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Etiqueta: fromJust

Matriz de mínimas distancias

José A. Alonso, ,

Definir las funciones

   minimasDistancias             :: Matrix Int -> Matrix Int
   sumaMinimaDistanciasIdentidad :: Int -> Int

tales que

  • (mininasDistancias a) es la matriz de las mínimas distancias de cada elemento de a hasta alcanzar un 1 donde un paso es un movimiento hacia la izquierda, derecha, arriba o abajo. Por ejemplo, 
     λ> minimasDistancias (fromLists [[0,1,1],[0,0,1]])
     ( 1 0 0 )
     ( 2 1 0 )
     λ> minimasDistancias (fromLists [[0,0,1],[1,0,0]])
     ( 1 1 0 )
     ( 0 1 1 )
     λ> minimasDistancias (identity 5)
     ( 0 1 2 3 4 )
     ( 1 0 1 2 3 )
     ( 2 1 0 1 2 )
     ( 3 2 1 0 1 )
     ( 4 3 2 1 0 )
  • (sumaMinimaDistanciasIdentidad n) es la suma de los elementos de la matriz de las mínimas distancias correspondiente a la matriz identidad de orden n. Por ejemplo, 
     sumaMinimaDistanciasIdentidad 5       ==  40
     sumaMinimaDistanciasIdentidad (10^2)  ==  333300
     sumaMinimaDistanciasIdentidad (10^4)  ==  333333330000
     sumaMinimaDistanciasIdentidad (10^6)  ==  333333333333000000

Soluciones

import Data.Matrix     
import Data.Maybe      
import Test.QuickCheck 
 
-- 1ª definición de minimasDistancias
-- ==================================
 
minimasDistancias :: Matrix Int -> Matrix Int
minimasDistancias a = 
  matrix (nrows a) (ncols a) (\(i,j) -> minimaDistancia (i,j) a) 
 
minimaDistancia :: (Int,Int) -> Matrix Int -> Int
minimaDistancia (a,b) p =
  minimum [distancia (a,b) (c,d) | (c,d) <- unos p]
 
unos :: Matrix Int -> [(Int,Int)]
unos p = [(i,j) | i <- [1..nrows p]
                , j <- [1..ncols p]
                , p ! (i,j) == 1]
 
distancia :: (Int,Int) -> (Int,Int) -> Int
distancia (a,b) (c,d) = abs (c - a) + abs (d - b)
 
-- 2ª definición de minimasDistancias
-- ==================================
 
minimasDistancias2 :: Matrix Int -> Matrix Int
minimasDistancias2 a = fmap fromJust (aux (matrizInicial a))
  where aux b | Nothing `elem` c = aux c
              | otherwise        = c
          where c = propagacion b
 
-- (matrizInicial a) es la matriz que tiene (Just 0) en los elementos de
-- a iguales a 1 y Nothing en los restantes. Por ejemplo,
--    λ> matrizInicial (fromLists [[0,0,1],[1,0,0]])
--    ( Nothing Nothing  Just 0 )
--    (  Just 0 Nothing Nothing )
matrizInicial :: Matrix Int -> Matrix (Maybe Int)
matrizInicial a = matrix m n f
  where m = nrows a
        n = ncols a
        f (i,j) | a ! (i,j) == 1 = Just 0
                | otherwise      = Nothing
 
-- (propagacion a) es la matriz obtenida cambiando los elementos Nothing
-- de a por el siguiente del mínimo de los valores de sus vecinos. Por
-- ejemplo,
--    λ> propagacion (fromLists [[0,1,1],[0,0,1]])
--    (  Just 1  Just 0  Just 0 )
--    ( Nothing  Just 1  Just 0 )
--    
--    λ> propagacion it
--    ( Just 1 Just 0 Just 0 )
--    ( Just 2 Just 1 Just 0 )
propagacion :: Matrix (Maybe Int) -> Matrix (Maybe Int)
propagacion a = matrix m n f
  where
    m = nrows a
    n = ncols a
    f (i,j) | isJust x  = x
            | otherwise = siguiente (minimo (valoresVecinos a (i,j)))
      where x = a ! (i,j)
 
