DAO: La semana en Calculemus (18 de noviembre de 2022)
Esta semana he publicado en Calculemus las demostraciones con Lean de las siguientes propiedades:
- 1. El producto de dos funciones impares es par
- 2. El producto de una función par por una impar es impar
- 3. Si f es par y g es impar, entonces f ∘ g es par
- 4. Para cualquier conjunto s, s ⊆ s
- 5. Si r ⊆ s y s ⊆ t, entonces r ⊆ t
A continuación se muestran las soluciones.
1. El producto de dos funciones impares es par
La función f de ℝ en ℝ es par si, para todo x, f(-x) = f(x) y es impar si, para todo x, f(-x) -f(x).
Demostrar que el producto de dos funciones impares es par.
Para ello, completar la siguiente teoría de Lean:
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import data.real.basic variables (f g : ℝ → ℝ) def par (f : ℝ → ℝ) : Prop := ∀ x, f x = f (-x) def impar (f : ℝ → ℝ) : Prop := ∀ x, f x = -f (-x) example (hf : impar f) (hg : impar g) : par (f * g) := sorry |
Soluciones con Lean
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import data.real.basic variables (f g : ℝ → ℝ) def par (f : ℝ → ℝ) : Prop := ∀ x, f x = f (-x) def impar (f : ℝ → ℝ) : Prop := ∀ x, f x = -f (-x) -- 1ª demostración -- =============== example (hf : impar f) (hg : impar g) : par (f * g) := begin intro x, have h1 : f x = -f (-x) := hf x, have h2 : g x = -g (-x) := hg x, calc (f * g) x = f x * g x : rfl ... = (-f (-x)) * g x : congr_arg (* g x) h1 ... = (-f (-x)) * (-g (-x)) : congr_arg ((*) (-f (-x))) h2 ... = f (-x) * g (-x) : neg_mul_neg (f (-x)) (g (-x)) ... = (f * g) (-x) : rfl, end -- 2ª demostración -- =============== example (hf : impar f) (hg : impar g) : par (f * g) := begin intro x, calc (f * g) x = f x * g x : rfl ... = -f (-x) * -g (-x) : by rw [hf, hg] ... = f (-x) * g (-x) : by rw neg_mul_neg ... = (f * g) (-x) : rfl end -- 3ª demostración -- =============== example (hf : impar f) (hg : impar g) : par (f * g) := begin intro x, calc (f * g) x = f x * g x : rfl ... = f (-x) * g (-x) : by rw [hf, hg, neg_mul_neg] ... = (f * g) (-x) : rfl end |
Se puede interactuar con la prueba anterior en esta sesión con Lean.
Referencias
- J. Avigad, K. Buzzard, R.Y. Lewis y P. Massot. Mathematics in Lean, p. 29.
2. El producto de una función par por una impar es impar
La función f de ℝ en ℝ es par si, para todo x, f(-x) = f(x) y es impar si, para todo x, f(-x) -f(x).
Demostrar que el producto de una función par por una impar es impar.
Para ello, completar la siguiente teoría de Lean:
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import data.real.basic variables (f g : ℝ → ℝ) def par (f : ℝ → ℝ) : Prop := ∀ x, f x = f (-x) def impar (f : ℝ → ℝ) : Prop := ∀ x, f x = -f (-x) example (hf : par f) (hg : impar g) : impar (f * g) := sorry |
Soluciones con Lean
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import data.real.basic variables (f g : ℝ → ℝ) def par (f : ℝ → ℝ) : Prop := ∀ x, f x = f (-x) def impar (f : ℝ → ℝ) : Prop := ∀ x, f x = -f (-x) -- 1ª demostración -- =============== example (hf : par f) (hg : impar g) : impar (f * g) := begin intro x, have h1 : f x = f (-x) := hf x, have h2 : g x = -g (-x) := hg x, calc (f * g) x = f x * g x : rfl ... = (f (-x)) * g x : congr_arg (* g x) h1 ... = (f (-x)) * (-g (-x)) : congr_arg ((*) (f (-x))) h2 ... = -(f (-x) * g (-x)) : mul_neg (f (-x)) (g (-x)) ... = -(f * g) (-x) : rfl, end -- 2ª demostración -- =============== example (hf : par f) (hg : impar g) : impar (f * g) := begin intro x, calc (f * g) x = f x * g x : rfl ... = f (-x) * -g (-x) : by rw [hf, hg] ... = -(f (-x) * g (-x)) : by rw mul_neg ... = -(f * g) (-x) : rfl end -- 3ª demostración -- =============== example (hf : par f) (hg : impar g) : impar (f * g) := begin intro x, calc (f * g) x = f x * g x : rfl ... = -(f (-x) * g (-x)) : by rw [hf, hg, neg_mul_eq_mul_neg] ... = -((λ x, f x * g x) (-x)) : rfl end |
Se puede interactuar con la prueba anterior en esta sesión con Lean.
