El problema de Josefo en Haskell
El problema de Josefo hace referencia a Flavio Josefo, un historiador judío que vivió en el siglo I. Según lo que cuenta Josefo, él y cuarenta soldados camaradas fueron capturados por los romanos. Antes que rendirse, decidieron acabar ellos mismos con sus vidas. Para hacerlo, se dispusieron en un círculo y acordaron que irían contando de tres en tres, de forma que cada tercer soldado sería ejecutado por la persona de su izquierda. El último hombre que quedara con vida tendría que suicidarse. Según cuenta la leyenda, Josefo calculó rápidamente cuál sería la posición del último hombre en morir para colocarse allí, y una vez hubieron muerto sus compatriotas, se entregó a los romanos.
El enunciado del problema de Josefo de orden (n,m) es el siguiente: Se tienen n personas entorno a un círculo, ordenadas y numeradas desde la primera a la n-ésima. Empezando por la persona número 1, se saltan m-1 personas y se mata a la m-ésima. A continuación se saltan otras m-1 personas y se ejecuta a la siguiente. El proceso continúa hasta que sólo quede una. El objetivo es, dados n y m, encontrar el lugar inicial en el círculo para sobrevivir.
A continuación muestro una relación de ejercicios (elaborada para la asignatura de Informática de 1º del Grado en Matemáticas y para la siguiente versión del libro Piensa en Haskell) en la que se presentan distintas soluciones y se compara su eficiencia.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 421 422 423 424 425 426 427 428 429 430 431 |
-- --------------------------------------------------------------------- -- § 1ª solución (con la sucesión de estados) -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 1. Consideremos el problema de Josefo con n=4 y m=2. La -- sucesión de estados es, donde con * se indica el último eliminado, -- 1 2 | 1 * | 1 | 1 -- 4 3 | 4 3 | * 3 | * -- La sucesión anterior se puede representar por -- [[1,2,3,4],[3,4,1],[1,3],[1]] -- Para n=5 y m=2, la sucesión de estados es -- 1 2 3 | 1 * 3 | 1 3 | * 3 | 3 -- 5 4 | 5 4 | 5 * | 5 | * -- que se puede representar por -- [[1,2,3,4,5],[3,4,5,1],[5,1,3],[3,5],[3]] -- Observar que en cada lista el primer elemento es el que está a -- continuación de la * en el sentido horario. -- -- Definir la función -- siguiente :: [Int] -> Int -> [Int] -- tal que (siguiente xs m) es la lista obtenida añadiendo k-1 primeros -- elementos de xs al final de la lista obtenida borrando los k primeros -- elementos de xs, donde k es el resto de dividir m entre la longitud -- de xs. Por ejemplo, -- siguiente [1..4] 2 == [3,4,1] -- siguiente [3,4,1] 2 == [1,3] -- siguiente [1,3] 2 == [3] -- siguiente [3] 2 == [3] -- siguiente [1..4] 7 == [4,1,2] -- --------------------------------------------------------------------- siguiente :: [Int] -> Int -> [Int] siguiente [x] _ = [x] siguiente xs m = zs ++ ys where (ys,z:zs) = splitAt ((m-1) `rem` length xs) xs -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 2. Definir la función -- sucesionJ :: Int -> Int -> [[Int]] -- tal que (sucesionJ n m) es la lista de los sucesivos estados del -- problema de Josefo con n posiciones y saltando m-1 cada vez. Por -- ejemplo, -- ghci> sucesionJ 4 2 -- [[1,2,3,4],[3,4,1],[1,3],[1]] -- ghci> sucesionJ 5 2 -- [[1,2,3,4,5],[3,4,5,1],[5,1,3],[3,5],[3]] -- --------------------------------------------------------------------- sucesionJ :: Int -> Int -> [[Int]] sucesionJ n m = aux [1..n] m where aux [x] _ = [[x]] aux xs m = xs : aux (siguiente xs m) m -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 3. Definir la función -- josefo1 :: Int -> Int -> Int -- tal que (josefo1 n m) es la posición del superviviente para el -- problema de Josefo con n elementos y saltando m-1 cada vez. Por -- ejemplo, -- ghci> josefo1 4 2 -- 1 -- ghci> josefo1 5 2 -- 3 -- ghci> [josefo1 n 2 | n <- [1..16]] -- [1,1,3,1,3,5,7,1,3,5,7,9,11,13,15,1] -- --------------------------------------------------------------------- josefo1 :: Int -> Int -> Int josefo1 n m = head (last (sucesionJ n m)) -- --------------------------------------------------------------------- -- § 2ª solución (sin la sucesión de estados) -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 4. Definir la función -- josefo2 :: Integer -> Integer -> Integer -- tal que (josefo2 n m) es igual a (josefo1 n m), pero con una -- definición recursiva sin necesidad de sucesionJ. Por ejemplo, -- ghci> josefo2 4 2 -- 1 -- ghci> josefo2 5 2 -- 3 -- ghci> [josefo2 n 2 | n <- [1..16]] -- [1,1,3,1,3,5,7,1,3,5,7,9,11,13,15,1] -- --------------------------------------------------------------------- josefo2 :: Integer -> Integer -> Integer josefo2 n m = aux [1..n] m where aux [y] _ = y aux (y:ys) k | k == 1 = aux ys m | otherwise = aux (ys++[y]) (k-1) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 5. Comparar las estadísticas para calcular -- (josefo1 10000 2) y (josefo2 10000 2) -- --------------------------------------------------------------------- -- La comparación es -- ghci> josefo1 10000 2 -- 3617 -- (7.40 secs, 1405343804 bytes) -- ghci> josefo2 10000 2 -- 3617 -- (6.17 secs, 2096366148 bytes) -- --------------------------------------------------------------------- -- § 3ª solución (con listas circulares) -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 6. Los estados se pueden representar mediante listas -- circulares. Por ejemplo, la sucesión de estados del problema de -- Josefo con n=4 y m=2, donde con * se indica el último eliminado, es -- 1 2 | 1 * | 1 | 1 -- 4 3 | 4 3 | * 3 | * -- que puede representarse por -- [([],[1,2,3,4]),([1],[3,4]),([3,1],[]),([1],[])] -- Para n=5 y m=2, la sucesión de estados es -- 1 2 3 | 1 * 3 | 1 3 | * 3 | 3 -- 5 4 | 5 4 | 5 * | 5 | * -- que se puede representar por -- [([],[1,2,3,4,5]),([1],[3,4,5]),([3,1],[5]),([],[3,5]),([3],[])] -- -- Definir la función -- siguienteC :: ([Integer],[Integer]) -> Integer -> ([Integer],[Integer]) -- tal que (siguienteC e m) es el estado siguiente del estado e -- saltándose m-1. Por ejemplo, -- ghci> siguienteC ([],[1..4]) 2 -- ([1],[3,4]) -- ghci> siguienteC ([1],[3,4]) 2 -- ([3,1],[]) -- ghci> siguienteC ([3,1],[]) 2 -- ([1],[]) -- ghci> siguienteC ([1],[]) 2 -- ([],[1]) -- ghci> siguienteC ([],[1]) 2 -- ([],[1]) -- --------------------------------------------------------------------- siguienteC :: ([Integer],[Integer]) -> Integer -> ([Integer],[Integer]) siguienteC ([],[y]) _ = ([],[y]) siguienteC (xs,[]) m = siguienteC ([],reverse xs) m siguienteC (xs,y:ys) 1 = (xs,ys) siguienteC (xs,y:ys) m = siguienteC (y:xs,ys) (m-1) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 7. Definir la función -- sucesionJC :: Integer -> Integer -> [([Integer],[Integer])] -- tal que (sucesionJC n m) es la lista de los sucesivos estados