ForMatUS: Pruebas en Lean de propiedades de la composición de funciones (elemento neutro y asociatividad)
He añadido a la lista Lógica con Lean el vídeo en el que se comentan pruebas en Lean de propiedades de la composición de funciones:
- la función identidad es el elemento neutro de la composición y
- la composición es asociativa.
En las pruebas se usan los estilos aplicativos y declarativos.
A continuación, se muestra el vídeo
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import tactic open function variables {X Y Z W : Type} -- ---------------------------------------------------- -- Ej. 1. Demostrar que -- id ∘ f = f -- ---------------------------------------------------- -- 1ª demostración example (f : X → Y) : id ∘ f = f := begin ext, calc (id ∘ f) x = id (f x) : by rw comp_app ... = f x : by rw id.def, end -- 2ª demostración example (f : X → Y) : id ∘ f = f := begin ext, rw comp_app, rw id.def, end -- 3ª demostración example (f : X → Y) : id ∘ f = f := begin ext, rw [comp_app, id.def], end -- 4ª demostración example (f : X → Y) : id ∘ f = f := begin ext, calc (id ∘ f) x = id (f x) : rfl ... = f x : rfl, end -- 5ª demostración example (f : X → Y) : id ∘ f = f := rfl -- 6ª demostración example (f : X → Y) : id ∘ f = f := -- by library_search left_id f -- 7ª demostración example (f : X → Y) : id ∘ f = f := comp.left_id f -- ---------------------------------------------------- -- Ej. 2. Demostrar que -- f ∘ id = f -- ---------------------------------------------------- -- 1ª demostración example (f : X → Y) : f ∘ id = f := begin ext, calc (f ∘ id) x = f (id x) : by rw comp_app ... = f x : by rw id.def, end -- 2ª demostración example (f : X → Y) : f ∘ id = f := begin ext, rw comp_app, rw id.def, end -- 3ª demostración example (f : X → Y) : f ∘ id = f := begin ext, rw [comp_app, id.def], end -- 4ª demostración example (f : X → Y) : f ∘ id = f := begin ext, calc (f ∘ id) x = f (id x) : rfl ... = f x : rfl, end -- 5ª demostración example (f : X → Y) : f ∘ id = f := rfl -- 6ª demostración example (f : X → Y) : f ∘ id = f := -- by library_search right_id f -- 7ª demostración example (f : X → Y) : f ∘ id = f := comp.right_id f -- ---------------------------------------------------- -- Ej. 3. Demostrar que -- (f ∘ g) ∘ h = f ∘ (g ∘ h) -- ---------------------------------------------------- -- 1ª demostración example (f : Z → W) (g : Y → Z) (h : X → Y) : (f ∘ g) ∘ h = f ∘ (g ∘ h) := begin ext, calc ((f ∘ g) ∘ h) x = (f ∘ g) (h x) : by rw comp_app ... = f (g (h x)) : by rw comp_app ... = f ((g ∘ h) x) : by rw comp_app ... = (f ∘ (g ∘ h)) x : by rw comp_app end -- 2ª demostración example (f : Z → W) (g : Y → Z) (h : X → Y) : (f ∘ g) ∘ h = f ∘ (g ∘ h) := begin ext, rw comp_app, end -- 3ª demostración example (f : Z → W) (g : Y → Z) (h : X → Y) : (f ∘ g) ∘ h = f ∘ (g ∘ h) := begin ext, calc ((f ∘ g) ∘ h) x = (f ∘ g) (h x) : rfl ... = f (g (h x)) : rfl ... = f ((g ∘ h) x) : rfl ... = (f ∘ (g ∘ h)) x : rfl end -- 4ª demostración example (f : Z → W) (g : Y → Z) (h : X → Y) : (f ∘ g) ∘ h = f ∘ (g ∘ h) := rfl -- 5ª demostración example (f : Z → W) (g : Y → Z) (h : X → Y) : (f ∘ g) ∘ h = f ∘ (g ∘ h) := comp.assoc f g h |