Menor divisible por todos

Definir la función

tal que (menorDivisible a b) es el menor número divisible por todos los números desde a hasta b, ambos inclusive. Por ejemplo,

Nota: Este ejercicio está basado en el problema 5 del Proyecto Euler

Soluciones

Pensamiento

Será el peor de los malos
bribón que olvide
su vocación de diablo.

Antonio Machado

Número medio

Un número medio es número natural que es igual a la media aritmética de las permutaciones de sus dígitos. Por ejemplo, 370 es un número medio ya que las permutaciones de sus dígitos es 073, 037, 307, 370, 703 y 730 cuya media es 2220/6 que es igual a 370.

Definir las siguientes funciones

tales que

  • (numeroMedio n) se verifica si n es un número medio. Por ejemplo,

  • densidades es la lista cuyo elemento n-ésimo (empezando a contar en 1) es la densidad de números medios en el intervalo [1,n]; es decir, la cantidad de números medios menores o iguales que n dividida por n. Por ejemplo,

  • (graficaDensidadNumeroMedio n) dibuja la gráfica de las densidades de
    los intervalos [1,k] para k desde 1 hasta n. Por ejemplo, (graficaDensidadNumeroMedio 100) dibuja

    y (graficaDensidadNumeroMedio 1000) dibuja

Soluciones

Puedes escribir tus soluciones en los comentarios o ver las soluciones propuestas pulsando [expand title=»aquí»]

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Números compuestos por un conjunto de primos

Los números compuestos por un conjunto de primos son los números cuyos factores primos pertenecen al conjunto. Por ejemplo, los primeros números compuestos por [2,5,7] son

El 28 es compuesto ya que sus divisores primos son 2 y 7 que están en [2,5,7].

Definir la función

tal que (compuesto ps) es la lista de los números compuestos por el conjunto de primos ps. Por ejemplo,

Soluciones

Recorrido del robot

Los puntos de una retícula se representan mediante pares de enteros

y los movimientos de un robot mediante el tipo

donde (N x) significa que se mueve x unidades en la dirección norte y análogamente para las restantes direcciones (S es sur, E es este y O es oeste).

Definir la función

tal que (posicion ms) es la posición final de un robot que inicialmente está en el el punto (0,0) y realiza los movimientos ms. Por ejemplo,

Soluciones

Sucesión de Lichtenberg

La sucesión de Lichtenberg esta formada por la representación decimal de los números binarios de la sucesión de dígitos 0 y 1 alternados Los primeros términos de ambas sucesiones son

Definir las funciones

tales que

  • lichtenberg es la lista cuyos elementos son los términos de la sucesión de Lichtenberg. Por ejemplo,

  • (graficaLichtenberg n) dibuja la gráfica del número de dígitos de los n primeros términos de la sucesión de Lichtenberg. Por ejemlo, (graficaLichtenberg 100) dibuja
    Sucesion_de_Lichtenberg

Comprobar con QuickCheck que todos los términos de la sucesión de Lichtenberg, a partir del 4º, son números compuestos.

Soluciones

De hexadecimal a decimal

El sistema hexadecimal es el sistema de numeración posicional que tiene como base el 16.

En principio, dado que el sistema usual de numeración es de base decimal y, por ello, sólo se dispone de diez dígitos, se adoptó la convención de usar las seis primeras letras del alfabeto latino para suplir los dígitos que nos faltan. El conjunto de símbolos es el siguiente: {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F}. En ocasiones se emplean letras minúsculas en lugar de mayúsculas. Se debe notar que A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14 y F = 15.

Como en cualquier sistema de numeración posicional, el valor numérico de cada dígito es alterado dependiendo de su posición en la cadena de dígitos, quedando multiplicado por una cierta potencia de la base del sistema, que en este caso es 16. Por ejemplo, el valor decimal del número hexadecimal 3E0A es

Definir la función

tal que (hexAdec cs) es el valor decimal del número hexadecimal representado meiante la cadena cs. Por ejemplo,

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Factorial módulo

Definir la función

tal que (factorialMod n x) es el factorial de x módulo n. Por ejemplo,

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Número de viajeros en el autobús

Un autobús inicia su recorrido con 0 viajeros. El número de viajeros que se suben y bajan en cada parada se representa por un par (x,y) donde x es el número de las que suben e y el de las que bajan. Un recorrido del autobús se representa por una lista de pares representando los números de viajeros que suben o bajan en cada parada.

