I1M2018: Ejercicios con el TAD de grafos en Haskell
En la tercera parte de la clase de hoy de Informática de 1º del Grado en Matemáticas se han resuelto ejercicios sobre grafos de la relación 38.
Los ejercicios y su solución se muestran a continuación
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 421 422 423 424 425 426 427 428 429 430 431 432 433 434 435 436 437 438 439 440 441 442 443 444 445 446 447 448 449 450 451 452 453 454 455 456 457 458 459 460 461 462 463 464 465 466 467 468 469 470 471 472 473 474 475 476 477 478 479 480 481 482 483 484 485 486 487 488 489 490 491 492 493 494 495 496 497 |
-- --------------------------------------------------------------------- -- Introducción -- -- --------------------------------------------------------------------- -- El objetivo de esta relación de ejercicios es definir funciones sobre -- el TAD de los grafos estudiado en el tema 22 -- http://www.cs.us.es/~jalonso/cursos/i1m-18/temas/tema-22.html -- -- Para realizar los ejercicios hay que tener instalada la librería I1M -- que contiene la implementación de TAD de los polinomios. Los pasos -- para instalarla son los siguientes: -- + Descargar el paquete I1M desde http://bit.ly/1pbnDqm -- + Descomprimirlo (y se crea el directorio I1M-master.zip). -- + Cambiar al directorio I1M-master. -- + Ejecutar cabal install I1M.cabal -- -- Otra forma es descargar, en el directorio de ejercicios, la -- implementación del TAD de grafos -- + GrafoConVectorDeAdyacencia que está en http://bit.ly/1SQnG4S -- + GrafoConMatrizDeAdyacencia que está en http://bit.ly/1SQnGlB -- -- Los módulos anteriores se encuentras en la página de códigos -- http://bit.ly/1SQnAKO -- --------------------------------------------------------------------- -- Importación de librerías -- -- --------------------------------------------------------------------- {-# LANGUAGE FlexibleInstances, TypeSynonymInstances #-} import Data.Array import Data.List (nub) import Test.QuickCheck -- Hay que elegir una librería import I1M.Grafo -- import GrafoConVectorDeAdyacencia -- import GrafoConMatrizDeAdyacencia -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejemplos -- -- --------------------------------------------------------------------- -- Para los ejemplos se usarán los siguientes grafos. g1, g2, g3, g4, g5, g6, g7, g8, g9, g10, g11, g12 :: Grafo Int Int g1 = creaGrafo ND (1,5) [(1,2,12),(1,3,34),(1,5,78), (2,4,55),(2,5,32), (3,4,61),(3,5,44), (4,5,93)] g2 = creaGrafo D (1,5) [(1,2,12),(1,3,34),(1,5,78), (2,4,55),(2,5,32), (4,3,61),(4,5,93)] g3 = creaGrafo D (1,3) [(1,2,0),(2,2,0),(3,1,0),(3,2,0)] g4 = creaGrafo D (1,4) [(1,2,3),(2,1,5)] g5 = creaGrafo D (1,1) [(1,1,0)] g6 = creaGrafo D (1,4) [(1,3,0),(3,1,0),(3,3,0),(4,2,0)] g7 = creaGrafo ND (1,4) [(1,3,0)] g8 = creaGrafo D (1,5) [(1,1,0),(1,2,0),(1,3,0),(2,4,0),(3,1,0), (4,1,0),(4,2,0),(4,4,0),(4,5,0)] g9 = creaGrafo D (1,5) [(4,1,1),(4,3,2),(5,1,0)] g10 = creaGrafo ND (1,3) [(1,2,1),(1,3,1),(2,3,1),(3,3,1)] g11 = creaGrafo D (1,3) [(1,2,1),(1,3,1),(2,3,1),(3,3,1)] g12 = creaGrafo ND (1,4) [(1,1,0),(1,2,0),(3,3,0)] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 1. El grafo completo de orden n, K(n), es un grafo no -- dirigido cuyos conjunto de vértices es {1,..n} y tiene una arista -- entre cada par de vértices distintos. Definir la función, -- completo :: Int -> Grafo Int Int -- tal que (completo n) es el grafo completo de orden n. Por ejemplo, -- ghci> completo 4 -- G ND (array (1,4) [(1,[(2,0),(3,0),(4,0)]), -- (2,[(1,0),(3,0),(4,0)]), -- (3,[(1,0),(2,0),(4,0)]), -- (4,[(1,0),(2,0),(3,0)])]) -- --------------------------------------------------------------------- completo :: Int -> Grafo Int Int completo n = creaGrafo ND (1,n) [(x,y,0) | x <- [1..n], y <- [x+1..n]] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 2. El ciclo de orden n, C(n), es un grafo no dirigido -- cuyo conjunto de vértices es {1,...,n} y las aristas son -- (1,2), (2,3), ..., (n-1,n), (n,1) -- Definir la función -- grafoCiclo :: Int -> Grafo Int Int -- tal que (grafoCiclo n) es el grafo ciclo de orden n. Por ejemplo, -- ghci> grafoCiclo 3 -- G ND (array (1,3) [(1,[(3,0),(2,0)]),(2,[(1,0),(3,0)]),(3,[(2,0),(1,0)])]) -- --------------------------------------------------------------------- grafoCiclo :: Int -> Grafo Int Int grafoCiclo n = creaGrafo ND (1,n) ((n,1,0):[(x,x+1,0) | x <- [1..n-1]]) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 3. Definir la función -- nVertices :: (Ix v,Num p) => Grafo v p -> Int -- tal que (nVertices g) es el número de vértices del grafo g. Por -- ejemplo, -- nVertices (completo 4) == 4 -- nVertices (completo 5) == 5 -- --------------------------------------------------------------------- nVertices :: (Ix v,Num p) => Grafo v p -> Int nVertices = length . nodos -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 4. Definir la función -- noDirigido :: (Ix v,Num p) => Grafo v p -> Bool -- tal que (noDirigido g) se verifica si el grafo g es no dirigido. Por -- ejemplo, -- noDirigido g1 == True -- noDirigido g2 == False -- noDirigido (completo 4) == True -- --------------------------------------------------------------------- noDirigido :: (Ix v,Num p) => Grafo v p -> Bool noDirigido = not . dirigido -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 5. En un un grafo g, los incidentes de un vértice v es el -- conjuntos de vértices x de g para los que hay un arco (o una arista) -- de x a v; es decir, que v es adyacente a x. Definir la función -- incidentes :: (Ix v,Num p) => (Grafo v p) -> v -> [v] -- tal que (incidentes g v) es la lista de los vértices incidentes en el -- vértice v. Por ejemplo, -- incidentes g2 5 == [1,2,4] -- adyacentes g2 5 == [] -- incidentes g1 5 == [1,2,3,4] -- adyacentes g1 5 == [1,2,3,4] -- --------------------------------------------------------------------- incidentes :: (Ix v,Num p) => Grafo v p -> v -> [v] incidentes g v = [x | x <- nodos g, v `elem` adyacentes g x] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 6. En un un grafo g, los contiguos de un vértice v es el -- conjuntos de vértices x de g tales que x es adyacente o incidente con -- v. Definir la función -- contiguos :: (Ix v,Num p) => Grafo v p -> v -> [v] -- tal que (contiguos g v) es el conjunto de los vértices de g contiguos -- con el vértice v. Por ejemplo, -- contiguos g2 5 == [1,2,4] -- contiguos g1 5 == [1,2,3,4] -- --------------------------------------------------------------------- contiguos :: (Ix v,Num p) => Grafo v p -> v -> [v] contiguos g v = nub (adyacentes g v ++ incidentes g v) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 7. Definir la función -- lazos :: (Ix v,Num p) => Grafo v p -> [(v,v)] -- tal que (lazos g) es el conjunto de los lazos (es decir, aristas -- cuyos extremos son iguales) del grafo g. Por ejemplo, -- ghci> lazos g3 -- [(2,2)] -- ghci> lazos g2 -- [] -- --------------------------------------------------------------------- lazos :: (Ix v,Num p) => Grafo v p -> [(v,v)] lazos g = [(x,x) | x <- nodos g, aristaEn g (x,x)] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 8. Definir la función -- nLazos :: (Ix v,Num p) => Grafo v p -> Int -- tal que (nLazos g) es el número de lazos del grafo g. Por -- ejemplo, -- nLazos g3 == 1 -- nLazos g2 == 0 -- --------------------------------------------------------------------- nLazos :: (Ix v,Num p) => Grafo v p -> Int nLazos = length . lazos -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 