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Etiqueta: fromList

Comportamiento del último dígito en primos consecutivos

José A. Alonso, ,

El pasado 11 de marzo se ha publicado el artículo Unexpected biases in the distribution of consecutive primes en el que muestra que los números primos repelen a otros primos que terminan en el mismo dígito.

La lista de los últimos dígitos de los 30 primeros números es

   [2,3,5,7,1,3,7,9,3,9,1,7,1,3,7,3,9,1,7,1,3,9,3,9,7,1,3,7,9,3]

Se observa que hay 6 números que su último dígito es un 1 y de sus consecutivos 4 terminan en 3 y 2 terminan en 7.

Definir la función

   distribucionUltimos :: Int -> M.Matrix Integer

tal que (distribucionUltimos n) es la matriz cuyo elemento (i,j) indica cuántos de los n primeros números primos terminan en i y su siguiente número primo termina en j. Por ejemplo,

   λ> distribucionUltimos 30
   ( 0 0 4 0 0 0 2 0 0 )
   ( 0 0 1 0 0 0 0 0 0 )
   ( 0 0 0 0 1 0 4 0 4 )
   ( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 )
   ( 0 0 0 0 0 0 1 0 0 )
   ( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 )
   ( 4 0 1 0 0 0 0 0 2 )
   ( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 )
   ( 2 0 3 0 0 0 1 0 0 )
 
   λ> distribucionUltimos (10^5)
   ( 4104    0 7961    0    0    0 8297    0 4605 )
   (    0    0    1    0    0    0    0    0    0 )
   ( 5596    0 3604    0    1    0 7419    0 8387 )
   (    0    0    0    0    0    0    0    0    0 )
   (    0    0    0    0    0    0    1    0    0 )
   (    0    0    0    0    0    0    0    0    0 )
   ( 6438    0 6928    0    0    0 3627    0 8022 )
   (    0    0    0    0    0    0    0    0    0 )
   ( 8830    0 6513    0    0    0 5671    0 3995 )

Nota: Se observa cómo se “repelen” ya que en las filas del 1, 3, 7 y 9 el menor elemento es el de la diagonal.

Soluciones

import Data.Numbers.Primes
import Data.Array
import qualified Data.Matrix as M
 
-- (ultimo n) es el último dígito de n.    
ultimo :: Integer -> Integer
ultimo n = n `mod` 10
 
-- ultimos es la lista de el último dígito de los primos.
--    λ> take 20 ultimos
--    [2,3,5,7,1,3,7,9,3,9,1,7,1,3,7,3,9,1,7,1]
ultimos :: [Integer]
ultimos = map ultimo primes
 
-- ultimosConsecutivos es la lista de los últimos dígitos de los primos
-- consecutivos. 
--    λ> take 10 ultimosConsecutivos
--    [(2,3),(3,5),(5,7),(7,1),(1,3),(3,7),(7,9),(9,3),(3,9),(9,1)]
ultimosConsecutivos :: [(Integer,Integer)]
ultimosConsecutivos = zip ultimos (tail ultimos)
 
-- (histograma r is) es el vector formado contando cuantas veces
-- aparecen los elementos del rango r en la lista de índices is. Por
-- ejemplo, 
--    ghci> histograma (0,5) [3,1,4,1,5,4,2,7]
--    array (0,5) [(0,0),(1,2),(2,1),(3,1),(4,2),(5,1)]
histograma :: (Ix a, Num b) => (a,a) -> [a] -> Array a b
histograma r is = 
    accumArray (+) 0 r [(i,1) | i <- is, inRange r i]
 
distribucionUltimos :: Int -> M.Matrix Integer
distribucionUltimos n =
    M.fromList 9 9 (elems (histograma ((1,1),(9,9)) (take n ultimosConsecutivos)))

Solución en Maxima

distribucionUltimos (n) := block (
  [r : zeromatrix (9,9),
   xs : ultimos (n),
   i, j],
  unless length (xs) < 2 do
    ( i : first (xs),
      j : second (xs),
      r[i,j] : 1 + r[i,j],
      xs : rest (xs)),
  r)$
 
/* ultimos(n) es la lista del último dígito de los n primeros primos.
      (%i5) ultimos (30);
      (%o5) [2,3,5,7,1,3,7,9,3,9,1,7,1,3,7,3,9,1,7,1,3,9,3,9,7,1,3,7,9,3,7]
*/
ultimos (n) := block ([r:[], p:2],
  for k from 0 thru n do
    ( r : cons (mod (p,10), r),
      p : next_prime (p) ),
  reverse (r))$
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