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La semana en Exercitium (29 de abril de 2023)

José A. Alonso

Esta semana he publicado en Exercitium las soluciones de los siguientes problemas sobre el TAD (tipo abstracto de datos) de los polinomios.

A continuación se muestran las soluciones.

1. Construcción de términos

Usando el tipo abstracto de los polinomios, definir la función

   creaTermino :: (Num a, Eq a) => Int -> a -> Polinomio a

tal que creaTermino n a es el término a·x^n. Por ejemplo,

   creaTermino 2 5  ==  5*x^2

Soluciones

A continuación se muestran las soluciones en Haskell y las soluciones en Python.


Soluciones en Haskell

import TAD.Polinomio (Polinomio, polCero, consPol)
 
creaTermino :: (Num a, Eq a) => Int -> a -> Polinomio a
creaTermino n a = consPol n a polCero


Soluciones en Python

from typing import TypeVar
 
from hypothesis import given
from hypothesis import strategies as st
 
from src.TAD.Polinomio import (Polinomio, consPol, polCero)
 
A = TypeVar('A', int, float, complex)
 
# 1ª solución
# ===========
 
def creaTermino(n: int, a: A) -> Polinomio[A]:
    return consPol(n, a, polCero())
 
# 2ª solución
# ===========
 
def creaTermino2(n: int, a: A) -> Polinomio[A]:
    r: Polinomio[A] = polCero()
    return r.consPol(n, a)
 
# Equivalencia de las definiciones
# ================================
 
# La propiedad es
@given(st.integers(min_value=0, max_value=9),
       st.integers(min_value=-9, max_value=9))
def test_creaTermino(n: int, a: int) -> None:
    assert creaTermino(n, a) == creaTermino2(n, a)
 
# La comprobación es
#    > poetry run pytest -q Pol_Crea_termino.py
#    1 passed in 0.21s

2. Término líder de un polinomio

Usando el tipo abstracto de los polinomios, definir la función

   termLider :: (Num a, Eq a) => Polinomio a -> Polinomio a

tal que termLider p es el término líder del polinomio p. Por ejemplo,

   λ> ejPol = consPol 5 1 (consPol 2 5 (consPol 1 4 polCero))
   λ> ejPol
   x^5 + 5*x^2 + 4*x
   λ> termLider ejPol
   x^5

Soluciones

A continuación se muestran las soluciones en Haskell y las soluciones en Python.


Soluciones en Haskell

import TAD.Polinomio (Polinomio, coefLider, grado, polCero, consPol)
import Pol_Crea_termino (creaTermino)
 
termLider :: (Num a, Eq a) => Polinomio a -> Polinomio a
termLider p = creaTermino (grado p) (coefLider p)
 
-- La función creaTermino está definida en el ejercicio
-- "Construcción de términos" que se encuentra en
-- https://bit.ly/3GXteuH


Soluciones en Python

from typing import TypeVar
 
from hypothesis import given
 
from src.Pol_Crea_termino import creaTermino
from src.TAD.Polinomio import (Polinomio, coefLider, consPol, grado, polCero,
                               polinomioAleatorio)
 
A = TypeVar('A', int, float, complex)
 
# 1ª solución
# ===========
 
def termLider(p: Polinomio[A]) -> Polinomio[A]:
    return creaTermino(grado(p), coefLider(p))
 
# 2ª solución
# ===========
 
def termLider2(p: Polinomio[A]) -> Polinomio[A]:
    return creaTermino(p.grado(), p.coefLider())
 
# La función creaTermino está definida en el ejercicio
# "Construcción de términos" que se encuentra en
# https://bit.ly/3GXteuH
 
# Equivalencia de las definiciones
# ================================
 
# La propiedad es
@given(p=polinomioAleatorio())
def test_termLider(p: Polinomio[int]) -> None:
    assert termLider(p) == termLider2(p)
 
