ForMatUS: Pruebas en Lean de 𝒫 A ⊆ 𝒫 B ↔ A ⊆ B
He añadido a la lista Lógica con Lean el vídeo en el que se comentan pruebas de la monotonía del conjunto potencia:
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𝒫 A ⊆ 𝒫 B ↔ A ⊆ B |
usando los estilos declarativos, aplicativos, funcional y automático.
A continuación, se muestra el vídeo
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import data.set open set variable {U : Type} variables {A B C : set U} -- #reduce 𝒫 A -- #reduce B ∈ 𝒫 A -- ---------------------------------------------------- -- Ej. 1. Demostrar -- 𝒫 A ⊆ 𝒫 B → A ⊆ B -- ---------------------------------------------------- -- 1ª demostración example : 𝒫 A ⊆ 𝒫 B → A ⊆ B := begin intro h, apply subset_of_mem_powerset, apply h, apply mem_powerset, exact subset.rfl, end -- 2ª demostración example : 𝒫 A ⊆ 𝒫 B → A ⊆ B := begin intro h, apply h, exact subset.rfl, end -- 3ª demostración example : 𝒫 A ⊆ 𝒫 B → A ⊆ B := begin intro h, exact (h subset.rfl), end -- 4ª demostración example : 𝒫 A ⊆ 𝒫 B → A ⊆ B := λ h, h subset.rfl -- 5ª demostración example : 𝒫 A ⊆ 𝒫 B → A ⊆ B := assume h1 : 𝒫 A ⊆ 𝒫 B, have h2 : A ⊆ A, from subset.rfl, have h3 : A ∈ 𝒫 A, from h2, have h4 : A ∈ 𝒫 B, from h1 h3, show A ⊆ B, from h4 -- 6ª demostración example : 𝒫 A ⊆ 𝒫 B → A ⊆ B := assume h1 : 𝒫 A ⊆ 𝒫 B, have h2 : A ⊆ A, from subset.rfl, have h3 : A ∈ 𝒫 A, from h2, h1 h3 -- 7ª demostración example : 𝒫 A ⊆ 𝒫 B → A ⊆ B := assume h1 : 𝒫 A ⊆ 𝒫 B, have h2 : A ⊆ A, from subset.rfl, h1 h2 -- 8ª demostración example : 𝒫 A ⊆ 𝒫 B → A ⊆ B := assume h1 : 𝒫 A ⊆ 𝒫 B, h1 subset.rfl -- 9ª demostración lemma aux1 : 𝒫 A ⊆ 𝒫 B → A ⊆ B := λ h, h subset.rfl -- 10ª demostración example : 𝒫 A ⊆ 𝒫 B → A ⊆ B := powerset_mono.mp -- ---------------------------------------------------- -- Ej. 2. Demostrar -- A ⊆ B → 𝒫 A ⊆ 𝒫 B -- ---------------------------------------------------- -- 1ª demostración example : A ⊆ B → 𝒫 A ⊆ 𝒫 B := begin intro h, intros C hCA, apply mem_powerset, apply subset.trans hCA h, end -- 2ª demostración example : A ⊆ B → 𝒫 A ⊆ 𝒫 B := begin intros h C hCA, apply subset.trans hCA h, end -- 3ª demostración lemma aux2 : A ⊆ B → 𝒫 A ⊆ 𝒫 B := λ h C hCA, subset.trans hCA h -- 4ª demostración example : A ⊆ B → 𝒫 A ⊆ 𝒫 B := powerset_mono.mpr -- ---------------------------------------------------- -- Ej. 3. Demostrar -- 𝒫 A ⊆ 𝒫 B ↔ A ⊆ B -- ---------------------------------------------------- -- 1ª demostración example : 𝒫 A ⊆ 𝒫 B ↔ A ⊆ B := iff.intro aux1 aux2 -- 2ª demostración example : 𝒫 A ⊆ 𝒫 B ↔ A ⊆ B := -- by library_search powerset_mono -- 3ª demostración example : 𝒫 A ⊆ 𝒫 B ↔ A ⊆ B := -- by hint by finish -- 4ª demostración example : 𝒫 A ⊆ 𝒫 B ↔ A ⊆ B := by simp |