DAO: La semana en Calculemus (27 de noviembre de 2022)
Esta semana he publicado en Calculemus las demostraciones con Lean de las siguientes propiedades:
- 1. Si a es una cota superior de s y a ≤ b, entonces b es una cota superior de s
- 2. Para todo c ∈ ℝ, la función f(x) = x+c es inyectiva
- 3. Para todo c ∈ ℝ-{0}, la función f(x) = x * c es inyectiva
- 4. Si f: A → B y g: B → C son inyectiva, entonces g ∘ f es inyectiva
- 5. ∃ x ∈ ℝ, 2 < x < 3
A continuación se muestran las soluciones.
1. Si a es una cota superior de s y a ≤ b, entonces b es una cota superior de s
Demostrar que si a es una cota superior de s y a ≤ b, entonces b es una cota superior de s
Para ello, completar la siguiente teoría de Lean:
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import tactic variables {α : Type*} [partial_order α] variables s : set α variables a b : α -- (cota_superior s a) expresa que a es una cota superior de s. def cota_superior (s : set α) (a : α) := ∀ {x}, x ∈ s → x ≤ a example (h1 : cota_superior s a) (h2 : a ≤ b) : cota_superior s b := sorry |
Soluciones con Lean
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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 |
import tactic variables {α : Type*} [partial_order α] variables s : set α variables a b : α -- (cota_superior s a) expresa que a es una cota superior de s. def cota_superior (s : set α) (a : α) := ∀ {x}, x ∈ s → x ≤ a -- 1ª demostración -- =============== example (h1 : cota_superior s a) (h2 : a ≤ b) : cota_superior s b := begin intro x, assume xs : x ∈ s, have h3 : x ≤ a := h1 xs, show x ≤ b, by exact le_trans h3 h2, end -- 2ª demostración -- =============== example (h1 : cota_superior s a) (h2 : a ≤ b) : cota_superior s b := begin intros x xs, calc x ≤ a : h1 xs ... ≤ b : h2 end |
Se puede interactuar con la prueba anterior en esta sesión con Lean.
Referencias
- J. Avigad, K. Buzzard, R.Y. Lewis y P. Massot. Mathematics in Lean, p. 29.
2. Para todo c ∈ ℝ, la función f(x) = x+c es inyectiva
Demostrar que para todo c ∈ ℝ, la función f(x) = x+c es inyectiva.
Para ello, completar la siguiente teoría de Lean:
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import data.real.basic open function variable {c : ℝ} example : injective (λ x, x + c) := sorry |
Soluciones con Lean
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import data.real.basic open function variable {c : ℝ} -- 1ª demostración -- =============== example : injective (λ x, x + c) := begin assume x1 : ℝ, assume x2 : ℝ, assume h1 : (λ x, x + c) x1 = (λ x, x + c) x2, have h2 : x1 + c = x2 + c := h1, show x1 = x2, by exact (add_left_inj c).mp h2, end -- 2ª demostración -- =============== example : injective (λ x, x + c) := begin intros x1 x2 h, change x1 + c = x2 + c at h, apply add_right_cancel h, end -- 3ª demostración -- =============== example : injective (λ x, x + c) := begin intros x1 x2 h, apply (add_left_inj c).mp, exact h, end -- 4ª demostración -- =============== example : injective (λ x, x + c) := λ x1 x2 h, (add_left_inj c).mp h |
Se puede interactuar con la prueba anterior en esta sesión con Lean.
Referencias
- J. Avigad, K. Buzzard, R.Y. Lewis y P. Massot. Mathematics in Lean, p. 29.
