DAO2012: Razonamiento sobre programas con Isabelle
En la sesión de hoy del seminario Demostración asistida por ordenador (DAO2012) se ha presentado cómo se puede demostrar con Isabelle propiedades de programas.
En el tema 8 del curso de I1M vimos cómo se puede razonar sobre programas funcionales. Hoy hemos visto cómo Isabelle puede hacer automáticamente las demostraciones de dicho tema. Los métodos que hemos usado son
- simplificación (con simp),
- automático (con auto),
- inducción sobre números naturales y listas (con induct),
- inducción con variables libres (con arbitrary) y
- inducción en varias variables (con induct rule).
La teoría correspondiente a la clase es T3_Razonamiento_sobre_programas.thy cuyo contenido se muestra a continuación
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header {* Tema 3: Razonamiento sobre programas *} theory T3_Razonamiento_sobre_programas imports Main begin text {* ---------------------------------------------------------------- Ejemplo 1. Definir, por recursión, la función longitud :: 'a list ⇒ nat tal que (longitud xs) es la longitud de la listas xs. Por ejemplo, longitud [4,2,5] = 3 ------------------------------------------------------------------- *} fun longitud :: "'a list ⇒ nat" where "longitud [] = 0" | "longitud (x#xs) = 1 + longitud xs" value "longitud [4,2,5]" -- "= 3" text {* --------------------------------------------------------------- Ejemplo 2. Demostrar que longitud [4,2,5] = 3 ------------------------------------------------------------------- *} lemma "longitud [4,2,5] = 3" by simp text {* --------------------------------------------------------------- Ejemplo 3. Definir la función fun intercambia :: 'a × 'b ⇒ 'b × 'a tal que (intercambia p) es el par obtenido intercambiando las componentes del par p. Por ejemplo, intercambia (u,v) = (v,u) ------------------------------------------------------------------ *} fun intercambia :: "'a × 'b ⇒ 'b × 'a" where "intercambia (x,y) = (y,x)" value "intercambia (u,v)" -- "= (v,u)" text {* --------------------------------------------------------------- Ejemplo 4. Demostrar que intercambia (intercambia (x,y)) = (x,y) ------------------------------------------------------------------- *} lemma "intercambia (intercambia (x,y)) = (x,y)" by simp text {* --------------------------------------------------------------- Ejemplo 5. Definir, por recursión, la función inversa :: 'a list ⇒ 'a list tal que (inversa xs) es la lista obtenida invirtiendo el orden de los elementos de xs. Por ejemplo, inversa [a,d,c] = [c,d,a] ------------------------------------------------------------------ *} fun inversa :: "'a list ⇒ 'a list" where "inversa [] = []" | "inversa (x#xs) = inversa xs @ [x]" value "inversa [a,d,c]" -- "= [c,d,a]" text {* --------------------------------------------------------------- Ejemplo 6. Demostrar que inversa [x] = [x] ------------------------------------------------------------------- *} lemma "inversa [x] = [x]" by simp text {* --------------------------------------------------------------- Ejemplo 7. Definir la función repite :: nat ⇒ 'a ⇒ 'a list tal que (repite n x) es la lista formada por n copias del elemento x. Por ejemplo, repite 3 a = [a,a,a] ------------------------------------------------------------------ *} fun repite :: "nat ⇒ 'a ⇒ 'a list" where "repite 0 x = []" | "repite (Suc n) x = x # (repite n x)" value "repite 3 a" -- "= [a,a,a]" text {* --------------------------------------------------------------- Ejemplo 8. Demostrar que longitud (repite n x) = n ------------------------------------------------------------------- *} lemma "longitud (repite n x) = n" by (induct n) auto text {* --------------------------------------------------------------- Ejemplo 9. Definir la función conc :: 'a list ⇒ 'a list ⇒ 'a list tal que (conc xs ys) es la concatención de las listas xs e ys. Por ejemplo, conc [a,d] [b,d,a,c] = [a,d,b,d,a,c] ------------------------------------------------------------------ *} fun conc :: "'a list ⇒ 'a list ⇒ 'a list" where "conc [] ys = ys" | "conc (x#xs) ys = x # (conc xs ys)" value "conc [a,d] [b,d,a,c]" -- "= [a,d,b,d,a,c]" text {* --------------------------------------------------------------- Ejemplo 10. Demostrar que conc xs (conc ys zs) = (conc xs ys) zs ------------------------------------------------------------------- *} lemma "conc xs (conc ys zs) = conc (conc xs ys) zs" by (induct xs) auto text {* --------------------------------------------------------------- Ejemplo 11. Refutar que conc xs ys = conc ys xs ------------------------------------------------------------------- *} lemma "conc xs ys = conc ys xs" quickcheck oops text {* Encuentra el contraejemplo, xs = [a\<^isub>2] ys = [a\<^isub>1] *} text {* --------------------------------------------------------------- Ejemplo 12. Demostrar que conc xs [] = xs ------------------------------------------------------------------- *} lemma "conc xs [] = xs" by (induct xs) auto text {* --------------------------------------------------------------- Ejemplo 13. Demostrar que longitud (conc xs ys) = longitud xs + longitud ys ------------------------------------------------------------------- *} lemma "longitud (conc xs ys) = longitud