El producto de Wallis es una expresión, descubierta por John Wallis en 1655, para representar el valor de π y que establece que:
π 2 2 4 4 6 6 8 8
--- = --- · --- · --- · --- · --- · --- · --- · --- ···
2 1 3 3 5 5 7 7 9 |
π 2 2 4 4 6 6 8 8
--- = --- · --- · --- · --- · --- · --- · --- · --- ···
2 1 3 3 5 5 7 7 9
Definir las funciones
factoresWallis :: [Rational]
productosWallis :: [Rational]
aproximacionPi :: Int -> Double
errorPi :: Double -> Int |
factoresWallis :: [Rational]
productosWallis :: [Rational]
aproximacionPi :: Int -> Double
errorPi :: Double -> Int
tales que
- factoresWallis es la sucesión de los factores del productos de Wallis. Por ejemplo,
λ> take 10 factoresWallis
[2 % 1,2 % 3,4 % 3,4 % 5,6 % 5,6 % 7,8 % 7,8 % 9,10 % 9,10 % 11] |
λ> take 10 factoresWallis
[2 % 1,2 % 3,4 % 3,4 % 5,6 % 5,6 % 7,8 % 7,8 % 9,10 % 9,10 % 11]
- productosWallis es la sucesión de los productos de los primeros factores de Wallis. Por ejemplo,
λ> take 7 productosWallis
[2 % 1,4 % 3,16 % 9,64 % 45,128 % 75,256 % 175,2048 % 1225] |
λ> take 7 productosWallis
[2 % 1,4 % 3,16 % 9,64 % 45,128 % 75,256 % 175,2048 % 1225]
- (aproximacionPi n) es la aproximación de pi obtenida multiplicando los n primeros factores de Wallis. Por ejemplo,
aproximacionPi 20 == 3.2137849402931895
aproximacionPi 200 == 3.1493784731686008
aproximacionPi 2000 == 3.142377365093878
aproximacionPi 20000 == 3.141671186534396 |
aproximacionPi 20 == 3.2137849402931895
aproximacionPi 200 == 3.1493784731686008
aproximacionPi 2000 == 3.142377365093878
aproximacionPi 20000 == 3.141671186534396
- (errorPi x) es el menor número de factores de Wallis necesarios para obtener pi con un error menor que x. Por ejemplo,
errorPi 0.1 == 14
errorPi 0.01 == 155
errorPi 0.001 == 1569
errorPi 0.0001 == 15707 |
errorPi 0.1 == 14
errorPi 0.01 == 155
errorPi 0.001 == 1569
errorPi 0.0001 == 15707
Soluciones
import Data.Ratio
factoresWallis :: [Rational]
factoresWallis =
concat [[y%(y-1), y%(y+1)] | x <- [1..], let y = 2*x]
productosWallis :: [Rational]
productosWallis = scanl1 (*) factoresWallis
aproximacionPi :: Int -> Double
aproximacionPi n =
fromRational (2 * productosWallis !! n)
errorPi :: Double -> Int
errorPi x = head [n | n <- [1..]
, abs (pi - aproximacionPi n) < x]
-- 2ª definición de errorPi
errorPi2 :: Double -> Int
errorPi2 x =
length (takeWhile (>=x) [abs (pi - 2 * fromRational y)
| y <- productosWallis])
-- 2ª definición de aproximacionPi
aproximacionPi2 :: Int -> Double
aproximacionPi2 n =
2 * productosWallis2 !! n
productosWallis2 :: [Double]
productosWallis2 = scanl1 (*) factoresWallis2
factoresWallis2 :: [Double]
factoresWallis2 =
concat [[y/(y-1), y/(y+1)] | x <- [1..], let y = 2*x]
-- 3ª definición de errorPi
errorPi3 :: Double -> Int
errorPi3 x = head [n | n <- [1..]
, abs (pi - aproximacionPi2 n) < x]
-- Comparación de eficiencia
-- λ> errorPi 0.001
-- 1569
-- (0.82 secs, 374,495,816 bytes)
--
-- λ> errorPi2 0.001
-- 1569
-- (0.79 secs, 369,282,320 bytes)
--
-- λ> errorPi3 0.001
-- 1569
-- (0.04 secs, 0 bytes) |
import Data.Ratio
factoresWallis :: [Rational]
factoresWallis =
concat [[y%(y-1), y%(y+1)] | x <- [1..], let y = 2*x]
productosWallis :: [Rational]
productosWallis = scanl1 (*) factoresWallis
aproximacionPi :: Int -> Double
aproximacionPi n =
fromRational (2 * productosWallis !! n)
errorPi :: Double -> Int
errorPi x = head [n | n <- [1..]
, abs (pi - aproximacionPi n) < x]
-- 2ª definición de errorPi
errorPi2 :: Double -> Int
errorPi2 x =
length (takeWhile (>=x) [abs (pi - 2 * fromRational y)
| y <- productosWallis])
-- 2ª definición de aproximacionPi
aproximacionPi2 :: Int -> Double
aproximacionPi2 n =
2 * productosWallis2 !! n
productosWallis2 :: [Double]
productosWallis2 = scanl1 (*) factoresWallis2
factoresWallis2 :: [Double]
factoresWallis2 =
concat [[y/(y-1), y/(y+1)] | x <- [1..], let y = 2*x]
-- 3ª definición de errorPi
errorPi3 :: Double -> Int
errorPi3 x = head [n | n <- [1..]
, abs (pi - aproximacionPi2 n) < x]
-- Comparación de eficiencia
-- λ> errorPi 0.001
-- 1569
-- (0.82 secs, 374,495,816 bytes)
--
-- λ> errorPi2 0.001
-- 1569
-- (0.79 secs, 369,282,320 bytes)
--
-- λ> errorPi3 0.001
-- 1569
-- (0.04 secs, 0 bytes)
Otras soluciones
- Se pueden escribir otras soluciones en los comentarios.
- El código se debe escribir entre una línea con <pre lang="haskell"> y otra con </pre>
Pensamiento
«¿Por qué son hermosos los números? Es como preguntar por qué es bella la Novena Sinfonía de Beethoven. Si no ves por qué, alguien no puede decírtelo. Yo sé que los números son hermosos. Si no son hermosos, nada lo es.»
Paul Erdös.
José A. Alonso