-- (valoresVecinos a p) es la lista de los valores de los vecinos la
-- posición p en la matriz a. Por ejemplo,             
--    λ> a = fromList 3 4 [1..]
--    λ> a
--    (  1  2  3  4 )
--    (  5  6  7  8 )
--    (  9 10 11 12 )
--    
--    λ> valoresVecinos a (1,1)
--    [5,2]
--    λ> valoresVecinos a (2,3)
--    [3,11,6,8]
--    λ> valoresVecinos a (2,4)
--    [4,12,7]
valoresVecinos :: Matrix a -> (Int,Int) -> [a]
valoresVecinos a (i,j) = [a ! (k,l) | (k,l) <- vecinos m n (i,j)]
  where m = nrows a
        n = ncols a
 
-- (vecinos m n p) es la lista de las posiciones vecinas de la posición
-- p en la matriz a; es decir, los que se encuentran a su izquierda,
-- derecha, arriba o abajo. por ejemplo,
--    vecinos 3 4 (1,1)  ==  [(2,1),(1,2)]
--    vecinos 3 4 (2,3)  ==  [(1,3),(3,3),(2,2),(2,4)]
--    vecinos 3 4 (2,4)  ==  [(1,4),(3,4),(2,3)]
vecinos :: Int -> Int -> (Int,Int) -> [(Int,Int)]
vecinos m n (i,j) = [(i - 1,j)     | i > 1] ++
                    [(i + 1,j)     | i < m] ++
                    [(i,    j - 1) | j > 1] ++
                    [(i,    j + 1) | j < n]
 
-- (minimo xs) es el mínimo de la lista de valores opcionales xs
-- (considerando Nothing como el mayor elemento). Por ejemplo,
--    minimo [Just 3, Nothing, Just 2]  ==  Just 2
minimo :: [Maybe Int] -> Maybe Int
minimo = foldr1 minimo2
 
-- (minimo2 x y) es el mínimo de los valores opcionales x e y
-- (considerando Nothing como el mayor elemento). Por ejemplo,
--    minimo2 (Just 3) (Just 2)  ==  Just 2
--    minimo2 (Just 1) (Just 2)  ==  Just 1
--    minimo2 (Just 1) Nothing   ==  Just 1
--    minimo2 Nothing (Just 2)   ==  Just 2
--    minimo2 Nothing Nothing    ==  Nothing
minimo2 :: Maybe Int -> Maybe Int -> Maybe Int
minimo2 (Just x) (Just y) = Just (min x y)
minimo2 Nothing  (Just y) = Just y
minimo2 (Just x) Nothing  = Just x
minimo2 Nothing  Nothing  = Nothing
 
-- (siguiente x) es el siguiente elemento del opcional x (considerando
-- Nothing como el infinito). Por ejemplo, 
--    siguiente (Just 3)  ==  Just 4
--    siguiente Nothing  ==  Nothing
siguiente :: Maybe Int -> Maybe Int
siguiente (Just x) = Just (1 + x)
siguiente Nothing  = Nothing
 
-- Comparación de eficiencia
-- =========================
 
-- La comparación es
--    λ> maximum (minimasDistancias (identity 40))
--    39
--    (3.85 secs, 654,473,496 bytes)
--    λ> maximum (minimasDistancias2 (identity 40))
--    39
--    (0.50 secs, 75,079,912 bytes)
 
-- 1ª definición de sumaMinimaDistanciasIdentidad
-- ==============================================
 
sumaMinimaDistanciasIdentidad :: Int -> Int
sumaMinimaDistanciasIdentidad n =
  sum (minimasDistancias (identity n))
 
-- 2ª definición de sumaMinimaDistanciasIdentidad
-- ==============================================
 
sumaMinimaDistanciasIdentidad2 :: Int -> Int
sumaMinimaDistanciasIdentidad2 n =
  n*(n^2-1) `div` 3
 
-- Equivalencia de las definiciones de sumaMinimaDistanciasIdentidad
-- =================================================================
 
-- La propiedad es
prop_MinimaDistanciasIdentidad :: Positive Int -> Bool
prop_MinimaDistanciasIdentidad (Positive n) =
  sumaMinimaDistanciasIdentidad n == sumaMinimaDistanciasIdentidad2 n
 
-- La comprobación es
--    λ> quickCheckWith (stdArgs {maxSize=50}) prop_MinimaDistanciasIdentidad
--    +++ OK, passed 100 tests.
 