xs + longitud ys" by (induct xs) auto text {* --------------------------------------------------------------- Ejemplo 14. Definir la función coge :: nat ⇒ 'a list ⇒ 'a list tal que (coge n xs) es la lista de los n primeros elementos de xs. Por ejemplo, coge 2 [a,c,d,b,e] = [a,c] ------------------------------------------------------------------ *} fun coge :: "nat ⇒ 'a list ⇒ 'a list" where "coge n [] = []" | "coge 0 xs = []" | "coge (Suc n) (x#xs) = x # (coge n xs)" value "coge 2 [a,c,d,b,e]" -- "= [a,c]" text {* --------------------------------------------------------------- Ejemplo 15. Definir la función elimina :: nat ⇒ 'a list ⇒ 'a list tal que (elimina n xs) es la lista obtenida eliminando los n primeros elementos de xs. Por ejemplo, elimina 2 [a,c,d,b,e] = [d,b,e] ------------------------------------------------------------------ *} fun elimina :: "nat ⇒ 'a list ⇒ 'a list" where "elimina n [] = []" | "elimina 0 xs = xs" | "elimina (Suc n) (x#xs) = elimina n xs" value "elimina 2 [a,c,d,b,e]" -- "= [d,b,e]" text {* --------------------------------------------------------------- Ejemplo 16. Demostrar que conc (coge n xs) (elimina n xs) = xs ------------------------------------------------------------------- *} lemma "conc (coge n xs) (elimina n xs) = xs" by (induct rule: coge.induct) auto text {* coge.induct es el esquema de inducción asociado a la definición de la función coge. ⟦⋀n. P n []; ⋀x xs. P 0 (x#xs); ⋀n x xs. P n xs ⟹ P (Suc n) (x#xs)⟧ ⟹ P n x Puede verse usando "thm coge.induct". *} text {* --------------------------------------------------------------- Ejemplo 17. Definir la función esVacia :: 'a list ⇒ bool tal que (esVacia xs) se verifica si xs es la lista vacía. Por ejemplo, esVacia [] = True esVacia [1] = False ------------------------------------------------------------------ *} fun esVacia :: "'a list ⇒ bool" where "esVacia [] = True" | "esVacia (x#xs) = False" value "esVacia []" -- "= True" value "esVacia [1]" -- "= False" text {* --------------------------------------------------------------- Ejemplo 18. Demostrar que esVacia xs = esVacia (conc xs xs) ------------------------------------------------------------------- *} lemma "esVacia xs = esVacia (conc xs xs)" by (induct xs) auto text {* --------------------------------------------------------------- Ejemplo 19. Definir la función inversaAc :: 'a list ⇒ 'a list tal que (inversaAc xs) es a inversa de xs calculada usando acumuladores. Por ejemplo, inversaAc [a,c,b,e] = [e,b,c,a] ------------------------------------------------------------------ *} fun inversaAcAux :: "'a list ⇒ 'a list ⇒ 'a list" where "inversaAcAux [] ys = ys" | "inversaAcAux (x#xs) ys = inversaAcAux xs (x#ys)" fun inversaAc :: "'a list ⇒ 'a list" where "inversaAc xs = inversaAcAux xs []" value "inversaAc [a,c,b,e]" -- "= [e,b,c,a]" text {* --------------------------------------------------------------- Ejemplo 20. Demostrar que inversaAcAux xs ys = (inversa xs)@ys ------------------------------------------------------------------- *} lemma inversaAcAux_es_inversa: "inversaAcAux xs ys = (inversa xs)@ys" by (induct xs arbitrary: ys) auto text {* --------------------------------------------------------------- Ejemplo 21. Demostrar que inversaAc xs = inversa xs ------------------------------------------------------------------- *} corollary "inversaAc xs = inversa xs" by (simp add: inversaAcAux_es_inversa) text {* --------------------------------------------------------------- Ejemplo 22. Definir la función sum :: nat list ⇒ nat tal que (sum xs) es la suma de los elementos de xs. Por ejemplo, sum [3,2,5] = 10 ------------------------------------------------------------------ *} fun sum :: "nat list ⇒ nat" where "sum [] = 0" | "sum (x#xs) = x + sum xs" value "sum [3,2,5]" -- "= 10" text {* --------------------------------------------------------------- Ejemplo 23. Definir la función map :: ('a ⇒ 'b) ⇒ 'a list ⇒ 'b list tal que (map f xs) es la lista obtenida aplicando la función f a los elementos de xs. Por ejemplo, map (λx. 2*x) [3,2,5] = [6,4,10] ------------------------------------------------------------------ *} fun map :: "('a ⇒ 'b) ⇒ 'a list ⇒ 'b list" where "map f [] = []" | "map f (x#xs) = (f x) # map f xs" value "map (λx. 2*x) [3::nat,2,5]" -- "= [6,4,10]" text {* --------------------------------------------------------------- Ejemplo 24. Demostrar que sum (map (λx. 2*x) xs) = 2 * (sum xs) ------------------------------------------------------------------- *} lemma "sum (map (λx. 2*x) xs) = 2 * (sum xs)" by (induct xs) auto text {* --------------------------------------------------------------- Ejemplo 25. Demostrar que longitud (map f xs) = longitud xs ------------------------------------------------------------------- *} lemma "longitud (map f xs) = longitud xs" by (induct xs) auto section {* Referencias *} text {* · J.A. Alonso. "Razonamiento sobre programas" http://goo.gl/R06O3 · G. Hutton. "Programming in Haskell". Cap. 13 "Reasoning about programms". · S. Thompson. "Haskell: the Craft of Functional Programming, 3rd Edition. Cap. 8 "Reasoning about programms". · L. Paulson. "ML for the Working Programmer, 2nd Edition". Cap. 6. "Reasoning about functional programs". *} end |