# La comprobación es
#    > poetry run pytest -q Pol_Termino_lider.py
#    1 passed in 0.21s

3. Suma de polinomios

Usando el tipo abstracto de los polinomios, definir la función

   sumaPol :: (Num a, Eq a) => Polinomio a -> Polinomio a -> Polinomio a

tal que (sumaPol p q) es la suma de los polinomios p y q. Por ejemplo,

   λ> ejPol1 = consPol 4 3 (consPol 2 (-5) (consPol 0 3 polCero))
   λ> ejPol2 = consPol 5 1 (consPol 2 5 (consPol 1 4 polCero))
   λ> ejPol1
   3*x^4 + -5*x^2 + 3
   λ> ejPol2
   x^5 + 5*x^2 + 4*x
   λ> sumaPol ejPol1 ejPol2
   x^5 + 3*x^4 + 4*x + 3

Comprobar con QuickCheck las siguientes propiedades:

  • polCero es el elemento neutro de la suma.
  • la suma es conmutativa.

Soluciones

A continuación se muestran las soluciones en Haskell y las soluciones en Python.


Soluciones en Haskell

import TAD.Polinomio (Polinomio, polCero, esPolCero, consPol, grado,
                      coefLider, restoPol)
import Test.QuickCheck
 
sumaPol :: (Num a, Eq a) => Polinomio a -> Polinomio a -> Polinomio a
sumaPol p q
  | esPolCero p = q
  | esPolCero q = p
  | n1 > n2      = consPol n1 a1 (sumaPol r1 q)
  | n1 < n2      = consPol n2 a2 (sumaPol p r2)
  | otherwise    = consPol n1 (a1+a2) (sumaPol r1 r2)
  where (n1, a1, r1) = (grado p, coefLider p, restoPol p)
        (n2, a2, r2) = (grado q, coefLider q, restoPol q)
 
-- Propiedad. El polinomio cero es el elemento neutro de la suma.
prop_neutroSumaPol :: Polinomio Int -> Bool
prop_neutroSumaPol p =
  sumaPol polCero p == p
 
-- Comprobación con QuickCheck.
--    λ> quickCheck prop_neutroSumaPol
--    OK, passed 100 tests.
 
-- Propiedad. La suma es conmutativa.
prop_conmutativaSuma :: Polinomio Int -> Polinomio Int -> Bool
prop_conmutativaSuma p q =
  sumaPol p q == sumaPol q p
 
-- Comprobación:
--    λ> quickCheck prop_conmutativaSuma
--    OK, passed 100 tests.


Soluciones en Python

from typing import TypeVar
 
from hypothesis import given
 
from src.TAD.Polinomio import (Polinomio, coefLider, consPol, esPolCero, grado,
                               polCero, polinomioAleatorio, restoPol)
 
A = TypeVar('A', int, float, complex)
 
# 1ª solución
# ===========
 
def sumaPol(p: Polinomio[A], q: Polinomio[A]) -> Polinomio[A]:
    if esPolCero(p):
        return q
    if esPolCero(q):
        return p
    n1, a1, r1 = grado(p), coefLider(p), restoPol(p)
    n2, a2, r2 = grado(q), coefLider(q), restoPol(q)
    if n1 > n2:
        return consPol(n1, a1, sumaPol(r1, q))
    if n1 < n2:
        return consPol(n2, a2, sumaPol(p, r2))
    return consPol(n1, a1 + a2, sumaPol(r1, r2))
 
# 2ª solución
# ===========
 
def sumaPol2(p: Polinomio[A], q: Polinomio[A]) -> Polinomio[A]:
    if p.esPolCero():
        return q
    if q.esPolCero():
        return p
    n1, a1, r1 = p.grado(), p.coefLider(), p.restoPol()
    n2, a2, r2 = q.grado(), q.coefLider(), q.restoPol()
    if n1 > n2:
        return sumaPol(r1, q).consPol(n1, a1)
    if n1 < n2:
        return sumaPol(p, r2).consPol(n2, a2)
    return sumaPol(r1, r2).consPol(n1, a1 + a2)
 