-- Comparación de eficiencia de sumaMinimaDistanciasIdentidad
-- ==========================================================
 
-- La comparación es
--    λ> sumaMinimaDistanciasIdentidad 50
--    41650
--    (0.24 secs, 149,395,744 bytes)
--    λ> sumaMinimaDistanciasIdentidad 100
--    333300
--    (1.98 secs, 1,294,676,272 bytes)
--    λ> sumaMinimaDistanciasIdentidad 200
--    2666600
--    (17.96 secs, 11,094,515,016 bytes)
--    
--    λ> sumaMinimaDistanciasIdentidad2 50
--    41650
--    (0.00 secs, 126,944 bytes)
--    λ> sumaMinimaDistanciasIdentidad2 100
--    333300
--    (0.00 secs, 126,872 bytes)
--    λ> sumaMinimaDistanciasIdentidad2 200
--    2666600
--    (0.00 secs, 131,240 bytes)
--
-- Resumidamente, el tiempo es
--
--    +-----+---------+--------+
--    |   n | 1ª def. | 2ª def |
--    +-----+---------+--------+
--    |  50 |  0.24   | 0.00   |
--    | 100 |  1.98   | 0.00   |
--    | 200 | 17.96   | 0.00   | 
--    +-----+---------+--------+

Otras soluciones

  • Se pueden escribir otras soluciones en los comentarios.
  • El código se debe escribir entre una línea con <pre lang="haskell"> y otra con </pre>
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Matriz de mínimas distancias

José A. Alonso, ,

Definir las funciones

   minimasDistancias             :: Matrix Int -> Matrix Int
   sumaMinimaDistanciasIdentidad :: Int -> Int

tales que

  • (mininasDistancias a) es la matriz de las mínimas distancias de cada elemento de a hasta alcanzar un 1 donde un paso es un movimiento hacia la izquierda, derecha, arriba o abajo. Por ejemplo, 
     λ> minimasDistancias (fromLists [[0,1,1],[0,0,1]])
     ( 1 0 0 )
     ( 2 1 0 )
     λ> minimasDistancias (fromLists [[0,0,1],[1,0,0]])
     ( 1 1 0 )
     ( 0 1 1 )
     λ> minimasDistancias (identity 5)
     ( 0 1 2 3 4 )
     ( 1 0 1 2 3 )
     ( 2 1 0 1 2 )
     ( 3 2 1 0 1 )
     ( 4 3 2 1 0 )
  • (sumaMinimaDistanciasIdentidad n) es la suma de los elementos de la matriz de las mínimas distancias correspondiente a la matriz identidad de orden n. Por ejemplo, 
     sumaMinimaDistanciasIdentidad 5       ==  40
     sumaMinimaDistanciasIdentidad (10^2)  ==  333300
     sumaMinimaDistanciasIdentidad (10^4)  ==  333333330000
     sumaMinimaDistanciasIdentidad (10^6)  ==  333333333333000000

Soluciones

import Data.Matrix
import Data.Maybe (isJust, fromJust)
import Test.QuickCheck
 
-- Definición de minimasDistancias
-- ===============================
 
minimasDistancias :: Matrix Int -> Matrix Int
minimasDistancias a = fmap fromJust (aux (matrizInicial a))
  where aux b | Nothing `elem` c = aux c
              | otherwise        = c
          where c = propagacion b
 
-- (matrizInicial a) es la matriz que tiene (Just 0) en los elementos de
-- a iguales a 1 y Nothing en los restantes. Por ejemplo,
--    λ> matrizInicial (fromLists [[0,0,1],[1,0,0]])
--    ( Nothing Nothing  Just 0 )
--    (  Just 0 Nothing Nothing )
matrizInicial :: Matrix Int -> Matrix (Maybe Int)
matrizInicial a = matrix m n f
  where m = nrows a
        n = ncols a
        f (i,j) | a ! (i,j) == 1 = Just 0
                | otherwise      = Nothing
 
