El 2011 y los números primos (en Haskell)
Cada comienzo de año se suelen buscar propiedades numéricas del número del año. En el 2011 se han buscado propiedades que relacionan el 2011 y los números primos.
En este ejercicio (para la asignatura Informática (de 1º del Grado en Matemáticas)) vamos a realizar la búsqueda de dichas propiedades con Haskell.
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import Data.List (sort) -- La criba de Erastótenes es un método para calcular números primos. Se -- comienza escribiendo todos los números desde 2 hasta (supongamos) -- 100. El primer número (el 2) es primo. Ahora eliminamos todos los -- múltiplos de 2. El primero de los números restantes (el 3) también es -- primo. Ahora eliminamos todos los múltiplos de 3. El primero de los -- números restantes (el 5) también es primo ... y así sucesivamente. -- Cuando no quedan números, se han encontrado todos los números -- primos en el rango fijado. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 1. Definir la función -- elimina :: Integer -> [Integer] -> [Integer] -- tal que (elimina n xs) es la lista obtenida eliminando en la lista xs -- los múltiplos de n. Por ejemplo, -- elimina 3 [2,3,8,9,5,6,7] == [2,8,5,7] -- --------------------------------------------------------------------- elimina :: Integer -> [Integer] -> [Integer] elimina n xs = [ x | x <- xs, x `mod` n /= 0 ] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 2. Definir la función -- criba :: [Integer] -> [Integer] -- tal que (criba xs) es la lista obtenida cribando la lista xs con el -- método descrito anteriormente. Por ejemplo, -- criba [2..20] == [2,3,5,7,11,13,17,19] -- --------------------------------------------------------------------- criba :: [Integer] -> [Integer] criba [] = [] criba (n:ns) = n : criba (elimina n ns) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 3. Definir la función -- primos :: [Integer] -- cuyo valor es la lista de los números primos. Por ejemplo, -- take 10 primos == [2,3,5,7,11,13,17,19,23,29] -- --------------------------------------------------------------------- primos :: [Integer] primos = criba [2..] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 4. Definir la función -- esPrimo :: Integer -> Bool -- tal que (esPrimo n) se verifica si n es primo. Por ejemplo, -- esPrimo 7 == True -- esPrimo 9 == False -- --------------------------------------------------------------------- esPrimo :: Integer -> Bool esPrimo n = head (dropWhile (<n) primos) == n -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 5. Comprobar que 2011 es primo. -- --------------------------------------------------------------------- -- La comprobación es -- ghci> esPrimo 2011 -- True -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 6. Definir la función -- prefijosConSuma :: [Integer] -> Integer -> [[Integer]] -- tal que (prefijosConSuma xs n) es la lista de los prefijos de xs cuya -- suma es n. Por ejemplo, -- prefijosConSuma [1..10] 3 == [[1,2]] -- prefijosConSuma [1..10] 4 == [] -- --------------------------------------------------------------------- prefijosConSuma :: [Integer] -> Integer -> [[Integer]] prefijosConSuma [] 0 = [[]] prefijosConSuma [] n = [] prefijosConSuma (x:xs) n | x < n = [x:ys | ys <- prefijosConSuma xs (n-x)] | x == n = [[x]] | x > n = [] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 7. Definir la función -- consecutivosConSuma :: [Integer] -> Integer -> [[Integer]] -- (consecutivosConSuma xs n) es la lista de los elementos consecutivos -- de xs cuya suma es n. Por ejemplo, -- consecutivosConSuma [1..10] 9 == [[2,3,4],[4,5],[9]] -- --------------------------------------------------------------------- consecutivosConSuma :: [Integer] -> Integer -> [[Integer]] consecutivosConSuma [] 0 = [[]] consecutivosConSuma [] n = [] consecutivosConSuma (x:xs) n = (prefijosConSuma (x:xs) n) ++ (consecutivosConSuma xs n) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 8. Definir la función -- primosConsecutivosConSuma :: Integer -> [[Integer]] -- tal