3. Para todo c ∈ ℝ-{0}, la función f(x) = x * c es inyectiva
Demostrar que para todo c ∈ ℝ-{0}, la función f(x) = x * c es inyectiva
Para ello, completar la siguiente teoría de Lean:
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import data.real.basic open function variable {c : ℝ} example (h : c ≠ 0) : injective (λ x, c * x) := sorry |
Soluciones con Lean
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import data.real.basic open function variable {c : ℝ} -- 1ª demostración -- =============== example (h : c ≠ 0) : injective (λ x, c * x) := begin assume x1 : ℝ, assume x2 : ℝ, assume h1 : (λ x, c * x) x1 = (λ x, c * x) x2, have h2 : c * x1 = c * x2 := h1, show x1 = x2, by exact (mul_right_inj' h).mp h1, end -- 2ª demostración -- =============== example (h : c ≠ 0) : injective (λ x, c * x) := begin intros x1 x2 h', dsimp at h', apply mul_left_cancel₀ h, exact h', end -- 3ª demostración -- =============== example (h : c ≠ 0) : injective (λ x, c * x) := begin intros x1 x2 h', dsimp at h', exact (mul_right_inj' h).mp h' end -- 3ª demostración -- =============== example {c : ℝ} (h : c ≠ 0) : injective (λ x, c * x) := λ x1 x2 h', mul_left_cancel₀ h h' |
Se puede interactuar con la prueba anterior en esta sesión con Lean.
Referencias
- J. Avigad, K. Buzzard, R.Y. Lewis y P. Massot. Mathematics in Lean, p. 29.
4. Si f: A → B y g: B → C son inyectiva, entonces g ∘ f es inyectiva
Demostrar que si f: A → B y g: B → C son inyectiva, entonces g ∘ f es inyectiva.
Para ello, completar la siguiente teoría de Lean:
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import tactic open function variables {A : Type*} {B : Type*} {C : Type*} variables {f : A → B} {g : B → C} example (hg : injective g) (hf : injective f) : injective (g ∘ f) := sorry |
Soluciones con Lean
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import tactic open function variables {A : Type*} {B : Type*} {C : Type*} variables {f : A → B} {g : B → C} -- 1ª demostración -- =============== example (hg : injective g) (hf : injective f) : injective (g ∘ f) := begin assume x : A, assume y : A, assume h1: (g ∘ f) x = (g ∘ f) y, have h2: g (f x) = g (f y) := h1, have h3: f x = f y := hg h2, show x = y, by exact hf h3, end -- 2ª demostración -- =============== example (hg : injective g) (hf : injective f) : injective (g ∘ f) := begin intros x y h, apply hf, apply hg, apply h, end -- 3ª demostración -- =============== example (hg : injective g) (hf : injective f) : injective (g ∘ f) := λ x y h, hf (hg h) -- 4ª demostración -- =============== example (hg : injective g) (hf : injective f) : injective (g ∘ f) := -- by library_search injective.comp hg hf -- 5ª demostración -- =============== example (hg : injective g) (hf : injective f) : injective (g ∘ f) := -- by hint by tauto |
Se puede interactuar con la prueba anterior en esta sesión con Lean.
Referencias
- J. Avigad, K. Buzzard, R.Y. Lewis y P. Massot. Mathematics in Lean, p. 29.
5. ∃ x ∈ ℝ, 2 < x < 3
Demostrar que ∃ x ∈ ℝ, 2 < x < 3
Para ello, completar la siguiente teoría de Lean:
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1 2 3 4 |
import data.real.basic example : ∃ x : ℝ, 2 < x ∧ x < 3 := sorry |
Soluciones con Lean
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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 |
import data.real.basic -- 1ª demostración -- =============== example : ∃ x : ℝ, 2 < x ∧ x < 3 := begin have h : 2 < (5 : ℝ) / 2 ∧ (5 : ℝ) / 2 < 3, by norm_num, show ∃ x : ℝ, 2 < x ∧ x < 3, by exact Exists.intro (5 / 2) h, end -- 2ª demostración -- =============== example : ∃ x : ℝ, 2 < x ∧ x < 3 := begin have h : 2 < (5 : ℝ) / 2 ∧ (5 : ℝ) / 2 < 3, by norm_num, show ∃ x : ℝ, 2 < x ∧ x < 3, by exact ⟨5 / 2, h⟩, end -- 3ª demostración -- =============== example : ∃ x : ℝ, 2 < x ∧ x < 3 := begin use 5 / 2, norm_num end -- 4ª demostración -- =============== example : ∃ x : ℝ, 2 < x ∧ x < 3 := ⟨5 / 2, by norm_num⟩ |
Se puede interactuar con la prueba anterior en esta sesión con Lean.
Referencias
- J. Avigad, K. Buzzard, R.Y. Lewis y P. Massot. Mathematics in Lean, p. 30.