I1M2014: Mayorías parlamentarias
En la tercera parte de la clase de hoy de Informática de 1º del Grado en Matemáticas hemos comentado las soluciones a los ejercicios de la relación 41 sobre mayorías parlamentarias como caso de estudio de tipos algebraicos.
Los ejercicios y su solución se muestran a continuación
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-- --------------------------------------------------------------------- -- Importación de librerías auxiliares -- -- --------------------------------------------------------------------- import Data.List import Test.QuickCheck -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 1. Definir el tipo de datos Partido para representar los -- partidos de un Parlamento. Los partidos son P1, P2,..., P8. La clase -- Partido está contenida en Eq, Ord y Show. -- --------------------------------------------------------------------- data Partido = P1 | P2 | P3 | P4 | P5 | P6 | P7 | P8 deriving ( Eq, Ord, Show ) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 2. Definir el tipo Parlamentarios para representar el -- número de parlamentarios que posee un partido en el parlamento. -- --------------------------------------------------------------------- type Parlamentarios = Integer -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 3. Definir el tipo (Tabla a b) para representar una lista -- de pares de elementos el primero de tipo a y el segundo de tipo -- b. Definir Asamblea para representar una tabla de partidos y -- parlamentarios. -- --------------------------------------------------------------------- type Tabla a b = [(a,b)] type Asamblea = Tabla Partido Parlamentarios -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 4. Definir la función -- partidos :: Asamblea -> [Partido] -- tal que (partidos a) es la lista de partidos en la asamblea a. Por -- ejemplo, -- partidos [(P1,3),(P3,5),(P4,3)] ==> [P1,P3,P4] -- --------------------------------------------------------------------- partidos :: Asamblea -> [Partido] partidos a = [p | (p,_) <- a] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 5. Definir la función -- parlamentarios :: Asamblea -> Integer -- tal que (parlamentarios a) es el número de parlamentarios en la -- asamblea a. Por ejemplo, -- parlamentarios [(P1,3),(P3,5),(P4,3)] ==> 11 -- --------------------------------------------------------------------- parlamentarios :: Asamblea -> Integer parlamentarios a = sum [e | (_,e) <- a] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 6. Definir la función -- busca :: Eq a => a -> Tabla a b -> b -- tal que (busca x t) es el valor correspondiente a x en la tabla -- t. Por ejemplo, -- Main> busca P3 [(P1,2),(P3,19)] -- 19 -- Main> busca P8 [(P1,2),(P3,19)] -- Program error: no tiene valor en la tabla -- --------------------------------------------------------------------- busca :: Eq a => a -> Tabla a b -> b busca x t | null xs = error "no tiene valor en la tabla" | otherwise = head xs where xs = [b | (a,b) <- t, a == x] buscaR :: Eq a => a -> Tabla a b -> b buscaR x [] = error "no tiene valor en la tabla" buscaR x ((x',y):xys) | x == x' = y | otherwise = buscaR x xys -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 7. Definir la función -- busca' :: Eq a => a -> Table a b -> Maybe b -- tal que (busca' x t) es justo el valor correspondiente a x en la -- tabla t, o Nothing si x no tiene valor. Por ejemplo, -- busca' P3 [(P1,2),(P3,19)] == Just 19 -- busca' P8 [(P1,2),(P3,19)] == Nothing -- --------------------------------------------------------------------- busca' :: Eq a => a -> Tabla a b -> Maybe b busca' x t | null xs = Nothing | otherwise = Just (head xs) where xs = [b | (a,b) <- t, a == x] -- Definición por recursión busca'R :: Eq a => a -> Tabla a b -> Maybe b busca'R x [] = Nothing busca'R x ((x',y):xys) | x == x' = Just y | otherwise = busca'R x xys -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 8. Comprobar con QuickCheck que si (busca' x t) es -- Nothing, entonces x es distinto de todos los elementos de t. -- --------------------------------------------------------------------- -- La propiedad es prop_BuscaNothing :: Integer -> [(Integer,Integer)] -> Property prop_BuscaNothing x t = busca' x t == Nothing ==> x `notElem` [ a | (a,_) <- t ] -- La comprobación es -- Main> quickCheck prop_BuscaNothing -- OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 9. Comprobar que la función busca' es equivalente a la -- función lookup del Prelude. -- --------------------------------------------------------------------- -- La