DAO: La semana en Calculemus (30 de septiembre de 2022)
Esta semana he publicado en Calculemus las demostraciones con Lean de las siguientes propiedades:
- 1. Si a, b, c ∈ ℝ tales que a ≤ b, entonces c – eᵇ ≤ c – eᵃ
- 2. Si a, b ∈ ℝ, entonces 2ab ≤ a² + b²
- 3. Si a, b ∈ ℝ, entonces |ab| ≤ (a² + b²)/2
- 4. Si a, b ∈ ℝ, entonces min(a,b) = min(b,a)
- 5. Si a, b ∈ ℝ, entonces max(a,b) = max(b,a)
A continuación se muestran las soluciones.
1. Si a, b, c ∈ ℝ tales que a ≤ b, entonces c – eᵇ ≤ c – eᵃ
Demostrar que si a, b, c ∈ ℝ tales que a ≤ b, entonces c – eᵇ ≤ c – eᵃ.
Para ello, completar la siguiente teoría de Lean:
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import analysis.special_functions.log.basic import tactic open real variables a b c : ℝ example (h : a ≤ b) : c - exp b ≤ c - exp a := sorry |
Soluciones con Lean
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import analysis.special_functions.log.basic import tactic open real variables a b c : ℝ -- 1ª demostración -- =============== example (h : a ≤ b) : c - exp b ≤ c - exp a := begin apply sub_le_sub_left _ c, exact exp_le_exp.mpr h, end -- 2ª demostración -- =============== example (h : a ≤ b) : c - exp b ≤ c - exp a := sub_le_sub_left (exp_le_exp.mpr h) c -- 3ª demostración -- =============== example (h : a ≤ b) : c - b ≤ c - a := -- by library_search sub_le_sub_left h c -- 4ª demostración -- =============== example (h : a ≤ b) : c - exp b ≤ c - exp a := by linarith [exp_le_exp.mpr h] -- 5ª demostración -- =============== example (h : a ≤ b) : c - exp b ≤ c - exp a := -- by hint by finish |
Se puede interactuar con la prueba anterior en esta sesión con Lean.
Referencias
- J. Avigad, K. Buzzard, R.Y. Lewis y P. Massot. Mathematics in Lean, p. 17.
2. Si a, b ∈ ℝ, entonces 2ab ≤ a² + b²
Demostrar que si a, b ∈ ℝ, entonces 2ab ≤ a² + b²
Para ello, completar la siguiente teoría de Lean:
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import data.real.basic import tactic variables a b : ℝ example : 2*a*b ≤ a^2 + b^2 := sorry |
Soluciones con Lean
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import data.real.basic import tactic variables a b : ℝ -- 1ª demostración example : 2*a*b ≤ a^2 + b^2 := begin have : 0 ≤ (a - b)^2 := sq_nonneg (a - b), have : 0 ≤ a^2 - 2*a*b + b^2, by linarith, show 2*a*b ≤ a^2 + b^2, by linarith, end -- 2ª demostración example : 2*a*b ≤ a^2 + b^2 := begin have h : 0 ≤ a^2 - 2*a*b + b^2, { calc a^2 - 2*a*b + b^2 = (a - b)^2 : by ring ... ≥ 0 : by apply pow_two_nonneg }, calc 2*a*b = 2*a*b + 0 : by ring ... ≤ 2*a*b + (a^2 - 2*a*b + b^2) : add_le_add (le_refl _) h ... = a^2 + b^2 : by ring end -- 3ª demostración example : 2*a*b ≤ a^2 + b^2 := begin have : 0 ≤ a^2 - 2*a*b + b^2, { calc a^2 - 2*a*b + b^2 = (a - b)^2 : by ring ... ≥ 0 : by apply pow_two_nonneg }, linarith, end -- 4ª demostración example : 2*a*b ≤ a^2 + b^2 := -- by library_search two_mul_le_add_sq a b |
Se puede interactuar con la prueba anterior en esta sesión con Lean.
Referencias
- J. Avigad, K. Buzzard, R.Y. Lewis y P. Massot. Mathematics in Lean, p. 17.
