1M2104: Ejercicios con el TAD de los polinomios en Haskell
En la clase de hoy de Informática de 1º del Grado en Matemáticas se han explicado las soluciones de los ejercicios con el TAD de los polinomios presentados en la clase del día 11.
Los ejercicios y sus soluciones son
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-- --------------------------------------------------------------------- -- Introducción -- -- --------------------------------------------------------------------- -- El objetivo de esta relación es ampliar el conjunto de operaciones -- sobre polinomios definidas utilizando las implementaciones del TAD de -- polinomio estudiadas en el tema 21 que se pueden descargar desde -- http://www.cs.us.es/~jalonso/cursos/i1m/codigos/I1M2014.zip -- Además, en algunos ejemplos de usan polinomios con coeficientes -- racionales. En Haskell, el número racional x/y se representa por -- x%y. El TAD de los números racionales está definido en el módulo -- Data.Ratio. -- -- Las transparencias del tema 21 se encuentran en -- http://www.cs.us.es/~jalonso/cursos/i1m-14/temas/tema-21.pdf -- --------------------------------------------------------------------- -- Importación de librerías -- -- --------------------------------------------------------------------- import I1M.PolOperaciones -- Se instala con http://bit.ly/1AKmUQB import Test.QuickCheck import Data.Ratio -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 1. Definir la función -- creaPolDispersa :: (Num a, Eq a) => [a] -> Polinomio a -- tal que (creaPolDispersa xs) es el polinomio cuya representación -- dispersa es xs. Por ejemplo, -- creaPolDispersa [7,0,0,4,0,3] == 7*x^5 + 4*x^2 + 3 -- --------------------------------------------------------------------- creaPolDispersa :: (Num a, Eq a) => [a] -> Polinomio a creaPolDispersa [] = polCero creaPolDispersa (x:xs) = consPol (length xs) x (creaPolDispersa xs) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 2. Definir la función -- creaPolDensa :: (Num a, Eq a) => [(Int,a)] -> Polinomio a -- tal que (creaPolDensa xs) es el polinomio cuya representación -- densa es xs. Por ejemplo, -- creaPolDensa [(5,7),(4,2),(3,0)] == 7*x^5 + 2*x^4 -- --------------------------------------------------------------------- creaPolDensa :: (Num a, Eq a) => [(Int,a)] -> Polinomio a creaPolDensa [] = polCero creaPolDensa ((n,a):ps) = consPol n a (creaPolDensa ps) -- --------------------------------------------------------------------- -- Nota. En el resto de la sucesión se usará en los ejemplos los -- los polinomios que se definen a continuación. -- --------------------------------------------------------------------- pol1, pol2, pol3 :: (Num a, Eq a) => Polinomio a pol1 = creaPolDensa [(5,1),(2,5),(1,4)] pol2 = creaPolDispersa [2,3] pol3 = creaPolDensa [(7,2),(4,5),(2,5)] pol4, pol5, pol6 :: Polinomio Rational pol4 = creaPolDensa [(4,3),(2,5),(0,3)] pol5 = creaPolDensa [(2,6),(1,2)] pol6 = creaPolDensa [(2,8),(1,14),(0,3)] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 3. Definir la función -- densa :: (Num a, Eq a) => Polinomio a -> [(Int,a)] -- tal que (densa p) es la representación densa del polinomio p. Por -- ejemplo, -- pol1 == x^5 + 5*x^2 + 4*x -- densa pol1 == [(5,1),(2,5),(1,4)] -- --------------------------------------------------------------------- densa :: (Num a, Eq a) => Polinomio a -> [(Int,a)] densa p | esPolCero p = [] | otherwise = (grado p, coefLider p) : densa (restoPol p) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 4. Definir la función -- densaAdispersa :: Num a => [(Int,a)] -> [a] -- tal que (densaAdispersa ps) es la representación dispersa del -- polinomio cuya representación densa es ps. Por ejemplo, -- densaAdispersa [(5,1),(2,5),(1,4)] == [1,0,0,5,4,0] -- --------------------------------------------------------------------- densaAdispersa :: Num a => [(Int,a)] -> [a] densaAdispersa [] = [] densaAdispersa [(n,a)] = a : replicate n 0 densaAdispersa ((n,a):(m,b):ps) = a : (replicate (n-m-1) 0) ++ densaAdispersa ((m,b):ps) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 5. Definir la función -- dispersa :: (Num a, Eq a) => Polinomio a -> [a] -- tal que (dispersa p) es la representación dispersa del polinomio -- p. Por ejemplo, -- pol1 == x^5 + 5*x^2 + 4*x -- dispersa pol1 == [1,0,0,5,4,0] -- --------------------------------------------------------------------- dispersa :: (Num a, Eq a) => Polinomio a -> [a] dispersa = densaAdispersa . densa -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 6. Definir la función -- coeficiente :: (Num a, Eq a) => Int -> Polinomio a -> a -- tal que (coeficiente k p) es el coeficiente del término de grado k -- del polinomio p. Por ejemplo, -- pol1 == x^5 + 5*x^2 + 4*x -- coeficiente 2 pol1 == 5 -- coeficiente 3 pol1 == 0 -- --------------------------------------------------------------------- coeficiente :: (Num a, Eq a) => Int -> Polinomio a -> a coeficiente k p | k == n = coefLider p | k > grado (restoPol p) = 0 | otherwise = coeficiente k (restoPol p) where n = grado p -- Otra definición equivalente es coeficiente2 :: (Num a, Eq a) => Int -> Polinomio a -> a coeficiente2 k p = busca k (densa p) where busca k ps = head ([a | (n,a) <- ps, n == k] ++ [0]) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 7. Definir la función -- coeficientes :: (Num a, Eq a) => Polinomio a -> [a] -- tal que (coeficientes p) es la lista de los coeficientes del -- polinomio p. Por ejemplo, -- pol1 == x^5 + 5*x^2 + 4*x -- coeficientes pol1 == [1,0,0,5,4,0] -- --------------------------------------------------------------------- coeficientes :: (Num a, Eq a) => Polinomio a -> [a] coeficientes p = [coeficiente k p | k <-[n,n-1..0]] where n = grado p -- Una definición equivalente es coeficientes2 :: (Num a, Eq a) => Polinomio a -> [a] coeficientes2 = dispersa -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 8. Definir la función -- potencia :: (Num a, Eq a) => Polinomio a -> Int -> Polinomio a -- tal que (potencia p n) es la potencia n-ésima del polinomio p. Por -- ejemplo, -- pol2 == 2*x + 3 -- potencia pol2 2 == 4*x^2 + 12*x + 9 -- potencia pol2 3 == 8*x^3 + 36*x^2 + 54*x + 27 -- --------------------------------------------------------------------- potencia :: (Num a, Eq a) => Polinomio a -> Int -> Polinomio a potencia p 0 = polUnidad potencia p n = multPol p (potencia p (n-1)) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 9. Mejorar la definición de potencia definiendo la función -- potenciaM :: (Num a, Eq a) => Polinomio a -> Int -> Polinomio a -- tal que (potenciaM p n) es la potencia n-ésima del polinomio p, -- utilizando las siguientes propiedades: -- * Si n es par, entonces x^n = (x^2)^(n/2) -- * Si n es impar, entonces x^n = x * (x^2)^((n-1)/2) -- Por ejemplo, -- pol2 == 2*x + 3 -- potenciaM pol2 2 == 4*x^2 + 12*x + 9 -- potenciaM pol2 3 == 8*x^3 + 36*x^2 + 54*x + 27 -- --------------------------------------------------------------------- potenciaM :: (Num a, Eq a) => Polinomio a -> Int -> Polinomio a potenciaM p 0 = polUnidad potenciaM p n | even n = potenciaM (multPol p p) (n `div` 2) | otherwise = multPol p (potenciaM (multPol p p) ((n-1) `div` 2)) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 10. Definir la función -- integral :: (Fractional a, Eq a) => Polinomio a -> Polinomio a -- tal que (integral p) es la integral del polinomio p cuyos coefientes -- son números racionales. Por ejemplo, -- ghci> pol3 -- 2*x^7 + 5*x^4 + 5*x^2 -- ghci> integral pol3 -- 0.25*x^8 + x^5 + 1.6666666666666667*x^3 -- ghci> integral pol3 :: Polinomio Rational -- 1 % 4*x^8 + x^5 + 5 % 3*x^3 -- --------------------------------------------------------------------- integral :: (Fractional a, Eq a) => Polinomio a -> Polinomio a integral p | esPolCero p = polCero | otherwise = consPol (n+1) (b / (fromIntegral (n+1))) (integral r) where n = grado p b = coefLider p r = restoPol p -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 11. Definir la función -- integralDef :: (Fractional t, Eq t) => Polinomio t -> t -> t -> t -- tal que (integralDef p a b) es la integral definida del polinomio p -- cuyos coefientes son números racionales. Por ejemplo, -- ghci> integralDef pol3 0 1 -- 2.916666666666667 -- ghci> integralDef pol3 0 1 :: Rational -- 35 % 12 -- --------------------------------------------------------------------- integralDef :: (Fractional t, Eq t) => Polinomio t -> t -> t -> t integralDef p a b = (valor q b) - (valor q a) where q = integral p -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 12. Definir la función -- multEscalar :: (Num a, Eq