que (primosConsecutivosConSuma n) es la lista de los números -- primos consecutivos cuya suma es n. Por ejemplo, -- ghci> primosConsecutivosConSuma 41 -- [[2,3,5,7,11,13],[11,13,17],[41]] -- --------------------------------------------------------------------- primosConsecutivosConSuma :: Integer -> [[Integer]] primosConsecutivosConSuma n = consecutivosConSuma (takeWhile (<=n) primos) n -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 9. Calcular las descomposiciones de 2011 como sumas de -- primos consecutivos. -- --------------------------------------------------------------------- -- El cálculo es -- ghci> primosConsecutivosConSuma 2011 -- [[157,163,167,173,179,181,191,193,197,199,211],[661,673,677],[2011]] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 10. Definir la función -- propiedad1 :: Int -> Bool -- tal que (propiedad1 n) se verifica si n sólo se puede expresar como -- sumas de 1, 3 y 11 primos consecutivos. Por ejemplo, -- propiedad1 2011 == True -- propiedad1 2010 == False -- --------------------------------------------------------------------- propiedad1 :: Integer -> Bool propiedad1 n = sort (map length (primosConsecutivosConSuma n)) == [1,3,11] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 11. Calcular los años hasta el 3000 que cumplen la -- propiedad1. -- --------------------------------------------------------------------- -- El cálculo es -- ghci> [n | n <- [1..3000], propiedad1 n] -- [883,2011] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 12. Definir la función -- sumaCifras :: Integer -> Integer -- tal que (sumaCifras x) es la suma de las cifras del número x. Por -- ejemplo, -- sumaCifras 254 == 11 -- --------------------------------------------------------------------- sumaCifras :: Integer -> Integer sumaCifras x = sum [read [y] | y <- show x] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 13. Definir la función -- sumaCifrasLista :: [Integer] -> Integer -- tal que (sumaCifrasLista xs) es la suma de las cifras de la lista de -- números xs. Por ejemplo, -- sumaCifrasLista [254, 61] == 18 -- --------------------------------------------------------------------- sumaCifrasLista :: [Integer] -> Integer sumaCifrasLista xs = sum [sumaCifras y | y <- xs] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 14. Definir la función -- propiedad2 :: Integer -> Bool -- tal que (propiedad2 n) se verifica si n puede expresarse como suma de -- 11 primos consecutivos y la suma de las cifras los 11 sumandos es un -- número primo. Por ejemplo, -- propiedad2 2011 == True -- propiedad2 2000 == False -- --------------------------------------------------------------------- propiedad2 :: Integer -> Bool propiedad2 n = [xs | xs <- primosConsecutivosConSuma n, length xs == 11, esPrimo (sumaCifrasLista xs)] /= [] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 15. Calcular el primer año que cumple la propiedad1 y la -- propiedad2. -- --------------------------------------------------------------------- -- El cálculo es -- ghci> head [n | n <- [1..], propiedad1 n, propiedad2 n] -- 2011 -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 16. Definir la función -- propiedad3 :: Int -> Bool -- tal que (propiedad3 n) se verifica si n puede expresarse como suma de -- tantos números consecutivos como indican sus dos últimas cifras. Por -- ejemplo, -- propiedad3 2011 == True -- propiedad3 2000 == False -- --------------------------------------------------------------------- propiedad3 :: Int -> Bool propiedad3 n = [xs | xs <- primosConsecutivosConSuma n, length xs == a] /= [] where a = mod n 100 -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 17. Calcular el primer año que cumple la propiedad1 y la -- propiedad3. -- --------------------------------------------------------------------- -- El cálculo es -- ghci> head [n | n <- [1..], propiedad1 n, propiedad3 n] -- 2011 -- Hemos comprobado que 2011 es el menor número que cumple las -- propiedades 1 y 2 y también es el menor número que cumple las -- propiedades 1 y 3. |