del -- problema de Josefo con n posiciones y saltando m-1 cada vez, usando -- lista circulares. Por ejemplo, -- ghci> sucesionJC 4 2 -- [([],[1,2,3,4]),([1],[3,4]),([3,1],[]),([1],[])] -- ghci> sucesionJC 5 2 -- [([],[1,2,3,4,5]),([1],[3,4,5]),([3,1],[5]),([],[3,5]),([3],[])] -- --------------------------------------------------------------------- sucesionJC :: Integer -> Integer -> [([Integer],[Integer])] sucesionJC n m = aux ([],[1..n]) m where aux ([],[y]) _ = [([],[y])] aux (xs,ys) m = (xs,ys) : aux (siguienteC (xs,ys) m) m -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 8. Definir, usando sucesionJC, la función -- josefo3 :: Integer -> Integer -> Integer -- tal que (josefo3 n m) es igual a (josefo1 n m). Por ejemplo, -- ghci> josefo3 4 2 -- 1 -- ghci> josefo3 5 2 -- 3 -- ghci> [josefo3 n 2 | n <- [1..16]] -- [1,1,3,1,3,5,7,1,3,5,7,9,11,13,15,1] -- --------------------------------------------------------------------- josefo3 :: Integer -> Integer -> Integer josefo3 n m = head (snd (last (sucesionJC n m))) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 9. Comparar las estadísticas para calcular -- (josefo2 10000 2) y (josefo3 10000 2) -- --------------------------------------------------------------------- -- La comparación es -- ghci> josefo2 10000 2 -- 3617 -- (6.37 secs, 2120477348 bytes) -- ghci> josefo3 10000 2 -- 3617 -- (0.11 secs, 4139408 bytes) -- --------------------------------------------------------------------- -- § 4ª solución (con listas circulares sin la sucesión de estados) -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 10. Definir, usando listas circulares pero no sucesionJC, -- la función -- josefo4 :: Integer -> Integer -> Integer -- tal que (josefo4 n m) es igual a (josefo1 n m). Por ejemplo, -- ghci> josefo4 4 2 -- 1 -- ghci> josefo4 5 2 -- 3 -- ghci> [josefo4 n 2 | n <- [1..16]] -- [1,1,3,1,3,5,7,1,3,5,7,9,11,13,15,1] -- --------------------------------------------------------------------- josefo4 :: Integer -> Integer -> Integer josefo4 n m = aux ([],[1..n]) m where aux ([],[y]) _ = y aux (xs,[]) k = aux ([],reverse xs) k aux (xs,y:ys) 1 = aux (xs,ys) m aux (xs,y:ys) k = aux (y:xs,ys) (k-1) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 11. Comparar las estadísticas para calcular -- (josefo3 100000 2) y (josefo4 100000 2) -- --------------------------------------------------------------------- -- La comparación es -- ghci> josefo3 100000 2 -- 68929 -- (0.87 secs, 37726352 bytes) -- ghci> josefo4 100000 2 -- 68929 -- (0.65 secs, 28423336 bytes) -- --------------------------------------------------------------------- -- § 5ª solución (por recursión sin listas para m=2) -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 12. Calcular las listas de los valores de (josefo1 n 2) -- para n en {1,2,...,20} y para n en {2,4,...,40}. ¿Qué relación se -- observa entre los elementos de ambas listas con la misma posición? ¿y -- entre (josefo1 n 2) y (josefo1 (n `div` 2) 2), cuando n es par? -- --------------------------------------------------------------------- -- El cálculo es -- ghci> [josefo1 n 2 | n <- [1..20]] -- [1,1,3,1,3,5,7,1,3,5,7,9,11,13,15,1,3,5,7,9] -- ghci> [josefo1 n 2 | n <- [2,4..40]] -- [1,1,5,1,5,9,13,1,5,9,13,17,21,25,29,1,5,9,13,17] -- -- Se observa que si x es el elemento de la primera lista en la posición -- n e y es el elemento de la segunda lista