Referencias
- J. Avigad, K. Buzzard, R.Y. Lewis y P. Massot. Mathematics in Lean, p. 29.
3. Si f es par y g es impar, entonces f ∘ g es par
La función f de ℝ en ℝ es par si, para todo x, f(-x) = f(x) y es impar si, para todo x, f(-x) -f(x).
Demostrar que si f es par y g es impar, entonces f ∘ g es par.
Para ello, completar la siguiente teoría de Lean:
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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 |
import data.real.basic variables (f g : ℝ → ℝ) def par (f : ℝ → ℝ) : Prop := ∀ x, f x = f (-x) def impar (f : ℝ → ℝ) : Prop := ∀ x, f x = -f (-x) example (hf : par f) (hg : impar g) : par (f ∘ g) := sorry |
Soluciones con Lean
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import data.real.basic variables (f g : ℝ → ℝ) def par (f : ℝ → ℝ) : Prop := ∀ x, f x = f (-x) def impar (f : ℝ → ℝ) : Prop := ∀ x, f x = -f (-x) -- 1ª demostración -- =============== example (hf : par f) (hg : impar g) : par (f ∘ g) := begin intro x, have h1 : f x = f (-x) := hf x, have h2 : g x = -g (-x) := hg x, calc (f ∘ g) x = f (g x) : rfl ... = f (-g (-x)) : congr_arg f (hg x) ... = f (g (-x)) : eq.symm (hf (g (-x))) ... = (f ∘ g) (-x) : rfl end -- 2ª demostración -- =============== example (hf : par f) (hg : impar g) : par (f ∘ g) := begin intro x, calc (f ∘ g) x = f (g x) : rfl ... = f (-g (-x)) : by rw hg ... = f (g (-x)) : by rw ←hf ... = (f ∘ g) (-x) : rfl end |
Se puede interactuar con la prueba anterior en esta sesión con Lean.
Referencias
- J. Avigad, K. Buzzard, R.Y. Lewis y P. Massot. Mathematics in Lean, p. 29.
4. Para cualquier conjunto s, s ⊆ s
Demostrar que, para cualquier conjunto s, s ⊆ s
Para ello, completar la siguiente teoría de Lean:
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import tactic variables {α : Type*} (s : set α) example : s ⊆ s := sorry |
Soluciones con Lean
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import tactic variables {α : Type*} (s : set α) -- 1ª demostración -- =============== example : s ⊆ s := begin assume x, assume xs: x ∈ s, show x ∈ s, by exact xs, end -- 2ª demostración -- =============== example : s ⊆ s := begin intros x xs, exact xs, end -- 3ª demostración -- =============== example : s ⊆ s := λ x (xs : x ∈ s), xs -- 4ª demostración -- =============== example : s ⊆ s := -- by library_search rfl.subset -- 5ª demostración -- =============== example : s ⊆ s := -- by hint by refl |
Se puede interactuar con la prueba anterior en esta sesión con Lean.
Referencias
- J. Avigad, K. Buzzard, R.Y. Lewis y P. Massot. Mathematics in Lean, p. 29.
5. Si r ⊆ s y s ⊆ t, entonces r ⊆ t
Demostrar que si r ⊆ s y s ⊆ t, entonces r ⊆ t.
Para ello, completar la siguiente teoría de Lean:
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import tactic variables {α : Type*} variables r s t : set α example (rs : r ⊆ s) (st : s ⊆ t) : r ⊆ t := sorry |
Soluciones con Lean
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import tactic variables {α : Type*} variables r s t : set α -- 1ª demostración -- =============== example (rs : r ⊆ s) (st : s ⊆ t) : r ⊆ t := begin assume x, assume xr : x ∈ r, have h1 : x ∈ s := rs xr, show x ∈ t, by exact st h1, end -- 2ª demostración -- =============== example (rs : r ⊆ s) (st : s ⊆ t) : r ⊆ t := begin intros x xr, apply st, apply rs, exact xr end -- 3ª demostración -- =============== example (rs : r ⊆ s) (st : s ⊆ t) : r ⊆ t := λ x xr, st (rs xr) -- 4ª demostración -- =============== example (rs : r ⊆ s) (st : s ⊆ t) : r ⊆ t := -- by library_search set.subset.trans rs st -- 5ª demostración -- =============== example (rs : r ⊆ s) (st : s ⊆ t) : r ⊆ t := -- by hint by tauto |
Se puede interactuar con la prueba anterior en esta sesión con Lean.
Referencias
- J. Avigad, K. Buzzard, R.Y. Lewis y P. Massot. Mathematics in Lean, p. 29.