DAO: La semana en Calculemus (9 de septiembre de 2022)
Esta semana he publicado en Calculemus las demostraciones con Lean de las siguientes propiedades:
- 1. Si R es un anillo y a ∈ R, entonces 0 * a = 0
- 2. Si R es un anillo y a,b∈R tales que a+b=0, entonces -a=b
- 3. Si R es un anillo y a,b∈R tales que a+b=0, entonces a=-b
- 4. Si R es un anillo, entonces -0 = 0
- 5. Si R es un anillo y a ∈ R, entonces -(-a) = a
A continuación se muestran las soluciones.
1. Si R es un anillo y a ∈ R, entonces 0 * a = 0
Demostrar que si R es un anillo y a ∈ R, entonces
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1 |
0 * a = 0. |
Para ello, completar la siguiente teoría de Lean:
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import algebra.ring variables {R : Type*} [ring R] variable (a : R) example : 0 * a = 0 := sorry |
Soluciones con Lean
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import algebra.ring variables {R : Type*} [ring R] variable (a : R) -- 1ª demostración -- =============== example : 0 * a = 0 := begin have h : 0 * a + 0 * a = 0 * a + 0, calc 0 * a + 0 * a = (0 + 0) * a : (add_mul 0 0 a).symm ... = 0 * a : congr_arg (λ x, x * a) (add_zero 0) ... = 0 * a + 0 : self_eq_add_right.mpr rfl, rw add_left_cancel h end -- 2ª demostración -- =============== example : 0 * a = 0 := begin have h : 0 * a + 0 * a = 0 * a + 0, calc 0 * a + 0 * a = (0 + 0) * a : by rw add_mul ... = 0 * a : by rw add_zero ... = 0 * a + 0 : by rw add_zero, rw add_left_cancel h end -- 3ª demostración -- =============== example : 0 * a = 0 := begin have h : 0 * a + 0 * a = 0 * a + 0, { rw [←add_mul, add_zero, add_zero] }, rw add_left_cancel h end -- 4ª demostración -- =============== example : 0 * a = 0 := begin have h : 0 * a + 0 * a = 0 * a + 0, calc 0 * a + 0 * a = (0 + 0) * a : by simp ... = 0 * a : by simp ... = 0 * a + 0 : by simp, simp, end -- 5ª demostración -- =============== example : 0 * a = 0 := by simp |
Se puede interactuar con la prueba anterior en esta sesión con Lean.
2. Si R es un anillo y a,b∈R tales que a+b=0, entonces -a=b
Demostrar que Si R es un anillo y a, b ∈ R tales que
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1 |
a + b = 0 |
entonces
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1 |
-a = b |
Para ello, completar la siguiente teoría de Lean:
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import algebra.ring variables {R : Type*} [ring R] variables {a b : R} example (h : a + b = 0) : -a = b := sorry |
Soluciones con Lean
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import algebra.ring variables {R : Type*} [ring R] variables {a b : R} -- 1ª demostración -- =============== example (h : a + b = 0) : -a = b := calc -a = -a + 0 : (add_zero (-a)).symm ... = -a + (a + b) : congr_arg (λ x, -a +x) h.symm ... = b : neg_add_cancel_left a b -- 2ª demostración -- =============== example (h : a + b = 0) : -a = b := calc -a = -a + 0 : by rw add_zero ... = -a + (a + b) : by rw h ... = b : by rw neg_add_cancel_left -- 3ª demostración -- =============== example (h : a + b = 0) : -a = b := calc -a = -a + 0 : by simp ... = -a + (a + b) : by simp [h] ... = b : by simp -- 4ª demostración -- =============== example (h : a + b = 0) : -a = b := -- by library_search add_eq_zero_iff_neg_eq.mp h |
Se puede interactuar con la prueba anterior en esta sesión con Lean.