en la posición n, entonces -- y = 2*x-1. Es decir, como los índice de la segunda lista son los -- números pares y los de la primera son sus mitades, se tiene que -- josefo1 n 2 = 2 * (josefo1 (n `div` 2) 2) - 1 -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 13. Calcular las listas de los valores de (josefo1 n 2) -- para n en {1,2,...,20} y para n en {3,5,...,41}. ¿Qué relación se -- observa entre los elementos de ambas listas con la misma posición? ¿y -- entre (josefo1 n 2) y (josefo1 (n `div` 2 2), cuando n es impar? -- --------------------------------------------------------------------- -- El cálculo es -- ghci> [josefo1 n 2 | n <- [1..20]] -- [1,1,3,1,3,5,7,1,3,5,7,9,11,13,15,1,3,5,7,9] -- ghci> [josefo1 n 2 | n <- [3,5..41]] -- [3,3,7,3,7,11,15,3,7,11,15,19,23,27,31,3,7,11,15,19] -- -- Se observa que si x es el elemento de la primera lista en la posición -- n e y es el elemento de la segunda lista en la posición n, entonces -- y = 2*x-1. Es decir, como los índice de la segunda lista son los -- números impares y los de la primera son sus mitades enteras, se tiene -- que -- josefo1 n 2 = 2 * (josefo1 (n `div` 2) 2) + 1 -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 14. Usando las anteriores relaciones, definir la función -- josefo5 :: Integer -> Integer -- tal que (josefo5 n) es igual a (josefo1 n 2). Por ejemplo, -- ghci> josefo5 4 -- 1 -- ghci> josefo5 5 -- 3 -- ghci> [josefo5 n | n <- [1..16]] -- [1,1,3,1,3,5,7,1,3,5,7,9,11,13,15,1] -- --------------------------------------------------------------------- josefo5 :: Integer -> Integer josefo5 n | n < 3 = 1 | even n = 2 * josefo5 (n `div` 2) - 1 | otherwise = 2 * josefo5 (n `div` 2) + 1 -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 15. Comparar las estadísticas para calcular -- (josefo4 100000 2) y (josefo5 100000) -- --------------------------------------------------------------------- -- La comparación es -- ghci> josefo4 100000 2 -- 68929 -- (0.64 secs, 28424448 bytes) -- ghci> josefo5 100000 -- 68929 -- (0.01 secs, 517940 bytes) -- --------------------------------------------------------------------- -- § 6ª solución (por recursión sin listas) -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 16. Calcular los siguientes listas de los valores -- (josefo1 n 3) y (((josefo1 (n-1) 3) + 2) `rem` n + 1) -- (josefo1 n 4) y (((josefo1 (n-1) 4) + 3) `rem` n + 1) -- (josefo1 n 5) y (((josefo1 (n-1) 5) + 4) `rem` n + 1) -- para n en {2,3,...,20}. ¿Qué relación se observa entre los elementos -- de ambas listas con la misma posición? ¿y entre (josefo1 n m) y -- (((josefo1 (n-1) ) + m - 1) `rem` n + 1)? -- --------------------------------------------------------------------- -- El cálculo es -- ghci> [josefo1 n 3 | n <- [2..20]] -- [2,2,1,4,1,4,7,1,4,7,10,13,2,5,8,11,14,17,20] -- ghci> [((josefo1 (n-1) 3) + 2) `rem` n + 1 | n <- [2..20]] -- [2,2,1,4,1,4,7,1,4,7,10,13,2,5,8,11,14,17,20] -- ghci> [josefo1 n 4 | n <- [2..20]] -- [1,2,2,1,5,2,6,1,5,9,1,5,9,13,1,5,9,13,17] -- ghci> [((josefo1 (n-1) 4) + 3) `rem` n + 1 | n <- [2..20]] -- [1,2,2,1,5,2,6,1,5,9,1,5,9,13,1,5,9,13,17] -- ghci> [josefo1 n 5 | n <- [2..20]] -- [2,1,2,2,1,6,3,8,3,8,1,6,11,1,6,11,16,2,7] -- ghci> [((josefo1 (n-1) 5) + 4) `rem` n + 1 | n <- [2..20]] -- [2,1,2,2,1,6,3,8,3,8,1,6,11,1,6,11,16,2,7] -- -- Se observa que tienen los mismos valores. Por tanto, -- josefo1 n m = ((josefo1 (n-1) ) + m - 1) `rem` n + 1 -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 17. Usando la anterior relación, definir la función -- josefo6 :: Integer -> Integer -> Integer -- tal que (josefo6 n m) es igual a (josefo1 n m). Por ejemplo, -- ghci> [josefo6 n 2 | n <- [1..16]] -- [1,1,3,1,3,5,7,1,3,5,7,9,11,13,15,1] -- --------------------------------------------------------------------- josefo6 :: Integer -> Integer -> Integer josefo6 1 _ = 1 josefo6 n m = (josefo6 (n-1) m + m - 1) `rem` n + 1 -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 18. Comparar las estadísticas para calcular -- (josefo1 10000 3) y (josefo6 10000 3) -- --------------------------------------------------------------------- -- La comparación es -- ghci> josefo1 10000 3 -- 2692 -- (7.47 secs, 1405392756 bytes) -- ghci> josefo6 10000 3 -- 2692 -- (0.08 secs, 2756452 bytes) -- --------------------------------------------------------------------- -- § 7ª solución (sin recursión para m=2) -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 19. Calcular el valor de (josefo5 (2^m)) para m entre 1 y -- 20. ¿Qué se observa? -- --------------------------------------------------------------------- -- El cálculo es -- ghci> [josefo5 (2^m) | m <- [1..20]] -- [1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1] -- -- Se observa que (josefo5 (2^m)) = 1. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 20. Calcular el valor de (josefo5 (2^4+k)) para k entre 0 y -- 2^4-1. ¿Qué se observa? -- --------------------------------------------------------------------- -- El cálculo es -- ghci> [josefo5 (2^4+k) | k <- [0..2^4-1]] -- [1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25,27,29,31] -- -- Se observa que (josefo5 (2^4+k) = 2*k+1. En efecto, -- ghci> and [josefo5 (2^4+k) == 2*k+1 | k <- [0..2^4-1]] -- True -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 21. Calcular el valor de (josefo5 (2^5+k)) para k entre 0 y -- 2^5-1. ¿Qué se observa? -- --------------------------------------------------------------------- -- El cálculo es -- ghci> [josefo5 (2^5+k) | k <- [0..2^5-1]] -- [1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25,27,29,31,33,35,37,39,41,43,45, -- 47,49,51,53,55,57,59,61,63] -- -- Se observa que (josefo5 (2^5+k) = 2*k+1. En efecto, -- ghci> and [josefo5 (2^5+k) == 2*k+1 | k <- [0..2^5-1]] -- True -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 22. Usando las anteriores relaciones, definir sin usar -- recursión, la función -- josefo7 :: Integer -> Integer -- tal que (josefo7 n) es igual a (josefo5 n). Por ejemplo, -- ghci> josefo7 4 -- 1 -- ghci> josefo7 5 -- 3 -- ghci> [josefo7 n | n <- [1..16]] -- [1,1,3,1,3,5,7,1,3,5,7,9,11,13,15,1] -- --------------------------------------------------------------------- josefo7 :: Integer -> Integer josefo7 n = 2*(n-2^m)+1 where m = floor (logBase 2 (fromIntegral n)) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 23. Comparar las estadísticas para calcular las siguientes -- expresiones -- head [n | n <- [1..], josefo5 n > 100000] -- head [n | n <- [1..], josefo7 n > 100000] -- --------------------------------------------------------------------- -- La comparación es -- ghci> head [n | n <- [1..], josefo5 n > 100000] -- 115536 -- (10.43 secs, 418120368 bytes) -- ghci> head [n | n <- [1..], josefo7 n > 100000] -- 115536 -- (2.98 secs, 183530188 bytes) |