-- (propagacion a) es la matriz obtenida cambiando los elementos Nothing
-- de a por el sigiente del mínomo de los valores de sus vecinos. Por
-- ejemplo,
--    λ> propagacion (fromLists [[0,1,1],[0,0,1]])
--    (  Just 1  Just 0  Just 0 )
--    ( Nothing  Just 1  Just 0 )
--    
--    λ> propagacion it
--    ( Just 1 Just 0 Just 0 )
--    ( Just 2 Just 1 Just 0 )
propagacion :: Matrix (Maybe Int) -> Matrix (Maybe Int)
propagacion a = matrix m n f
  where
    m = nrows a
    n = ncols a
    f (i,j) | isJust x  = x
            | otherwise = siguiente (minimo (valoresVecinos a (i,j)))
      where x = a ! (i,j)
 
-- (valoresVecinos a p) es la lista de los valores de los vecinos la
-- posición p en la matriz a. Por ejemplo,             
--    λ> a = fromList 3 4 [1..]
--    λ> a
--    (  1  2  3  4 )
--    (  5  6  7  8 )
--    (  9 10 11 12 )
--    
--    λ> valoresVecinos a (1,1)
--    [5,2]
--    λ> valoresVecinos a (2,3)
--    [3,11,6,8]
--    λ> valoresVecinos a (2,4)
--    [4,12,7]
valoresVecinos :: Matrix a -> (Int,Int) -> [a]
valoresVecinos a (i,j) = [a ! (k,l) | (k,l) <- vecinos m n (i,j)]
  where m = nrows a
        n = ncols a
 
-- (vecinos m n p) es la lista de las posiciones vecinas de la posición
-- p en la matriz a; es decir, los que se encuentran a su izquierda,
-- derecha, arriba o abajo. por ejemplo,
--    vecinos 3 4 (1,1)  ==  [(2,1),(1,2)]
--    vecinos 3 4 (2,3)  ==  [(1,3),(3,3),(2,2),(2,4)]
--    vecinos 3 4 (2,4)  ==  [(1,4),(3,4),(2,3)]
vecinos :: Int -> Int -> (Int,Int) -> [(Int,Int)]
vecinos m n (i,j) = [(i - 1,j)     | i > 1] ++
                    [(i + 1,j)     | i < m] ++
                    [(i,    j - 1) | j > 1] ++
                    [(i,    j + 1) | j < n]
 
-- (minimo xs) es el mínimo de la lista de valores opcionales xs
-- (considerando Nothing como el mayor elemento). Por ejemplo,
--    minimo [Just 3, Nothing, Just 2]  ==  Just 2
minimo :: [Maybe Int] -> Maybe Int
minimo = foldr1 minimo2
 
-- (minimo2 x y) es el mínimo de los valores opcionales x e y
-- (considerando Nothing como el mayor elemento). Por ejemplo,
--    minimo2 (Just 3) (Just 2)  ==  Just 2
--    minimo2 (Just 1) (Just 2)  ==  Just 1
--    minimo2 (Just 1) Nothing   ==  Just 1
--    minimo2 Nothing (Just 2)   ==  Just 2
--    minimo2 Nothing Nothing    ==  Nothing
minimo2 :: Maybe Int -> Maybe Int -> Maybe Int
minimo2 (Just x) (Just y) = Just (min x y)
minimo2 Nothing  (Just y) = Just y
minimo2 (Just x) Nothing  = Just x
minimo2 Nothing  Nothing  = Nothing
 
-- (siguiente x) es el siguiente elemento del opcional x (considerando
-- Nothing como el infinito). Por ejemplo, 
--    siguiente (Just 3)  ==  Just 4
--    siguiente Nothing  ==  Nothing
siguiente :: Maybe Int -> Maybe Int
siguiente (Just x) = Just (1 + x)
siguiente Nothing  = Nothing
 
-- 1ª definición de sumaMinimaDistanciasIdentidad
-- ==============================================
 
sumaMinimaDistanciasIdentidad :: Int -> Int
sumaMinimaDistanciasIdentidad n =
  sum (minimasDistancias (identity n))
 
-- 2ª definición de sumaMinimaDistanciasIdentidad
-- ==============================================
 
sumaMinimaDistanciasIdentidad2 :: Int -> Int
sumaMinimaDistanciasIdentidad2 n =
  n*(n^2-1) `div` 3
 
-- Equivalencia de las definiciones de sumaMinimaDistanciasIdentidad
-- =================================================================
 
-- La propiedad es
prop_MinimaDistanciasIdentidad :: Positive Int -> Bool
prop_MinimaDistanciasIdentidad (Positive n) =
  sumaMinimaDistanciasIdentidad n == sumaMinimaDistanciasIdentidad2 n
 
-- La comprobación es
--    λ> quickCheckWith (stdArgs {maxSize=50}) prop_MinimaDistanciasIdentidad
--    +++ OK, passed 100 tests.
 