9. Definir la función -- nAristas :: (Ix v,Num p) => Grafo v p -> Int -- tal que (nAristas g) es el número de aristas del grafo g. Si g es no -- dirigido, las aristas de v1 a v2 y de v2 a v1 sólo se cuentan una -- vez. Por ejemplo, -- nAristas g1 == 8 -- nAristas g2 == 7 -- nAristas g10 == 4 -- nAristas g12 == 3 -- nAristas (completo 4) == 6 -- nAristas (completo 5) == 10 -- --------------------------------------------------------------------- nAristas :: (Ix v,Num p) => Grafo v p -> Int nAristas g | dirigido g = length (aristas g) | otherwise = (length (aristas g) + nLazos g) `div` 2 -- 2ª definición nAristas2 :: (Ix v,Num p) => Grafo v p -> Int nAristas2 g | dirigido g = length (aristas g) | otherwise = length [(x,y) | (x,y,_) <- aristas g, x <= y] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 10. Definir la función -- prop_nAristasCompleto :: Int -> Bool -- tal que (prop_nAristasCompleto n) se verifica si el número de aristas -- del grafo completo de orden n es n*(n-1)/2 y, usando la función, -- comprobar que la propiedad se cumple para n de 1 a 20. -- --------------------------------------------------------------------- prop_nAristasCompleto :: Int -> Bool prop_nAristasCompleto n = nAristas (completo n) == n*(n-1) `div` 2 -- La comprobación es -- ghci> and [prop_nAristasCompleto n | n <- [1..20]] -- True -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 11. El grado positivo de un vértice v de un grafo dirigido -- g, es el número de vértices de g adyacentes con v. Definir la función -- gradoPos :: (Ix v,Num p) => Grafo v p -> v -> Int -- tal que (gradoPos g v) es el grado positivo del vértice v en el grafo -- g. Por ejemplo, -- gradoPos g1 5 == 4 -- gradoPos g2 5 == 0 -- gradoPos g2 1 == 3 -- --------------------------------------------------------------------- -- 1ª definición gradoPos :: (Ix v,Num p) => Grafo v p -> v -> Int gradoPos g v = length (adyacentes g v) -- 2ª definición gradoPos2 :: (Ix v,Num p) => Grafo v p -> v -> Int gradoPos2 g = length .(adyacentes g) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 12. El grado negativo de un vértice v de un grafo dirigido -- g, es el número de vértices de g incidentes con v. Definir la función -- gradoNeg :: (Ix v,Num p) => Grafo v p -> v -> Int -- tal que (gradoNeg g v) es el grado negativo del vértice v en el grafo -- g. Por ejemplo, -- gradoNeg g1 5 == 4 -- gradoNeg g2 5 == 3 -- gradoNeg g2 1 == 0 -- --------------------------------------------------------------------- -- 1ª definición gradoNeg :: (Ix v,Num p) => Grafo v p -> v -> Int gradoNeg g v = length (incidentes g v) -- 2ª definición gradoNeg :: (Ix v,Num p) => Grafo v p -> v -> Int gradoNeg g = length (incidentes g) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 13. El grado de un vértice v de un grafo dirigido g, es el -- número de aristas de g que contiene a v. Si g es no dirigido, el -- grado de un vértice v es el número de aristas incidentes en v, teniendo -- en cuenta que los lazos se cuentan dos veces. Definir la función -- grado :: (Ix v,Num p) => Grafo v p -> v -> Int -- tal que (grado g v) es el grado del vértice v en el grafo g. Por -- ejemplo, -- grado g1 5 == 4 -- grado g2 5 == 3 -- grado g2 1 == 3 -- grado g3 2 == 4 -- grado g3 1 == 2 -- grado g3 3 == 2 -- grado g5 1 == 2 -- grado g10 3 == 4 -- grado g11 3 == 4 -- --------------------------------------------------------------------- grado :: (Ix v,Num p) => Grafo v p -> v -> Int grado g v | dirigido g = gradoNeg g v + gradoPos g v | (v,v) `elem` lazos g = length (incidentes g v) + 1 | otherwise = length (incidentes g v) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 14. Comprobar con QuickCheck que para cualquier grafo g, la -- suma de los grados positivos de los vértices de g es igual que la -- suma de los grados negativos de los vértices de g. -- --------------------------------------------------------------------- -- La propiedad es prop_sumaGrados:: Grafo Int Int -> Bool prop_sumaGrados g = sum [gradoPos g v | v <- vs] == sum [gradoNeg g v | v <- vs] where vs = nodos g -- La comprobación es -- ghci> quickCheck prop_sumaGrados -- +++ OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 15. En la teoría de grafos, se conoce como "Lema del -- apretón de manos" la siguiente propiedad: la suma de los grados de -- los vértices de g es el doble del número de aristas de g. -- Comprobar con QuickCheck que para cualquier grafo g, se verifica -- dicha propiedad. -- --------------------------------------------------------------------- prop_apretonManos:: Grafo Int Int -> Bool prop_apretonManos g = sum [grado g v | v <- nodos g] == 2 * nAristas g -- La comprobación es -- ghci> quickCheck prop_apretonManos -- +++ OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 16. Comprobar con QuickCheck que en todo grafo, el número -- de nodos de grado impar es par. -- --------------------------------------------------------------------- prop_numNodosGradoImpar :: Grafo Int Int -> Bool prop_numNodosGradoImpar g = even m where vs = nodos g m = length [v | v <- vs, odd (grado g v)] -- La comprobación es -- ghci> quickCheck prop_numNodosGradoImpar -- +++ OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 17. Definir la propiedad -- prop_GradoCompleto :: Int -> Bool -- tal que (prop_GradoCompleto n) se verifica si todos los vértices del -- grafo completo K(n) tienen grado n-1. Usarla para comprobar que dicha -- propiedad se verifica para los grafos completos de grados 1 hasta 30. -- --------------------------------------------------------------------- prop_GradoCompleto :: Int -> Bool prop_GradoCompleto n = and [grado g v == (n-1) | v <- nodos g] where g = completo n -- La comprobación es -- ghci> and [prop_GradoCompleto n | n <- [1..30]] -- True -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 18. Un grafo es regular si todos sus vértices tienen el -- mismo grado. Definir la función -- regular :: (Ix v,Num p) => Grafo v p -> Bool -- tal que (regular g) se verifica si todos los nodos de g tienen el -- mismo grado. -- regular g1 == False -- regular g2 == False -- regular (completo 4) == True -- --------------------------------------------------------------------- regular :: (Ix v,Num p) => Grafo v p -> Bool regular g = and [grado g v == k | v <- vs] where vs = nodos g k = grado g (head vs) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 19. Definir la propiedad -- prop_CompletoRegular :: Int -> Int -> Bool -- tal que (prop_CompletoRegular m n) se verifica si todos los grafos -- completos desde el de orden m hasta el de orden m son regulares y -- usarla para comprobar que todos los grafos completo desde el de orden -- 1 hasta el de orden 30 son regulares. -- --------------------------------------------------------------------- prop_CompletoRegular :: Int -> Int -> Bool prop_CompletoRegular m n = and [regular (completo x) | x <- [m..n]] -- La comprobación es -- ghci> prop_CompletoRegular 1 30 -- True -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 20. Un grafo es k-regular si todos sus vértices son de -- grado k. Definir la función -- regularidad :: (Ix v,Num p) => Grafo v p -> Maybe Int -- tal que (regularidad g) es la regularidad de g. Por ejemplo, -- regularidad g1 == Nothing -- regularidad (completo 4) == Just 3 -- regularidad (completo 5) == Just 4 -- regularidad (grafoCiclo 4) == Just 2 -- regularidad (grafoCiclo 5) == Just 2 -- --------------------------------------------------------------------- regularidad :: (Ix v,Num p) => Grafo v p -> Maybe Int regularidad g | regular g = Just (grado g (head (nodos g))) | otherwise = Nothing -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 21. Definir la propiedad -- prop_completoRegular :: Int -> Bool -- tal que (prop_completoRegular n) se verifica si el grafo completo de -- orden n es (n-1)-regular. Por ejemplo, -- prop_completoRegular 5 == True -- y usarla para comprobar que la cumplen todos los grafos completos -- desde orden 1 hasta 20. -- --------------------------------------------------------------------- prop_completoRegular :: Int -> Bool prop_completoRegular n = regularidad (completo n) == Just (n-1) -- La comprobación es -- ghci> and [prop_completoRegular n | n <- [1..20]] -- True -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 22. Definir la propiedad -- prop_cicloRegular :: Int -> Bool -- tal que (prop_cicloRegular n) se verifica si el grafo ciclo de orden -- n es 2-regular. Por ejemplo, -- prop_cicloRegular 2 == True -- y usarla para comprobar que la cumplen todos los grafos ciclos -- desde orden 3 hasta 20. -- --------------------------------------------------------------------- prop_cicloRegular :: Int -> Bool prop_cicloRegular n = regularidad (grafoCiclo n) == Just 2 -- La comprobación es -- ghci> and [prop_cicloRegular n | n <- [3..20]] -- True -- --------------------------------------------------------------------- -- § Generador de grafos -- -- --------------------------------------------------------------------- -- (generaGND n ps) es el grafo completo de orden n tal que los pesos -- están determinados por ps. Por ejemplo, -- ghci> generaGND 3 [4,2,5] -- (ND,array (1,3) [(1,[(2,4),(3,2)]), -- (2,[(1,4),(3,5)]), -- 3,[(1,2),(2,5)])]) -- ghci> generaGND 3 [4,-2,5] -- (ND,array (1,3) [(1,[(2,4)]),(2,[(1,4),(3,5)]),(3,[(2,5)])]) generaGND :: Int -> [Int] -> Grafo Int Int generaGND n ps = creaGrafo ND (1,n) l3 where l1 = [(x,y) | x <- [1..n], y <- [1..n], x < y] l2 = zip l1 ps l3 = [(x,y,z) | ((x,y),z) <- l2, z > 0] -- (generaGD n ps) es el grafo completo de orden n tal que los pesos -- están determinados por ps. Por ejemplo, -- ghci> generaGD 3 [4,2,5] -- (D,array (1,3) [(1,[(1,4),(2,2),(3,5)]), -- (2,[]), -- (3,[])]) -- ghci> generaGD 3 [4,2,5,3,7,9,8,6] -- (D,array (1,3) [(1,[(1,4),(2,2),(3,5)]), -- (2,[(1,3),(2,7),(3,9)]), -- (3,[(1,8),(2,6)])]) generaGD :: Int -> [Int] -> Grafo Int Int generaGD n ps = creaGrafo D (1,n) l3 where l1 = [(x,y) | x <- [1..n], y <- [1..n]] l2 = zip l1 ps l3 = [(x,y,z) | ((x,y),z) <- l2, z > 0] -- genGD es un generador de grafos dirigidos. Por ejemplo, -- ghci> sample genGD -- (D,array (1,4) [(1,[(1,1)]),(2,[(3,1)]),(3,[(2,1),(4,1)]),(4,[(4,1)])]) -- (D,array (1,2) [(1,[(1,6)]),(2,[])]) -- ... genGD :: Gen (Grafo Int Int) genGD = do n <- choose (1,10) xs <- vectorOf (n*n) arbitrary return (generaGD n xs) -- genGND es un generador de grafos dirigidos. Por ejemplo, -- ghci> sample genGND -- (ND,array (1,1) [(1,[])]) -- (ND,array (1,3) [(1,[(2,3),(3,13)]),(2,[(1,3)]),(3,[(1,13)])]) -- ... genGND :: Gen (Grafo Int Int) genGND = do n <- choose (1,10) xs <- vectorOf (n*n) arbitrary return (generaGND n xs) -- genG es un generador de grafos. Por ejemplo, -- ghci> sample genG -- (D,array (1,3) [(1,[(2,1)]),(2,[(1,1),(2,1)]),(3,[(3,1)])]) -- (ND,array (1,3) [(1,[(2,2)]),(2,[(1,2)]),(3,[])]) -- ... genG :: Gen (Grafo Int Int) genG = do d <- choose (True,False) n <- choose (1,10) xs <- vectorOf (n*n) arbitrary if d then return (generaGD n xs) else return (generaGND n xs) -- Los grafos está contenido en la clase de los objetos generables -- aleatoriamente. instance Arbitrary (Grafo Int Int) where arbitrary = genG |