a) => a -> Polinomio a -> Polinomio a -- tal que (multEscalar c p) es el polinomio obtenido multiplicando el -- número c por el polinomio p. Por ejemplo, -- pol2 == 2*x + 3 -- multEscalar 4 pol2 == 8*x + 12 -- multEscalar (1%4) pol2 == 1 % 2*x + 3 % 4 -- --------------------------------------------------------------------- multEscalar :: (Num a, Eq a) => a -> Polinomio a -> Polinomio a multEscalar c p | esPolCero p = polCero | otherwise = consPol n (c*b) (multEscalar c r) where n = grado p b = coefLider p r = restoPol p -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 13. Definir la función -- cociente:: (Fractional a, Eq a) => -- Polinomio a -> Polinomio a -> Polinomio a -- tal que (cociente p q) es el cociente de la división de p entre -- q. Por ejemplo, -- pol4 == 3 % 1*x^4 + 5 % 1*x^2 + 3 % 1 -- pol5 == 6 % 1*x^2 + 2 % 1*x -- cociente pol4 pol5 == 1 % 2*x^2 + (-1) % 6*x + 8 % 9 -- --------------------------------------------------------------------- cociente:: (Fractional a, Eq a) => Polinomio a -> Polinomio a -> Polinomio a cociente p q | n2 == 0 = multEscalar (1/a2) p | n1 < n2 = polCero | otherwise = consPol n3 a3 (cociente p3 q) where n1 = grado p a1 = coefLider p n2 = grado q a2 = coefLider q n3 = n1-n2 a3 = a1/a2 p3 = restaPol p (multPorTerm (creaTermino n3 a3) q) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 14. Definir la función -- resto:: (Fractional a, Eq a) => -- Polinomio a -> Polinomio a -> Polinomio a -- tal que (resto p q) es el resto de la división de p entre q. Por -- ejemplo, -- pol4 == 3 % 1*x^4 + 5 % 1*x^2 + 3 % 1 -- pol5 == 6 % 1*x^2 + 2 % 1*x -- resto pol4 pol5 == (-16) % 9*x + 3 % 1 -- --------------------------------------------------------------------- resto :: (Fractional a, Eq a) => Polinomio a -> Polinomio a -> Polinomio a resto p q = restaPol p (multPol (cociente p q) q) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 15. Definir la función -- divisiblePol :: (Fractional a, Eq a) => -- Polinomio a -> Polinomio a -> Bool -- tal que (divisiblePol p q) se verifica si el polinomio p es divisible -- por el polinomio q. Por ejemplo, -- pol6 == 8 % 1*x^2 + 14 % 1*x + 3 % 1 -- pol2 == 2*x + 3 -- pol5 == 6 % 1*x^2 + 2 % 1*x -- divisiblePol pol6 pol2 == True -- divisiblePol pol6 pol5 == False -- --------------------------------------------------------------------- divisiblePol :: (Fractional a, Eq a) => Polinomio a -> Polinomio a -> Bool divisiblePol p q = esPolCero (resto p q) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 16. El método de Horner para calcular el valor de un -- polinomio se basa en representarlo de una forma forma alernativa. Por -- ejemplo, para calcular el valor de -- a*x^5 + b*x^4 + c*x^3 + d*x^2 + e*x + f -- se representa como -- (((((0 * x + a) * x + b) * x + c) * x + d) * x + e) * x + f -- y se evalúa de dentro hacia afuera; es decir, -- v(0) = 0 -- v(1) = v(0)*x+a = 0*x+a = a -- v(2) = v(1)*x+b = a*x+b -- v(3) = v(2)*x+c = (a*x+b)*x+c = a*x^2+b*x+c -- v(4) = v(3)*x+d = (a*x^2+b*x+c)*x+d = a*x^3+b*x^2+c*x+d -- v(5) = v(4)*x+e = (a*x^3+b*x^2+c*x+d)*x+e = a*x^4+b*x^3+c*x^2+d*x+e -- v(6) = v(5)*x+f = (a*x^4+b*x^3+c*x^2+d*x+e)*x+f = a*x^5+b*x^4+c*x^3+d*x^2+e*x+f -- -- Definir la función -- horner :: (Num a, Eq a) => Polinomio a -> a -> a -- tal que (horner p x) es el valor del polinomio p al sustituir su -- variable por el número x. Por ejemplo, -- horner pol1 0 == 0 -- horner pol1 1 == 10 -- horner pol1 1.5 == 24.84375 -- horner pol1 (3%2) == 795 % 32 -- --------------------------------------------------------------------- horner :: (Num a, Eq a) => Polinomio a -> a -> a horner p x = hornerAux (coeficientes p) 0 where hornerAux [] v = v hornerAux (a:as) v = hornerAux as (v*x+a) -- El cálculo de (horner pol1 2) es el siguiente -- horner pol1 2 -- = hornerAux [1,0,0,5,4,0] 0 -- = hornerAux [0,0,5,4,0] ( 0*2+1) = hornerAux [0,0,5,4,0] 1 -- = hornerAux [0,5,4,0] ( 1*2+0) = hornerAux [0,5,4,0] 2 -- = hornerAux [5,4,0] ( 2*2+0) = hornerAux [5,4,0] 4 -- = hornerAux [4,0] ( 4*2+5) = hornerAux [4,0] 13 -- = hornerAux [0] (13*2+4) = hornerAux [0] 30 -- = hornerAux [] (30*2+0) = hornerAux [] 60 -- Una defininición equivalente por plegado es horner2 :: (Num a, Eq a) => Polinomio a -> a -> a horner2 p x = (foldr (\a b -> a + b*x) 0) (coeficientes p) |