# Equivalencia de las definiciones
# ================================
 
# La propiedad es
@given(p=polinomioAleatorio(), q=polinomioAleatorio())
def test_sumaPol(p: Polinomio[int], q: Polinomio[int]) -> None:
    assert sumaPol(p, q) == sumaPol2(p,q)
 
# Propiedad. El polinomio cero es el elemento neutro de la suma.
@given(p=polinomioAleatorio())
def test_neutroSumaPol(p: Polinomio[int]) -> None:
    assert sumaPol(polCero(), p) == p
    assert sumaPol(p, polCero()) == p
 
# -- Propiedad. La suma es conmutativa.
@given(p=polinomioAleatorio(), q=polinomioAleatorio())
def test_conmutativaSuma(p: Polinomio[int], q: Polinomio[int]) -> None:
    assert sumaPol(p, q) == sumaPol(q, p)
 
# La comprobación es
#    > poetry run pytest -v Pol_Suma_de_polinomios.py
#    test_sumaPol PASSED
#    test_neutroSumaPol PASSED
#    test_conmutativaSuma PASSED

4. Producto de polinomios

Usando el tipo abstracto de los polinomios, definir la función

   multPol :: (Num a, Eq a) => Polinomio a -> Polinomio a -> Polinomio a

tal que multPol p q es el producto de los polinomios p y q. Por ejemplo,

   λ> ejPol1 = consPol 4 3 (consPol 2 (-5) (consPol 0 3 polCero))
   λ> ejPol2 = consPol 5 1 (consPol 2 5 (consPol 1 4 polCero))
   λ> ejPol1
   3*x^4 + -5*x^2 + 3
   λ> ejPol2
   x^5 + 5*x^2 + 4*x
   λ> multPol ejPol1 ejPol2
   3*x^9 + -5*x^7 + 15*x^6 + 15*x^5 + -25*x^4 + -20*x^3 + 15*x^2 + 12*x

Comprobar con QuickCheck las siguientes propiedades

  • El producto de polinomios es conmutativo.
  • El producto es distributivo respecto de la suma.

Soluciones

A continuación se muestran las soluciones en Haskell y las soluciones en Python.


Soluciones en Haskell

import TAD.Polinomio (Polinomio, polCero, esPolCero, consPol, grado,
                      coefLider, restoPol)
import Pol_Termino_lider (termLider)
import Pol_Suma_de_polinomios (sumaPol)
import Test.QuickCheck
 
multPol :: (Num a, Eq a) => Polinomio a -> Polinomio a -> Polinomio a
multPol p q
  | esPolCero p = polCero
  | otherwise    = sumaPol (multPorTerm (termLider p) q)
                           (multPol (restoPol p) q)
 
-- (multPorTerm t p) es el producto del término t por el polinomio
-- p. Por ejemplo,
--    ejTerm                     ==  4*x
--    ejPol2                     ==  x^5 + 5*x^2 + 4*x
--    multPorTerm ejTerm ejPol2  ==  4*x^6 + 20*x^3 + 16*x^2
multPorTerm :: (Num t, Eq t) => Polinomio t -> Polinomio t -> Polinomio t
multPorTerm term pol
  | esPolCero pol = polCero
  | otherwise     = consPol (n+m) (a*b) (multPorTerm term r)
  where n = grado term
        a = coefLider term
        m = grado pol
        b = coefLider pol
        r = restoPol pol
 
-- El producto de polinomios es conmutativo.
prop_conmutativaProducto :: Polinomio Int -> Polinomio Int -> Bool
prop_conmutativaProducto p q =
  multPol p q == multPol q p
 
-- La comprobación es
--    λ> quickCheck prop_conmutativaProducto
--    OK, passed 100 tests.
 
