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Etiqueta: plotListStyle

Impares en filas del triángulo de Pascal

José A. Alonso, ,

El triángulo de Pascal es un triángulo de números

         1
        1 1
       1 2 1
     1  3 3  1
    1 4  6  4 1
   1 5 10 10 5 1
  ...............

construido de la siguiente forma

  • la primera fila está formada por el número 1;
  • las filas siguientes se construyen sumando los números adyacentes de la fila superior y añadiendo un 1 al principio y al final de la fila.

Definir las funciones

   imparesPascal          :: [[Integer]]
   nImparesPascal         :: [Int]
   grafica_nImparesPascal :: Int -> IO ()

tales que

  • imparesPascal es la lista de los elementos impares en cada una de las filas del triángulo de Pascal. Por ejemplo,
     λ> take 8 imparesPascal
     [[1],[1,1],[1,1],[1,3,3,1],[1,1],[1,5,5,1],[1,15,15,1],[1,7,21,35,35,21,7,1]]
  • nImparesPascal es la lista del número de elementos impares en cada una de las filas del triángulo de Pascal. Por ejemplo,
     λ> take 32 nImparesPascal
     [1,2,2,4,2,4,4,8,2,4,4,8,4,8,8,16,2,4,4,8,4,8,8,16,4,8,8,16,8,16,16,32]
     λ> maximum (take (10^6) nImparesPascal3)
     524288
  • (grafica_nImparesPascal n) dibuja la gráfica de los n primeros términos de nImparesPascal. Por ejemplo, (grafica_nImparesPascal 50) dibuja

y (grafica_nImparesPascal 100) dibuja

Comprobar con QuickCheck que todos los elementos de nImparesPascal son potencias de dos.

Soluciones

import Data.List (transpose)
import Test.QuickCheck
import Graphics.Gnuplot.Simple
 
-- 1ª definición de imparesPascal
-- ==============================
 
imparesPascal :: [[Integer]]
imparesPascal =
  map (filter odd) pascal
 
-- pascal es la lista de las filas del triángulo de Pascal. Por ejemplo,
--    λ> take 7 pascal
--    [[1],[1,1],[1,2,1],[1,3,3,1],[1,4,6,4,1],[1,5,10,10,5,1],[1,6,15,20,15,6,1]]
pascal :: [[Integer]]
pascal = [1] : map f pascal
  where f xs = zipWith (+) (0:xs) (xs++[0])
 
-- 2ª definición de imparesPascal
-- ==============================
 
imparesPascal2 :: [[Integer]]
imparesPascal2 =
  map (filter odd) pascal
 
pascal2 :: [[Integer]]
pascal2 = iterate f [1]
  where f xs = zipWith (+) (0:xs) (xs++[0])
 
-- 1ª definición de nImparesPascal
-- ===============================
 
nImparesPascal :: [Int]
nImparesPascal =
  map length imparesPascal
 
-- 2ª definición de nImparesPascal
-- ===============================
 
nImparesPascal2 :: [Int]
nImparesPascal2 =
  map (length . filter odd) imparesPascal
 
-- 3ª definición de nImparesPascal
-- ===============================
 
--    λ> take 32 nImparesPascal2
--    [1,2,
--     2,4,
--     2,4,4,8,
--     2,4,4,8,4,8,8,16,
--     2,4,4,8,4,8,8,16,4,8,8,16,8,16,16,32]
nImparesPascal3 :: [Int]
nImparesPascal3 = 1 : zs
  where zs = 2 : concat (transpose [zs, map (*2) zs])
 
-- Definición de grafica_nImparesPascal
-- =========================================
 
grafica_nImparesPascal :: Int -> IO ()
grafica_nImparesPascal n =
  plotListStyle
    [ Key Nothing
    , PNG ("Impares_en_filas_del_triangulo_de_Pascal_" ++ show n ++ ".png")
    ]
    (defaultStyle {plotType = LinesPoints})
    (take n nImparesPascal3)
 
-- Propiedad de nImparesPascal
-- ===========================
 
-- La propiedad es
prop_nImparesPascal :: Positive Int -> Bool
prop_nImparesPascal (Positive n) =
  esPotenciaDeDos (nImparesPascal3 !! n)
 
-- (esPotenciaDeDos n) se verifica si n es una potencia de dos. Por
-- ejemplo,
--    esPotenciaDeDos 16  ==  True
--    esPotenciaDeDos 18  ==  False
esPotenciaDeDos :: Int -> Bool
esPotenciaDeDos 1 = True
esPotenciaDeDos n = even n && esPotenciaDeDos (n `div` 2)
 
-- La comprobación es
--    λ> quickCheck prop_nImparesPascal
--    +++ OK, passed 100 tests.

