃ n ≥ N', φ n ≥ N, from ⟨n, h1, calc N ≤ n : le_max_left N N' ... ≤ φ n : id_mne_extraccion h n⟩ -- 8ª demostración example (h : extraccion φ) : ∀ N N', ∃ n ≥ N', φ n ≥ N := assume N N', let n := max N N' in have h1 : n ≥ N', from le_max_right N N', show ∃ n ≥ N', φ n ≥ N, from ⟨n, h1, le_trans (le_max_left N N') (id_mne_extraccion h (max N N'))⟩ -- 9ª demostración example (h : extraccion φ) : ∀ N N', ∃ n ≥ N', φ n ≥ N := assume N N', let n := max N N' in have h1 : n ≥ N', from le_max_right N N', ⟨n, h1, le_trans (le_max_left N N') (id_mne_extraccion h n)⟩ -- 10ª demostración example (h : extraccion φ) : ∀ N N', ∃ n ≥ N', φ n ≥ N := assume N N', ⟨max N N', le_max_right N N', le_trans (le_max_left N N') (id_mne_extraccion h (max N N'))⟩ -- 11ª demostración example (h : extraccion φ) : ∀ N N', ∃ n ≥ N', φ n ≥ N := λ N N', ⟨max N N', le_max_right N N', le_trans (le_max_left N N') (id_mne_extraccion h (max N N'))⟩ |