LMF2019: Razonamiento sobre árboles y bosques en Isabelle/HOL
En la clase de hoy del curso de Lógica matemática y fundamentos se ha estudiado cómo definir y razonar en Isabelle/HOL tipos de datos recursivos como árboles binarios, árboles generales y bosques. En su definición se usa recursión cruzada y en la demostración de sus propiedades se usa inducción doble.
La clase se ha dado mediante videoconferencia y los vídeos correspondientes son:
- Primera parte: Razonamiento sobre árboles binarios
- Segunda parte: Árboles y bosques: Recursión mutua e inducción
La teoría utilizada es la siguiente
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chapter ‹Tema 8: Razonamiento sobre árboles› theory T8_Razonamiento_sobre_arboles imports Main begin text ‹En este tema se estudia razonamiento sobre otras estructuras recursivas como árboles binarios, árboles generales y bosques. También se muestra cómo definir tipos de datos por recursión cruzada y la demostración de sus propiedades por inducción.› section ‹Razonamiento sobre árboles binarios› text ‹Ejemplo de definición de tipos recursivos: Definir un tipo de dato para los árboles binarios.› datatype 'a arbolB = Hoja "'a" | Nodo "'a" "'a arbolB" "'a arbolB" text ‹Regla de inducción correspondiente a los árboles binarios: La regla de inducción sobre árboles binarios es arbolB.induct: ⟦ ⋀x. P (Hoja x); ⋀x i d. ⟦P i; P d⟧ ⟹ P (Nodo x i d)⟧ ⟹ P a › thm arbolB.induct text ‹Ejemplo de definición sobre árboles binarios: Definir la función "espejo" que aplicada a un árbol devuelve su imagen especular.› fun espejo :: "'a arbolB ⇒ 'a arbolB" where "espejo (Hoja x) = Hoja x" | "espejo (Nodo x i d) = Nodo x (espejo d) (espejo i)" value "espejo (Nodo a (Nodo b (Hoja c) (Hoja d)) (Hoja e)) = Nodo a (Hoja e) (Nodo b (Hoja d) (Hoja c))" text ‹Ejemplo de demostración sobre árboles binarios: Demostrar que la función "espejo" es involutiva; es decir, para cualquier árbol a, se tiene que espejo (espejo a) = a.› ― ‹La demostración declarativa es› lemma fixes a :: "'b arbolB" shows "espejo (espejo a) = a" (is "?P a") proof (induct a) fix x show "?P (Hoja x)" by simp next fix x fix i assume h1: "?P i" fix d assume h2: "?P d" show "?P (Nodo x i d)" proof - have "espejo (espejo (Nodo x i d)) = espejo (Nodo x (espejo d) (espejo i))" by simp also have "… = Nodo x (espejo (espejo i)) (espejo (espejo d))" by simp also have "… = Nodo x i d" using h1 h2 by simp finally show "?P (Nodo x i d)" by this qed qed ― ‹La demostración declarativa detallada es› lemma fixes a :: "'b arbolB" shows "espejo (espejo a) = a" (is "?P a") proof (induct a) fix x show "?P (Hoja x)" by (simp only: espejo.simps(1)) next fix x fix i assume h1: "?P i" fix d assume h2: "?P d" show "?P (Nodo x i d)" proof - have "espejo (espejo (Nodo x i d)) = espejo (Nodo x (espejo d) (espejo i))" by (simp only: espejo.simps(2)) also have "… = Nodo x (espejo (espejo i)) (espejo (espejo d))" by (simp only: espejo.simps(2)) also have "… = Nodo x i d" using h1 h2 by (simp only:) finally show ?thesis by this qed qed text ‹Comentarios sobre la demostración anterior: · (fixes a :: "'b arbolB") es una abreviatura de "sea a1 un árbol binario cuyos elementos son de tipo b". · (induct a) indica que el método de demostración es por inducción en el árbol binario a. · Se generan dos casos: 1. ⋀a. espejo (espejo (Hoja a)) = Hoja a 2. ⋀a1 a2 a3. ⟦espejo (espejo a2) = a2; espejo (espejo a3) = a3⟧ ⟹ espejo (espejo (Nodo a1 a2 a3)) = Nodo a1 a2 a3› ― ‹La demostración aplicativa es› lemma "espejo (espejo a) = a" apply (induct a) apply simp apply simp done ― ‹La demostración aplicativa detallada es› lemma "espejo (espejo a) = a" apply (induct a) apply (simp only: espejo.simps(1)) apply (simp only: espejo.simps(2)) done ― ‹La demostración automática es› lemma "espejo (espejo a) = a" by (induct a) simp+ ― ‹La demostración automática detallada es› lemma "espejo (espejo a) = a" by (induct a) (simp only: espejo.simps)+ text ‹Ejemplo. [Aplanamiento de árboles] Definir la función "aplana" que aplane los árboles recorriéndolos en orden infijo.