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Etiqueta: Álgebra

Polinomios de Bell

Los polinomios de Bell forman una sucesión de polinomios, definida como sigue:

  • B₀(x) = 1 (polinomio unidad)
  • Bₙ(x) = x·[Bₙ(x) + Bₙ'(x)] (donde Bₙ'(x) es la derivada de Bₙ(x))

Por ejemplo,

   B₀(x) = 1                     = 1
   B₁(x) = x·(1+0)               = x     
   B₂(x) = x·(x+1)               = x²+x         
   B₃(x) = x·(x²+x+2x+1)         = x³+3x²+x    
   B₄(x) = x·(x³+3x²+x+3x²+6x+1) = x⁴+6x³+7x²+x

Definir la función

   polBell :: Integer -> Polinomio Integer

tal que (polBell n) es el polinomio de Bell de grado n. Por ejemplo,

   polBell 4                    ==  x^4 + 6*x^3 + 7*x^2 + 1*x
   coeficiente 2 (polBell 4)    ==  7
   coeficiente 2 (polBell 30)   ==  536870911
   coeficiente 1 (polBell 1000) == 1
   length (show (coeficiente 9 (polBell 2000)))  ==  1903

Notas: Se usa la librería I1M.PolOperaciones que se encuentra aquí y se describe aquí. Además, en el último ejemplo se usa la función coeficiente tal que (coeficiente k p) es el coeficiente del término de grado k en el polinomio p definida por

   coeficiente :: Num a => Int -> Polinomio a -> a
   coeficiente k p | k == n                 = coefLider p
                   | k > grado (restoPol p) = 0
                   | otherwise              = coeficiente k (restoPol p)
                   where n = grado p

Clausura de un conjunto respecto de una función

Un conjunto A está cerrado respecto de una función f si para elemento x de A se tiene que f(x) pertenece a A. La clausura de un conjunto B respecto de una función f es el menor conjunto A que contiene a B y es cerrado respecto de f. Por ejemplo, la clausura de {0,1,2] respecto del opuesto es {-2,-1,0,1,2}.

Definir la función

   clausura :: Ord a => (a -> a) -> [a] -> [a]

tal que (clausura f xs) es la clausura de xs respecto de f. Por ejemplo,

   clausura (\x -> -x) [0,1,2]         ==  [-2,-1,0,1,2]
   clausura (\x -> (x+1) `mod` 5) [0]  ==  [0,1,2,3,4]
   length (clausura (\x -> (x+1) `mod` (10^6)) [0]) == 1000000