Definir la función

tal que (nViajerosEnBus ps) es el número de viajeros en el autobús tras el recorrido ps. Por ejemplo,

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Notación polaca inversa

La notación polaca inversa (en inglés, Reverse Polish Notation, o RPN), es una forma alternativa de escribir expresiones matemáticas. Por ejemplo, la expresión "20 - (4 + 3) * 2" en RPN es "20 4 3 + 2 * -".

Para evaluar una expresión en RPN, usamos una lista auxiliar (inicialmente vacía) y recorremos la expresión de izquierda a derecha. Cada vez que encontramos un número, lo añadimos a la lista auxiliar. Cuando encontramos un operador, retiramos los dos números que hay al principio de la pila, utilizamos el operador con ellos y los quitamos de la lista y le añadimos el resultado. Cuando alcancemos el final de la expresión, debemos tener un solo número en la lista auxiliar si la expresión estaba bien formada, y éste representa el resultado de la expresión. Por ejemplo, la evaluación de RPN "20 4 3 + 2 * -" es la siguiente

Definir la función

tal que (valor cs) es el valor de la expresión RPN cs. Por ejemplo,

Soluciones

Representación decimal de números racionales

Los números decimales se representan por ternas, donde el primer elemento es la parte entera, el segundo es el anteperíodo y el tercero es el período. Por ejemplo,

Su tipo es

Los números racionales se representan por un par de enteros, donde el primer elemento es el numerador y el segundo el denominador. Por ejemplo, el número 2/3 se representa por (2,3). Su tipo es

Definir las funciones

tales que

  • (decimal r) es la representación decimal del número racional r. Por ejemplo,

  • (racional d) es el número racional cuya representación decimal es d. Por ejemplo,

Con la función decimal se puede calcular los períodos de los números racionales. Por ejemplo,

Comprobar con QuickCheck si las funciones decimal y racional son inversas.

Soluciones

Elemento ausente

Sea xs una lista y n su longitud. Se dice que xs es casi completa si sus elementos son los números enteros entre 0 y n excepto uno. Por ejemplo, la lista [3,0,1] es casi completa.

Definir la función

tal que (ausente xs) es el único entero (entre 0 y la longitud de xs) que no pertenece a la lista casi completa xs. Por ejemplo,

Soluciones

Listas hermanadas

Una lista hermanada es una lista de números estrictamente positivos en la que cada elemento tiene algún factor primo en común con el siguiente, en caso de que exista, o alguno de los dos es un 1. Por ejemplo,

  • [2,6,3,9,1,5] es una lista hermanada pues 2 y 6 tienen un factor en común (2); 6 y 3 tienen un factor en común (3); 3 y 9 tienen un factor en común (3); de 9 y 1 uno es el número 1; y de 1 y 5 uno es el número 1.
  • [2,3,5] no es una lista hermanada pues 2 y 3 no tienen ningún factor primo en común.

Definir la función

tal que (hermanada xs) se verifica si la lista xs es hermanada según la definición anterior. Por ejemplo,

Nota: Este ejercicio es parte del examen del grupo 3 del 2 de diciembre.

Soluciones

Con mínimo común denominador

Los números racionales se pueden representar como pares de enteros:

Definir la función

tal que (reducida xs) es la lista de los números racionales donde cada uno es igual al correspondiente elemento de xs y el denominador de todos los elementos de (reducida xs) es el menor número que cumple dicha condición; es decir, si xs es la lista

entonces (reducida xs) es

tales que

y d es el menor posible. Por ejemplo,

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Desemparejamiento de listas

Definir la función

tal que (desemparejada ps) es el par de lista (xs,ys) tal que al emparejar (con zip) xs e ys devuelve ps. Por ejemplo,

Comprobar con QuickCheck que

  • desemparejada es equivalente a la función predefinida unzip.
  • si el valor de (desemparejada ps) es (xs,ys), entonces (zip xs ys) es igual a ps.

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