› fun aplana :: "'a arbolB ⇒ 'a list" where "aplana (Hoja x) = [x]" | "aplana (Nodo x i d) = aplana i @ [x] @ aplana d" value "aplana (Nodo a (Nodo b (Hoja c) (Hoja d)) (Hoja e)) = [c, b, d, a, e]" text ‹Ejemplo. [Aplanamiento de la imagen especular] Demostrar que aplana (espejo a) = rev (aplana a)› ― ‹La demostración declarativa es› lemma fixes a :: "'b arbolB" shows "aplana (espejo a) = rev (aplana a)" (is "?P a") proof (induct a) fix x show "?P (Hoja x)" by simp next fix x fix i assume h1: "?P i" fix d assume h2: "?P d" show "?P (Nodo x i d)" proof - have "aplana (espejo (Nodo x i d)) = aplana (Nodo x (espejo d) (espejo i))" by simp also have "… = (aplana (espejo d)) @ [x] @ (aplana (espejo i))" by simp also have "… = (rev (aplana d)) @ [x] @ (rev (aplana i))" using h1 h2 by simp also have "… = rev ((aplana i) @ [x] @ (aplana d))" by simp also have "… = rev (aplana (Nodo x i d))" by simp finally show "?P (Nodo x i d)" by this qed qed ― ‹Lema auxiliar para la demostración declarativa detallada› lemma rev_unit: "rev [x] = [x]" proof - have "rev [x] = rev [] @ [x]" by (simp only: rev.simps(2)) also have "… = [] @ [x]" by (simp only: rev.simps(1)) also have "… = [x]" by (simp only: append.simps(1)) finally show ?thesis by this qed ― ‹La demostración estructurada y detallada es› lemma fixes a :: "'b arbolB" shows "aplana (espejo a) = rev (aplana a)" (is "?P a") proof (induct a) fix x :: 'b have "aplana (espejo (Hoja x)) = aplana (Hoja x)" by (simp only: espejo.simps(1)) also have "… = [x]" by (simp only: aplana.simps(1)) also have "… = rev [x]" by (simp only: rev_unit) also have "… = rev (aplana (Hoja x))" by (simp only: aplana.simps(1)) finally show "?P (Hoja x)" by this next fix x :: 'b fix i assume h1: "?P i" fix d assume h2: "?P d" show "?P (Nodo x i d)" proof - have "aplana (espejo (Nodo x i d)) = aplana (Nodo x (espejo d) (espejo i))" by (simp only: espejo.simps(2)) also have "… = (aplana (espejo d)) @ [x] @ (aplana (espejo i))" by (simp only: aplana.simps(2)) also have "… = (rev (aplana d)) @ [x] @ (rev (aplana i))" by (simp only: h1 h2) also have "… = rev ((aplana i) @ [x] @ (aplana d))" (* find_theorems "rev (_ @ _)" *) by (simp only: rev_append rev_unit append_assoc) also have "… = rev (aplana (Nodo x i d))" by (simp only: aplana.simps(2)) finally show ?thesis by this qed qed ― ‹La demostración aplicativa es› lemma "aplana (espejo a) = rev (aplana a)" apply (induct a) apply simp apply simp done ― ‹La demostración aplicativa detallada es› lemma "aplana (espejo a) = rev (aplana a)" apply (induct a) apply (simp only: espejo.simps(1) aplana.simps(1)) apply (simp only: rev_unit) apply (simp only: espejo.simps(2) aplana.simps(2)) apply (simp only: rev_append) apply (simp only: rev_unit) apply (simp only: append_assoc) done ― ‹La demostración aplicativa detallada compacta es› lemma "aplana (espejo a) = rev (aplana a)" apply (induct a) apply (simp only: espejo.simps(1) aplana.simps(1) rev_unit espejo.simps(2) aplana.simps(2) rev_append append_assoc)+ done ― ‹La demostración aplicativa detallada más compacta es› lemma "aplana (espejo a) = rev (aplana a)" apply (induct a) apply (simp only: espejo.simps aplana.simps rev_unit rev_append append_assoc)+ done ― ‹La demostración automática es› lemma "aplana (espejo a) = rev (aplana a)" by (induct a) simp_all ― ‹La demostración automática detallada es› lemma "aplana (espejo a) = rev (aplana a)" by (induct a) (simp only: espejo.simps aplana.simps rev_unit rev_append append_assoc)+ section ‹Árboles y bosques. Recursión mutua e inducción› text ‹Nota. [Ejemplo de definición de tipos mediante recursión cruzada] · Un árbol de tipo a es una hoja o un nodo de tipo a junto con un bosque de tipo a. · Un bosque de tipo a es el boque vacío o un bosque contruido añadiendo un árbol de tipo a a un bosque de tipo a.