-- Comparación de eficiencia
-- =========================
 
-- La comparación es
--    λ> sumaMinimaDistanciasIdentidad 50
--    41650
--    (0.24 secs, 149,395,744 bytes)
--    λ> sumaMinimaDistanciasIdentidad 100
--    333300
--    (1.98 secs, 1,294,676,272 bytes)
--    λ> sumaMinimaDistanciasIdentidad 200
--    2666600
--    (17.96 secs, 11,094,515,016 bytes)
--    
--    λ> sumaMinimaDistanciasIdentidad2 50
--    41650
--    (0.00 secs, 126,944 bytes)
--    λ> sumaMinimaDistanciasIdentidad2 100
--    333300
--    (0.00 secs, 126,872 bytes)
--    λ> sumaMinimaDistanciasIdentidad2 200
--    2666600
--    (0.00 secs, 131,240 bytes)
--
-- Resumidamente, el tiempo es
--
--    +-----+---------+--------+
--    |   n | 1ª def. | 2ª def |
--    +-----+---------+--------+
--    |  50 |  0.24   | 0.00   |
--    | 100 |  1.98   | 0.00   |
--    | 200 | 17.96   | 0.00   | 
--    +-----+---------+--------+

Pensamiento

La primavera ha venido.
Nadie sabe como ha sido.

Antonio Machado

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Números taxicab

José A. Alonso, ,

Los números taxicab, taxi-cab o números de Hardy-Ramanujan son aquellos números naturales que pueden expresarse como suma de dos cubos de más de una forma.

Alternativamente, se define al n-ésimo número taxicab como el menor número que es suma de dos cubos de n formas.

Definir las siguientes sucesiones

   taxicab  :: [Integer]
   taxicab2 :: [Integer]

tales que taxicab es la sucesión de estos números según la primera definición y taxicab2 según la segunda. Por ejemplo,

   take 5 taxicab   ==  [1729,4104,13832,20683,32832]
   take 2 taxicab2  ==  [2,1729]

Nota 1. La sucesiones taxicab y taxicab2 se corresponden con las sucesiones A001235 y A011541 de la OEIS.

Nota 2: Este ejercicio ha sido propuesto por Ángel Ruiz Campos.

Soluciones

import Data.List  (find)
import Data.Maybe (fromJust)
 
taxicab :: [Integer]
taxicab = filter ((> 1) . length . descomposiciones) [1..]
 
-- (descomposiciones n) es la lista de pares (x,y) tal que x³ + y³ = n.
-- Por ejemplo,
--    descomposiciones 1729  ==  [(10,9),(12,1)]
--    descomposiciones 1728  ==  [(12,0)]
descomposiciones :: Integer -> [(Integer,Integer)]
descomposiciones n =
  [(x,y) | x <- [1..round (fromIntegral n ** (1/3))],
           let z = n - x^3,
           let z' = round (fromIntegral z ** (1/3)),
           z'^3 == z,
           let y = z',
           y <= x]
 
-- 2ª definición de descomposiciones
descomposiciones2 :: Integer -> [(Integer,Integer)]
descomposiciones2 n =
  [(x,y) | x <- [1..raizEnt n 3],
           let z = n - x^3,
           let y = raizEnt z 3,
           y <= x,    
           y^3 == z]
 
-- (raizEnt x n) es la raíz entera n-ésima de x; es decir, el mayor
-- número entero y tal que y^n <= x. Por ejemplo, 
--    raizEnt  8 3      ==  2
--    raizEnt  9 3      ==  2
--    raizEnt 26 3      ==  2
--    raizEnt 27 3      ==  3
--    raizEnt (10^50) 2 ==  10000000000000000000000000
-- ---------------------------------------------------------------------
 
raizEnt :: Integer -> Integer -> Integer
raizEnt x n = aux (1,x)
  where aux (a,b) | d == x    = c
                  | c == a    = c
                  | d < x     = aux (c,b)
                  | otherwise = aux (a,c) 
          where c = (a+b) `div` 2
                d = c^n
 
taxicab2 :: [Integer]
taxicab2 = aux 1 [2..]
  where aux n xs = fx : aux (n+1) [fx+1..]
          where fx = fromJust (find ((== n) . length . descomposiciones) xs)
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División equitativa