propiedad es prop_BuscaEquivLookup :: Integer -> [(Integer,Integer)] -> Bool prop_BuscaEquivLookup x t = busca' x t == lookup x t -- La comprobación es -- Main> quickCheck prop_BuscaEquivLookup -- OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 10. Definir el tipo Coalicion como una lista de partidos. -- --------------------------------------------------------------------- type Coalicion = [Partido] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 11. Definir la función -- mayoria :: Asamblea -> Integer -- tal que (mayoria xs) es el número de parlamentarios que se necesitan -- para tener la mayoría en la asamblea xs. Por ejemplo, -- mayoria [(P1,3),(P3,5),(P4,3)] == 6 -- mayoria [(P1,3),(P3,6)] == 5 -- --------------------------------------------------------------------- mayoria :: Asamblea -> Integer mayoria xs = parlamentarios xs `div` 2 + 1 -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 12. Definir la función -- coaliciones :: Asamblea -> Integer -> [Coalicion] -- tal que (coaliciones xs n) es la lista de coaliciones necesarias para -- alcanzar n parlamentarios. Por ejemplo, -- coaliciones [(P1,3),(P3,5),(P4,3)] 6 == [[P3,P4],[P1,P4],[P1,P3]] -- coaliciones [(P1,3),(P3,5),(P4,3)] 9 == [[P1,P3,P4]] -- coaliciones [(P1,3),(P3,5),(P4,3)] 14 == [] -- coaliciones [(P1,3),(P3,5),(P4,3)] 2 == [[P4],[P3],[P1]] -- --------------------------------------------------------------------- coaliciones :: Asamblea -> Integer -> [Coalicion] coaliciones _ n | n <= 0 = [[]] coaliciones [] n = [] coaliciones ((p,m):xs) n = coaliciones xs n ++ [p:c | c <- coaliciones xs (n-m)] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 13. Definir la función -- mayorias :: Asamblea -> [Coalicion] -- tal que (mayorias a) es la lista de coaliciones mayoritarias en la -- asamblea a. Por ejemplo, -- mayorias [(P1,3),(P3,5),(P4,3)] == [[P3,P4],[P1,P4],[P1,P3]] -- mayorias [(P1,2),(P3,5),(P4,3)] == [[P3],[P1,P4],[P1,P3]] -- --------------------------------------------------------------------- mayorias :: Asamblea -> [Coalicion] mayorias asamblea = coaliciones asamblea (mayoria asamblea) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 14. Definir el tipo de datos Asamblea. -- --------------------------------------------------------------------- data Asamblea2 = A Asamblea deriving Show -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 15. Definir la propiedad -- esMayoritaria :: Coalicion -> Asamblea -> Bool -- tal que (esMayoritaria c a) se verifica si la coalición c es -- mayoritaria en la asamblea a. Por ejemplo, -- esMayoritaria [P3,P4] [(P1,3),(P3,5),(P4,3)] == True -- esMayoritaria [P4] [(P1,3),(P3,5),(P4,3)] == False -- --------------------------------------------------------------------- esMayoritaria :: Coalicion -> Asamblea -> Bool esMayoritaria c a = sum [busca p a| p <- c] >= mayoria a -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 16. Comprobar con QuickCheck que las coaliciones -- obtenidas por (mayorias asamblea) son coaliciones mayoritarias en la -- asamblea. -- --------------------------------------------------------------------- -- La propiedad es prop_MayoriasSonMayoritarias :: Asamblea2 -> Bool prop_MayoriasSonMayoritarias (A asamblea) = and [esMayoritaria c asamblea | c <- mayorias asamblea] -- La comprobación es -- Main> quickCheck prop_MayoriasSonMayoritarias -- OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 17. Definir la función -- esMayoritariaMinimal :: Coalicion -> Asamblea -> Bool -- tal que (esMayoritariaMinimal c a) se verifica si la coalición c es -- mayoritaria en la asamblea a, pero si se quita a c cualquiera de sus -- partidos la coalición resultante no es mayoritaria. Por ejemplo, -- esMayoritariaMinimal [P3,P4] [(P1,3),(P3,5),(P4,3)] == True -- esMayoritariaMinimal [P1,P3,P4] [(P1,3),(P3,5),(P4,3)] == False -- --------------------------------------------------------------------- esMayoritariaMinimal :: Coalicion -> Asamblea -> Bool esMayoritariaMinimal c a = esMayoritaria c a && and [not(esMayoritaria (delete p c) a) | p <-c] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 18. Comprobar con QuickCheck si las coaliciones obtenidas -- por (mayorias asamblea) son coaliciones mayoritarias minimales en la -- asamblea. -- --------------------------------------------------------------------- -- La propiedad es prop_MayoriasSonMayoritariasMinimales :: Asamblea2 -> Bool prop_MayoriasSonMayoritariasMinimales (A asamblea) = and [esMayoritariaMinimal