› datatype 'a arbol = Nodo "'a" "'a bosque" and 'a bosque = Vacio | ConsB "'a arbol" "'a bosque" text ‹Regla de inducción correspondiente a la recursión cruzada: La regla de inducción sobre árboles y bosques es arbol_bosque.induct: ⟦⋀x b. P2 b ⟹ P1 (Nodo x b); P2 Vacio; ⋀a b. ⟦P1 a; P2 b⟧ ⟹ P2 (ConsB a b)⟧ ⟹ P1 a ∧ P2 b› thm arbol_bosque.induct text ‹Ejemplos de definición por recursión cruzada: · aplana_arbol a) es la lista obtenida aplanando el árbol a. · (aplana_bosque b) es la lista obtenida aplanando el bosque b. · (map_arbol f a) es el árbol obtenido aplicando la función f a todos los nodos del árbol a. · (map_bosque f b) es el bosque obtenido aplicando la función f a todos los nodos del bosque b. › fun aplana_arbol :: "'a arbol ⇒ 'a list" and aplana_bosque :: "'a bosque ⇒ 'a list" where "aplana_arbol (Nodo x b) = x # (aplana_bosque b)" | "aplana_bosque Vacio = []" | "aplana_bosque (ConsB a b) = (aplana_arbol a) @ (aplana_bosque b)" fun map_arbol :: "('a ⇒ 'b) ⇒ 'a arbol ⇒ 'b arbol" and map_bosque :: "('a ⇒ 'b) ⇒ 'a bosque ⇒ 'b bosque" where "map_arbol f (Nodo x b) = Nodo (f x) (map_bosque f b)" | "map_bosque f Vacio = Vacio" | "map_bosque f (ConsB a b) = ConsB (map_arbol f a) (map_bosque f b)" text ‹Ejemplo de demostración por inducción cruzada: Demostrar que: · aplana_arbol (map_arbol f a) = map f (aplana_arbol a) · aplana_bosque (map_bosque f b) = map f (aplana_bosque b)› declare [[names_short]] ― ‹La demostración declarativa es› lemma "aplana_arbol (map_arbol f a) = map f (aplana_arbol a) ∧ aplana_bosque (map_bosque f b) = map f (aplana_bosque b)" proof (induct_tac a and b) fix x b assume HI: "aplana_bosque (map_bosque f b) = map f (aplana_bosque b)" have "aplana_arbol (map_arbol f (Nodo x b)) = aplana_arbol (Nodo (f x) (map_bosque f b))" by simp also have "… = (f x) # (aplana_bosque (map_bosque f b))" by simp also have "… = (f x) # (map f (aplana_bosque b))" using HI by simp also have "… = map f (aplana_arbol (Nodo x b))" by simp finally show "aplana_arbol (map_arbol f (Nodo x b)) = map f (aplana_arbol (Nodo x b))" by this next show "aplana_bosque (map_bosque f Vacio) = map f (aplana_bosque Vacio)" by simp next fix a b assume HI1: "aplana_arbol (map_arbol f a) = map f (aplana_arbol a)" and HI2: "aplana_bosque (map_bosque f b) = map f (aplana_bosque b)" have "aplana_bosque (map_bosque f (ConsB a b)) = aplana_bosque (ConsB (map_arbol f a) (map_bosque f b))" by simp also have "… = aplana_arbol (map_arbol f a) @ aplana_bosque (map_bosque f b)" by simp also have "… = (map f (aplana_arbol a)) @ (map f (aplana_bosque b))" using HI1 HI2 by simp also have "… = map f (aplana_bosque (ConsB a b))" by simp finally show "aplana_bosque (map_bosque f (ConsB a b)) = map f (aplana_bosque (ConsB a b))" by this qed ― ‹La demostración declarativa detallada es› lemma "aplana_arbol (map_arbol f a) = map f (aplana_arbol a) ∧ aplana_bosque (map_bosque f b) = map f (aplana_bosque b)" proof (induct_tac a and b) fix x b assume HI: "aplana_bosque (map_bosque f b) = map f (aplana_bosque b)" have "aplana_arbol (map_arbol f (Nodo x b)) = aplana_arbol (Nodo (f x) (map_bosque f b))" by (simp only: map_arbol.simps(1)) also have "… = (f x) # (aplana_bosque (map_bosque f b))" by (simp only: aplana_arbol.simps(1)) also have "… = (f x) # (map f (aplana_bosque b))" using