José A. Alonso, ,

Definir la función

   divisionEquitativa :: [Int] -> Maybe ([Int],[Int])

tal que (divisionEquitativa xs) determina si la lista de números enteros positivos xs se puede dividir en dos partes (sin reordenar sus elementos) con la misma suma. Si es posible, su valor es el par formado por las dos partes. Si no lo es, su valor es Nothing. Por ejemplo,

   divisionEquitativa [1,2,3,4,5,15]  ==  Just ([1,2,3,4,5],[15])
   divisionEquitativa [15,1,2,3,4,5]  ==  Just ([15],[1,2,3,4,5])
   divisionEquitativa [1,2,3,4,7,15]  ==  Nothing
   divisionEquitativa [1,2,3,4,15,5]  ==  Nothing

Soluciones

import Data.Maybe (isNothing, fromJust, listToMaybe)
import Data.List  (elemIndex, inits, tails)
 
-- 1ª solución
divisionEquitativa1 :: [Int] -> Maybe ([Int],[Int])
divisionEquitativa1 xs = aux (particiones xs)
 where aux []                              = Nothing
       aux ((as,bs):ys) | sum as == sum bs = Just (as,bs)
                        | otherwise        = aux ys                   
       particiones xs = [splitAt i xs | i <- [1..length xs-1]]
 
-- 2ª solución
divisionEquitativa2 :: [Int] -> Maybe ([Int],[Int])
divisionEquitativa2 xs
  | 2 * b == suma = Just $ splitAt (length as + 1) xs
  | otherwise     = Nothing
  where suma        = sum xs
        (as,(b:bs)) = span (<suma `div` 2) $ scanl1 (+) xs
 
-- 3ª solución
divisionEquitativa3 :: [Int] -> Maybe ([Int],[Int])
divisionEquitativa3 xs
  | odd n       = Nothing
  | isNothing p = Nothing
  | otherwise   = Just (splitAt (1 + fromJust p) xs)
  where n  = sum xs
        ys = scanl1 (+) xs
        p  = elemIndex (n `div` 2) ys
 
-- 4ª solución
divisionEquitativa4 :: [Int] -> Maybe ([Int],[Int])
divisionEquitativa4 xs
  | odd (sum xs) = Nothing
  | otherwise    = aux [] xs
  where aux as bs@(b:bs') | sum as == sum bs = Just (reverse as, bs)
                          | sum as > sum bs  = Nothing
                          | otherwise        = aux (b:as) (bs')
 
-- 5ª solución
divisionEquitativa5 :: [Int] -> Maybe ([Int],[Int])
divisionEquitativa5 xs =
  listToMaybe
    [(ys, zs) | (ys,zs) <- zip (inits xs) (tails xs)
              , sum ys == sum zs ]
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Ordenación según una cadena

José A. Alonso, ,

Dada una lista xs y una cadena cs de la misma longitud, la ordenación de xs según cs consiste en emparejar los elementos de cs con los de xs (de forma que al menor elemento de cs le corresponde el menor de xs, al segundo de cs el segundo de xs, etc.) y ordenar los elementos de xs en el mismo orden que sus correspondientes elementos de cs. Por ejemplo, si xs es [6,4,2] y cs es «CAB» entonces a ‘A’ le corresponde el 2, a ‘B’ el 4 y a ‘C’ el 6; luego la ordenación es [6,2,4].

Definir la función

   ordenacion :: Ord a => [a] -> String -> [a]

tal que (ordenacion xs ys) es la ordenación de la lista xs según la cadena cs. Por ejemplo,

   ordenacion [6,4,2] "CAB"     ==  [6,2,4]
   ordenacion [1,5,3] "ABC"     ==  [1,3,5]
   ordenacion [1,5,3,7] "ABEC"  ==  [1,3,7,5]

Soluciones

import Data.List (sort)
import Data.Maybe (fromJust)
 
ordenacion :: Ord a => [a] -> String -> [a]
ordenacion xs cs =
  [fromJust (lookup y diccionario) | y <- cs]
  where diccionario = zip (sort cs) (sort xs)
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