3. Si R es un anillo y a,b∈R tales que a+b=0, entonces a=-b
Demostrar que si R es un anillo y a, b ∈ R tales que
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1 |
a + b = 0 |
entonces
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1 |
a = -b |
Para ello, completar la siguiente teoría de Lean:
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import algebra.ring variables {R : Type*} [ring R] variables {a b : R} example (h : a + b = 0) : a = -b := sorry |
Soluciones con Lean
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import algebra.ring variables {R : Type*} [ring R] variables {a b : R} -- 1ª demostración -- =============== example (h : a + b = 0) : a = -b := calc a = a + 0 : (add_zero a).symm ... = a + (b + -b) : congr_arg (λ x, a + x) (add_neg_self b).symm ... = (a + b) + -b : (add_assoc a b (-b)).symm ... = 0 + -b : congr_arg (λ x, x + -b) h ... = -b : zero_add (-b) -- 2ª demostración -- =============== example (h : a + b = 0) : a = -b := calc a = a + 0 : by rw add_zero ... = a + (b + -b) : by {congr ; rw add_neg_self} ... = (a + b) + -b : by rw add_assoc ... = 0 + -b : by {congr; rw h} ... = -b : by rw zero_add -- 3ª demostración -- =============== example (h : a + b = 0) : a = -b := calc a = a + 0 : by simp ... = a + (b + -b) : by simp ... = (a + b) + -b : by simp ... = 0 + -b : by simp [h] ... = -b : by simp -- 4ª demostración -- =============== example (h : a + b = 0) : a = -b := -- by library_search add_eq_zero_iff_eq_neg.mp h |
Se puede interactuar con la prueba anterior en esta sesión con Lean.
4. Si R es un anillo, entonces -0 = 0
Demostrar que si R es un anillo, entonces
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1 |
-0 = 0 |
Para ello, completar la siguiente teoría de Lean:
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1 2 3 4 5 6 |
import algebra.ring variables {R : Type*} [ring R] example : (-0 : R) = 0 := sorry |
Soluciones con Lean
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import algebra.ring variables {R : Type*} [ring R] -- 1ª demostración -- =============== example : (-0 : R) = 0 := begin have h : 0 - 0 = (-0 : R) := zero_sub 0, calc (-0 : R) = 0 - 0 : h.symm ... = -(0 - 0) : (neg_sub (0 : R) 0).symm ... = -(-0) : congr_arg (λ x, -x) h ... = 0 : neg_neg 0 end -- 2ª demostración -- =============== example : (-0 : R) = 0 := begin have h : 0 - 0 = (-0 : R) := by rw zero_sub, calc (-0 : R) = 0 - 0 : by rw h ... = -(0 - 0) : by rw neg_sub ... = -(-0) : by {congr; rw h} ... = 0 : by rw neg_neg end -- 3ª demostración -- =============== example : (-0 : R) = 0 := by simpa only [zero_sub, neg_neg] using (neg_sub (0 : R) 0).symm -- 4ª demostración -- =============== example : (-0 : R) = 0 := neg_zero -- 5ª demostración -- =============== example : (-0 : R) = 0 := by simp -- 6ª demostración -- =============== example : (-0 : R) = 0 := begin apply neg_eq_of_add_eq_zero_right, rw add_zero, end -- 7ª demostración -- =============== example : (-0 : R) = 0 := neg_eq_of_add_eq_zero_right (add_zero 0) |
Se puede interactuar con la prueba anterior en esta sesión con Lean.
5. Si R es un anillo y a ∈ R, entonces -(-a) = a
Demostrar que si R es un anillo y a ∈ R, entonces
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1 |
-(-a) = a. |
Para ello, completar la siguiente teoría de Lean:
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1 2 3 4 5 6 7 |
import algebra.ring variables {R : Type*} [ring R] variable a : R example : -(-a) = a := sorry |
Soluciones con Lean
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import algebra.ring variables {R : Type*} [ring R] variable a : R -- 1ª demostración -- =============== example : -(-a) = a := begin calc -(-a) = -(0 - a) : congr_arg (λ x, -x) (zero_sub a).symm ... = a - 0 : neg_sub (0 : R) a ... = a : sub_zero a end -- 2ª demostración -- =============== example : -(-a) = a := begin calc -(-a) = -(0 - a) : by { congr; rw zero_sub} ... = a - 0 : by rw neg_sub ... = a : by rw sub_zero end -- 3ª demostración -- =============== example : -(-a) = a := by simpa only [zero_sub, sub_zero] using (neg_sub (0 : R) a) -- 4ª demostración -- =============== example : -(-a) = a := neg_neg a -- 5ª demostración -- =============== example : -(-a) = a := by simp -- 6ª demostración -- =============== example : -(-a) = a := begin apply neg_eq_of_add_eq_zero_right, rw neg_add_self a, end -- 7ª demostración -- =============== example : -(-a) = a := neg_eq_of_add_eq_zero_right (neg_add_self a) |
Se puede interactuar con la prueba anterior en esta sesión con Lean.