HI by (simp only:) also have "… = map f (aplana_arbol (Nodo x b))" (* find_theorems "map _ (_ # _)" *) by (simp only: list.map aplana_arbol.simps(1)) finally show "aplana_arbol (map_arbol f (Nodo x b)) = map f (aplana_arbol (Nodo x b))" by this next show "aplana_bosque (map_bosque f Vacio) = map f (aplana_bosque Vacio)" by (simp only: aplana_bosque.simps(1) map_bosque.simps(1) list.map) next fix a b assume HI1: "aplana_arbol (map_arbol f a) = map f (aplana_arbol a)" and HI2: "aplana_bosque (map_bosque f b) = map f (aplana_bosque b)" have "aplana_bosque (map_bosque f (ConsB a b)) = aplana_bosque (ConsB (map_arbol f a) (map_bosque f b))" by (simp only: map_bosque.simps(2)) also have "… = aplana_arbol (map_arbol f a) @ aplana_bosque (map_bosque f b)" by (simp only: aplana_bosque.simps(2)) also have "… = (map f (aplana_arbol a)) @ (map f (aplana_bosque b))" by (simp only: HI1 HI2) also have "… = map f (aplana_arbol a @ aplana_bosque b)" (* find_theorems "map _ (_ @ _)" *) by (simp only: map_append) also have "… = map f (aplana_bosque (ConsB a b))" by (simp only: aplana_bosque.simps(2)) finally show "aplana_bosque (map_bosque f (ConsB a b)) = map f (aplana_bosque (ConsB a b))" by this qed text ‹Comentarios sobre la demostración anterior: · (induct_tac a and b) indica que el método de demostración es por inducción cruzada sobre a y b. · Se generan 3 casos: 1. ⋀a bosque. aplana_bosque (map_bosque bosque h) = map h (aplana_bosque bosque) ⟹ aplana_arbol (map_arbol (arbol.Nodo a bosque) h) = map h (aplana_arbol (arbol.Nodo a bosque)) 2. aplana_bosque (map_bosque Vacio h) = map h (aplana_bosque Vacio) 3. ⋀arbol bosque. ⟦aplana_arbol (map_arbol arbol h) = map h (aplana_arbol arbol); aplana_bosque (map_bosque bosque h) = map h (aplana_bosque bosque)⟧ ⟹ aplana_bosque (map_bosque (ConsB arbol bosque) h) = map h (aplana_bosque (ConsB arbol bosque))› ― ‹La demostración aplicativa es› lemma "aplana_arbol (map_arbol f a) = map f (aplana_arbol a) ∧ aplana_bosque (map_bosque f b) = map f (aplana_bosque b)" apply (induct_tac a and b) apply simp+ done ― ‹La demostración aplicativa detallada es› lemma "aplana_arbol (map_arbol f a) = map f (aplana_arbol a) ∧ aplana_bosque (map_bosque f b) = map f (aplana_bosque b)" apply (induct_tac a and b) apply (simp only: map_arbol.simps aplana_arbol.simps) apply (simp only: list.map(2)) apply (simp only: map_bosque.simps(1) aplana_bosque.simps(1)) apply (simp only: list.map(1)) apply (simp only: map_bosque.simps(2) aplana_bosque.simps(2)) apply (simp only: map_append) done ― ‹La demostración aplicativa detallada compacta es› lemma "aplana_arbol (map_arbol f a) = map f (aplana_arbol a) ∧ aplana_bosque (map_bosque f b) = map f (aplana_bosque b)" apply (induct_tac a and b) apply (simp only: map_arbol.simps aplana_arbol.simps list.map(2) map_bosque.simps(1) aplana_bosque.simps(1) list.map(1) map_bosque.simps(2) aplana_bosque.simps(2) map_append)+ done ― ‹La demostración aplicativa detallada más compacta es› lemma "aplana_arbol (map_arbol f a) = map f (aplana_arbol a) ∧ aplana_bosque (map_bosque f b) = map f (aplana_bosque b)" apply (induct_tac a and b) apply (simp only: map_arbol.simps map_bosque.simps aplana_arbol.simps aplana_bosque.simps list.map map_append)+ done ― ‹La demostración automática es› lemma "aplana_arbol (map_arbol f a) = map f (aplana_arbol a) ∧ aplana_bosque (map_bosque f b) = map f (aplana_bosque b)" by (induct_tac a and b) simp+ ― ‹La demostración automática detallada es› lemma "aplana_arbol (map_arbol f a) = map f (aplana_arbol a) ∧ aplana_bosque (map_bosque f b) = map f (aplana_bosque b)" by (induct_tac a and b) (simp only: map_arbol.simps map_bosque.simps aplana_arbol.simps aplana_bosque.simps list.map map_append)+ end |