3. Si a, b ∈ ℝ, entonces |ab| ≤ (a² + b²)/2
Demostrar que si a, b ∈ ℝ, entonces |ab| ≤ (a² + b²)/2
Para ello, completar la siguiente teoría de Lean:
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1 2 3 4 5 6 7 |
import data.real.basic import tactic variables a b : ℝ example : abs (a*b) ≤ (a^2 + b^2) / 2 := sorry |
Soluciones con Lean
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import data.real.basic import tactic variables a b : ℝ -- 1ª demostración example : abs (a*b) ≤ (a^2 + b^2) / 2 := begin apply abs_le.mpr, split, { have h1 : 0 ≤ a^2 + 2*a*b + b^2, calc 0 ≤ (a+b)^2 : by exact pow_two_nonneg (a + b) ... = a^2+2*a*b+b^2 : by ring, have h2 : -2*(a*b) ≤ a^2 + b^2, calc -2*(a*b) ≤ -2*(a*b)+(a^2+2*a*b+b^2) : by exact le_add_of_nonneg_right h1 ... = a^2 + b^2 : by ring, show -((a^2 + b^2) / 2) ≤ a*b, by linarith [h2] }, { have h3 : 0 ≤ a^2 - 2*a*b + b^2, calc 0 ≤ (a-b)^2 : by exact pow_two_nonneg (a - b) ... = a^2-2*a*b+b^2 : by ring, have h4 : 2*(a*b) ≤ a^2 + b^2, calc 2*(a*b) ≤ 2*(a*b)+(a^2-2*a*b+b^2) : by exact le_add_of_nonneg_right h3 ... = a^2 + b^2 : by ring, show a * b ≤ (a^2 + b^2)/2, by linarith [h4] }, end -- 2ª demostración example : abs (a*b) ≤ (a^2 + b^2) / 2 := begin apply abs_le.mpr, split, { have h1 : 0 ≤ a^2 + 2*a*b + b^2, calc 0 ≤ (a+b)^2 : by exact pow_two_nonneg (a + b) ... = a^2+2*a*b+b^2 : by ring, have h2 : -2*(a*b) ≤ a^2 + b^2, calc -2*(a*b) ≤ -2*(a*b)+(a^2+2*a*b+b^2) : by exact le_add_of_nonneg_right h1 ... = a^2 + b^2 : by ring, show -((a^2 + b^2) / 2) ≤ a*b, by linarith [h2] }, { have h4 : 2*a*b ≤ a^2 + b^2 := two_mul_le_add_sq a b, show a * b ≤ (a^2 + b^2)/2, by linarith [h4] }, end -- 3ª demostración example : abs (a*b) ≤ (a^2 + b^2) / 2 := begin apply abs_le.mpr, split, { have h1 : 0 ≤ a^2 + 2*a*b + b^2, calc 0 ≤ (a+b)^2 : by exact pow_two_nonneg (a + b) ... = a^2+2*a*b+b^2 : by ring, have h2 : -2*(a*b) ≤ a^2 + b^2, calc -2*(a*b) ≤ -2*(a*b)+(a^2+2*a*b+b^2) : by exact le_add_of_nonneg_right h1 ... = a^2 + b^2 : by ring, show -((a^2 + b^2) / 2) ≤ a*b, by linarith [h2] }, { show a * b ≤ (a^2 + b^2)/2, by linarith [two_mul_le_add_sq a b] }, end |
Se puede interactuar con la prueba anterior en esta sesión con Lean.
Referencias
- J. Avigad, K. Buzzard, R.Y. Lewis y P. Massot. Mathematics in Lean, p. 18.
4. Si a, b ∈ ℝ, entonces min(a,b) = min(b,a)
Demostrar que si a, b ∈ ℝ, entonces min(a,b) = min(b,a).
Para ello, completar la siguiente teoría de Lean:
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import data.real.basic variables a b : ℝ example : min a b = min b a := sorry |
Soluciones con Lean
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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 |
import data.real.basic variables a b : ℝ -- 1ª demostración -- =============== example : min a b = min b a := begin apply le_antisymm, { show min a b ≤ min b a, apply le_min, { apply min_le_right }, { apply min_le_left }}, { show min b a ≤ min a b, apply le_min, { apply min_le_right }, { apply min_le_left }}, end -- 2ª demostración -- =============== example : min a b = min b a := begin have h : ∀ x y : ℝ, min x y ≤ min y x, { intros x y, apply le_min, { apply min_le_right }, { apply min_le_left }}, apply le_antisymm, apply h, apply h, end -- 3ª demostración -- =============== example : min a b = min b a := begin have h : ∀ {x y : ℝ}, min x y ≤ min y x, { intros x y, exact le_min (min_le_right x y) (min_le_left x y) }, exact le_antisymm h h, end -- 4ª demostración -- =============== example : min a b = min b a := begin apply le_antisymm, repeat { apply le_min, apply min_le_right, apply min_le_left }, end |
Se puede interactuar con la prueba anterior en esta sesión con Lean.
Referencias
- J. Avigad, K. Buzzard, R.Y. Lewis y P. Massot. Mathematics in Lean, p. 19.
5. Si a, b ∈ ℝ, entonces max(a,b) = max(b,a)
Demostrar que si a, b ∈ ℝ, entonces max(a,b) = max(b,a)
Para ello, completar la siguiente teoría de Lean:
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1 2 3 4 5 6 |
import data.real.basic variables a b : ℝ example : max a b = max b a := sorry |
Soluciones con Lean
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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 |
import data.real.basic variables a b : ℝ -- 1ª demostración -- =============== example : max a b = max b a := begin apply le_antisymm, { show max a b ≤ max b a, apply max_le, { apply le_max_right }, { apply le_max_left }}, { show max b a ≤ max a b, apply max_le, { apply le_max_right }, { apply le_max_left }}, end -- 2ª demostración -- =============== example : max a b = max b a := begin have h : ∀ x y : ℝ, max x y ≤ max y x, { intros x y, apply max_le, { apply le_max_right }, { apply le_max_left }}, apply le_antisymm, apply h, apply h, end -- 3ª demostración -- =============== example : max a b = max b a := begin have h : ∀ {x y : ℝ}, max x y ≤ max y x, { intros x y, exact max_le (le_max_right y x) (le_max_left y x),}, exact le_antisymm h h, end -- 4ª demostración -- =============== example : max a b = max b a := begin apply le_antisymm, repeat { apply max_le, apply le_max_right, apply le_max_left }, end |
Se puede interactuar con la prueba anterior en esta sesión con Lean.
Referencias
- J. Avigad, K. Buzzard, R.Y. Lewis y P. Massot. Mathematics in Lean, p. 19.