Pensamiento

De lo que llaman los hombres
virtud, justicia y bondad,
una mitad es envidia,
y la otra no es caridad.

Antonio Machado

Leer más →

Números con dígitos 1 y 2

José A. Alonso, ,

Definir las funciones

   numerosCon1y2               :: Int -> [Int]
   restosNumerosCon1y2         :: Int -> [Int]
   grafica_restosNumerosCon1y2 :: Int -> IO ()

tales que

  • (numerosCon1y2 n) es la lista ordenada de números de n dígitos que se pueden formar con los dígitos 1 y 2. Por ejemplo,
     numerosCon1y2 2  ==  [11,12,21,22] 
     numerosCon1y2 3  ==  [111,112,121,122,211,212,221,222]
  • (restosNumerosCon1y2 n) es la lista de los restos de dividir los elementos de (restosNumerosCon1y2 n) entre 2^n. Por ejemplo,
     restosNumerosCon1y2 2 == [3,0,1,2]
     restosNumerosCon1y2 3 == [7,0,1,2,3,4,5,6]
     restosNumerosCon1y2 4 == [7,8,1,2,11,12,5,6,15,0,9,10,3,4,13,14]
  • (graficaRestosNumerosCon1y2 n) dibuja la gráfica de los restos de dividir los elementos de (restosNumerosCon1y2 n) entre 2^n. Por ejemplo, (graficaRestosNumerosCon1y2 3) dibuja

(graficaRestosNumerosCon1y2 4) dibuja

y (graficaRestosNumerosCon1y2 5) dibuja

Nota: En la definición usar la función plotListStyle y como su segundo argumento (el PloStyle) usar

     (defaultStyle {plotType = LinesPoints,
                    lineSpec = CustomStyle [PointType 7]})

Comprobar con QuickCheck que todos los elementos de (restosNumerosCon1y2 n) son distintos.

Soluciones

import Test.QuickCheck
import Graphics.Gnuplot.Simple
 
-- Definición de numerosCon1y2
-- ===========================
 
numerosCon1y2 :: Int -> [Int]
numerosCon1y2 = map digitosAnumero . digitos
 
-- (dígitos n) es la lista ordenada de de listas de n elementos que
-- se pueden formar con los dígitos 1 y 2. Por ejemplo,
--    λ> digitos 2
--    [[1,1],[1,2],[2,1],[2,2]]
--    λ> digitos 3
--    [[1,1,1],[1,1,2],[1,2,1],[1,2,2],[2,1,1],[2,1,2],[2,2,1],[2,2,2]]
digitos :: Int -> [[Int]]
digitos 0 = [[]]
digitos n = map (1:) xss ++ map (2:) xss
  where xss = digitos (n-1)
 
-- (digitosAnumero ds) es el número cuyos dígitos son ds. Por ejemplo,
--    digitosAnumero [2,0,1,9]  ==  2019
digitosAnumero :: [Int] -> Int
digitosAnumero = read . concatMap show
 
-- Definición de restosNumerosCon1y2
-- =================================
 
restosNumerosCon1y2 :: Int -> [Int]
restosNumerosCon1y2 n =
  [x `mod` m | x <- numerosCon1y2 n]
  where m = 2^n
 
-- Definición de graficaRestosNumerosCon1y2
-- =========================================
 
graficaRestosNumerosCon1y2 :: Int -> IO ()
graficaRestosNumerosCon1y2 n =
  plotListStyle
    [ Key Nothing
    , PNG ("Numeros_con_digitos_1_y_2_" ++ show n ++ ".png")
    ]
    (defaultStyle {plotType = LinesPoints,
                   lineSpec = CustomStyle [PointType 7]})
    (restosNumerosCon1y2 n)
 
-- Propiedad de restosNumerosCon1y2
-- ================================
 
-- La propiedad
prop_restosNumerosCon1y2 :: Positive Int -> Bool
prop_restosNumerosCon1y2 (Positive n) =
  todosDistintos (restosNumerosCon1y2 n)
  where todosDistintos xs = xs == nub xs
 
-- La comprobación es
--    λ> quickCheckWith (stdArgs {maxSize=12}) prop_restosNumerosCon1y2
--    +++ OK, passed 100 tests.

Pensamiento

¿Para qué llamar caminos
a los surcos del azar? …
Todo el que camina anda,
como Jesús, sobre el mar.

Antonio Machado

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