-- El producto es distributivo respecto de la suma.
prop_distributivaProductoSuma :: Polinomio Int -> Polinomio Int
                                 -> Polinomio Int -> Bool
prop_distributivaProductoSuma p q r =
  multPol p (sumaPol q r) == sumaPol (multPol p q) (multPol p r)
 
-- Comprobación:
--    λ> quickCheck prop_distributivaProductoSuma
--    OK, passed 100 tests.


Soluciones en Python

from typing import TypeVar
 
from hypothesis import given
 
from src.Pol_Suma_de_polinomios import sumaPol
from src.Pol_Termino_lider import termLider
from src.TAD.Polinomio import (Polinomio, coefLider, consPol, esPolCero, grado,
                               polCero, polinomioAleatorio, restoPol)
 
A = TypeVar('A', int, float, complex)
 
# multPorTerm(t, p) es el producto del término t por el polinomio
# p. Por ejemplo,
#    ejTerm                     ==  4*x
#    ejPol2                     ==  x^5 + 5*x^2 + 4*x
#    multPorTerm ejTerm ejPol2  ==  4*x^6 + 20*x^3 + 16*x^2
def multPorTerm(term: Polinomio[A], pol: Polinomio[A]) -> Polinomio[A]:
    n = grado(term)
    a = coefLider(term)
    m = grado(pol)
    b = coefLider(pol)
    r = restoPol(pol)
    if esPolCero(pol):
        return polCero()
    return consPol(n + m, a * b, multPorTerm(term, r))
 
def multPol(p: Polinomio[A], q: Polinomio[A]) -> Polinomio[A]:
    if esPolCero(p):
        return polCero()
    return sumaPol(multPorTerm(termLider(p), q),
                   multPol(restoPol(p), q))
 
# El producto de polinomios es conmutativo.
@given(p=polinomioAleatorio(),
       q=polinomioAleatorio())
def test_conmutativaProducto(p: Polinomio[int], q: Polinomio[int]) -> None:
    assert multPol(p, q) == multPol(q, p)
 
# El producto es distributivo respecto de la suma.
@given(p=polinomioAleatorio(),
       q=polinomioAleatorio(),
       r=polinomioAleatorio())
def test_distributivaProductoSuma(p: Polinomio[int],
                                  q: Polinomio[int],
                                  r: Polinomio[int]) -> None:
    assert multPol(p, sumaPol(q, r)) == sumaPol(multPol(p, q), multPol(p, r))
 
# La comprobación es
#    > poetry run pytest -v Pol_Producto_polinomios.py
#    test_conmutativaProducto PASSED
#    test_distributivaProductoSuma PASSED

5. Valor de un polinomio en un punto

Usando el tipo abstracto de los polinomios, definir la función

   valor :: (Num a, Eq a) => Polinomio a -> a -> a

tal que valor p c es el valor del polinomio p al sustituir su variable por c. Por ejemplo,

   λ> ejPol = consPol 4 3 (consPol 2 (-5) (consPol 0 3 polCero))
   λ> ejPol
   3*x^4 + -5*x^2 + 3
   λ> valor ejPol 0
   3
   λ> valor ejPol 1
   1
   λ> valor ejPol (-2)
   31

Soluciones

A continuación se muestran las soluciones en Haskell y las soluciones en Python.


Soluciones en Haskell

import TAD.Polinomio (Polinomio, polCero, esPolCero, consPol, grado,
                      coefLider, restoPol)
 
valor :: (Num a, Eq a) => Polinomio a -> a -> a
valor p c
  | esPolCero p = 0
  | otherwise   =  b*c^n + valor r c
  where n = grado p
        b = coefLider p
        r = restoPol p


Soluciones en Python

from typing import TypeVar
 
from src.TAD.Polinomio import (Polinomio, coefLider, consPol, esPolCero, grado,
                               polCero, restoPol)
 
A = TypeVar('A', int, float, complex)
 
def valor(p: Polinomio[A], c: A) -> A:
    if esPolCero(p):
        return 0
    n = grado(p)
    b = coefLider(p)
    r = restoPol(p)
    return b*c**n + valor(r, c)
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