c asamblea | c <- mayorias asamblea] -- La comprobación es -- Main> quickCheck prop_MayoriasSonMayoritariasMinimales -- Falsifiable, after 0 tests: -- A [(P1,1),(P2,0),(P3,1),(P4,1),(P5,0),(P6,1),(P7,0),(P8,1)] -- Por tanto, no se cumple la propiedad. Para buscar una coalición no -- minimal generada por mayorias, definimos la función contraejemplo a = head [c | c <- mayorias a, not(esMayoritariaMinimal c a)] -- el cálculo del contraejemplo es -- Main> contraejemplo [(P1,1),(P2,0),(P3,1),(P4,1),(P5,0),(P6,1),(P7,0),(P8,1)] -- [P4,P6,P7,P8] -- La coalición [P4,P6,P7,P8] no es minimal ya que [P4,P6,P8] también es -- mayoritaria. En efecto, -- Main> esMayoritaria [P4,P6,P8] -- [(P1,1),(P2,0),(P3,1),(P4,1), -- (P5,0),(P6,1),(P7,0),(P8,1)] -- True -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 19. Definir la función -- coalicionesMinimales :: Asamblea -> Integer -> [Coalicion,Parlamentarios] -- tal que (coalicionesMinimales xs n) es la lista de coaliciones -- minimales necesarias para alcanzar n parlamentarios. Por ejemplo, -- Main> coalicionesMinimales [(P1,3),(P3,5),(P4,3)] 6 -- [([P3,P4],8),([P1,P4],6),([P1,P3],8)] -- Main> coalicionesMinimales [(P1,3),(P3,5),(P4,3)] 5 -- [([P3],5),([P1,P4],6)] -- --------------------------------------------------------------------- coalicionesMinimales :: Asamblea -> Integer -> [(Coalicion,Parlamentarios)] coalicionesMinimales _ n | n <= 0 = [([],0)] coalicionesMinimales [] n = [] coalicionesMinimales ((p,m):xs) n = coalicionesMinimales xs n ++ [(p:ys, t+m) | (ys,t) <- coalicionesMinimales xs (n-m), t<n] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 20. Definir la función -- mayoriasMinimales :: Asamblea -> [Coalicion] -- tal que (mayoriasMinimales a) es la lista de coaliciones mayoritarias -- minimales en la asamblea a. Por ejemplo, -- mayoriasMinimales [(P1,3),(P3,5),(P4,3)] == [[P3,P4],[P1,P4],[P1,P3]] -- --------------------------------------------------------------------- mayoriasMinimales :: Asamblea -> [Coalicion] mayoriasMinimales asamblea = [c | (c,_) <- coalicionesMinimales asamblea (mayoria asamblea)] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 21. Comprobar con QuickCheck que las coaliciones -- obtenidas por (mayoriasMinimales asamblea) son coaliciones -- mayoritarias minimales en la asamblea. -- --------------------------------------------------------------------- -- La propiedad es prop_MayoriasMinimalesSonMayoritariasMinimales :: Asamblea2 -> Bool prop_MayoriasMinimalesSonMayoritariasMinimales (A asamblea) = and [esMayoritariaMinimal c asamblea | c <- mayoriasMinimales asamblea] -- La comprobación es -- Main> quickCheck prop_MayoriasMinimalesSonMayoritariasMinimales -- OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- Funciones auxiliares -- -- --------------------------------------------------------------------- -- (listaDe n g) es una lista de n elementos, donde cada elemento es -- generado por g. Por ejemplo, -- Main> muestra (listaDe 3 (arbitrary :: Gen Int)) -- [-1,1,-1] -- [-2,-4,-1] -- [1,-1,0] -- [1,-1,1] -- [1,-1,1] -- Main> muestra (listaDe 3 (arbitrary :: Gen Bool)) -- [False,True,False] -- [True,True,False] -- [False,False,True] -- [False,False,True] -- [True,False,True] listaDe :: Int -> Gen a -> Gen [a] listaDe n g = sequence [g | i <- [1..n]] -- paresDeIgualLongitud genera pares de listas de igual longitud. Por -- ejemplo, -- Main> muestra (paresDeIgualLongitud (arbitrary :: Gen Int)) -- ([-4,5],[-4,2]) -- ([],[]) -- ([0,0],[-2,-3]) -- ([2,-2],[-2,1]) -- ([0],[-1]) -- Main> muestra (paresDeIgualLongitud (arbitrary :: Gen Bool)) -- ([False,True,False],[True,True,True]) -- ([True],[True]) -- ([],[]) -- ([False],[False]) -- ([],[]) paresDeIgualLongitud :: Gen a -> Gen ([a],[a]) paresDeIgualLongitud gen = do n <- arbitrary xs <- listaDe (abs n) gen ys <- listaDe (abs n) gen return (xs,ys) -- generaAsamblea esun generador de datos de tipo Asamblea. Por ejemplo, -- Main> muestra generaAsamblea -- A [(P1,1),(P2,1),(P3,0),(P4,1),(P5,0),(P6,1),(P7,0),(P8,1)] -- A [(P1,0),(P2,1),(P3,1),(P4,1),(P5,0),(P6,1),(P7,0),(P8,1)] -- A [(P1,1),(P2,2),(P3,0),(P4,1),(P5,0),(P6,1),(P7,2),(P8,0)] -- A [(P1,1),(P2,0),(P3,1),(P4,0),(P5,0),(P6,1),(P7,1),(P8,1)] -- A [(P1,1),(P2,0),(P3,0),(P4,0),(P5,1),(P6,1),(P7,1),(P8,0)] generaAsamblea :: Gen Asamblea2 generaAsamblea = do xs <- listaDe 8 (arbitrary :: Gen Integer) return (A (zip [P1,P2,P3,P4,P5,P6,P7,P8] (map abs xs))) instance Arbitrary Asamblea2 where arbitrary = generaAsamblea -- coarbitrary = undefined |