Sumas parciales de Nicómaco
Nicómaco de Gerasa vivió en Palestina entre los siglos I y II de nuestra era. Escribió Arithmetike eisagoge (Introducción a la aritmética) que es el primer trabajo en donde se trata la Aritmética de forma separada a la Geometría. En el tratado se encuentra la siguiente proposición: «si se escriben los números impares
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1 |
1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, ... |
entonces el primero es el cubo de 1; la suma de los dos siguientes, el cubo de 2; la suma de los tres siguientes, el cubo de 3; y así sucesivamente.»
Definir las siguientes funciones
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listasParciales :: [a] -> [[a]] sumasParciales :: [Int] -> [Int] |
tales que
- (listasParciales xs) es la lista obtenido agrupando los elementos de la lista infinita xs de forma que la primera tiene 0 elementos; la segunda, el primer elemento de xs; la tercera, los dos siguientes; y así sucesivamente. Por ejemplo,
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λ> take 7 (listasParciales [1..]) [[],[1],[2,3],[4,5,6],[7,8,9,10],[11,12,13,14,15],[16,17,18,19,20,21]] λ> take 7 (listasParciales [1,3..]) [[],[1],[3,5],[7,9,11],[13,15,17,19],[21,23,25,27,29],[31,33,35,37,39,41]] |
- (sumasParciales xs) es la lista de las sumas parciales de la lista infinita xs. Por ejemplo,
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λ> take 15 (sumasParciales [1..]) [0,1,5,15,34,65,111,175,260,369,505,671,870,1105,1379] λ> take 15 (sumasParciales [1,3..]) [0,1,8,27,64,125,216,343,512,729,1000,1331,1728,2197,2744] |
Comprobar con QuickChek la propiedad de Nicómaco; es decir, que para todo número natural n, el término n-ésimo de (sumasParciales [1,3..]) es el cubo de n.
Soluciones
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import Test.QuickCheck listasParciales :: [a] -> [[a]] listasParciales = aux 0 where aux n xs = ys : aux (n+1) zs where (ys,zs) = splitAt n xs sumasParciales :: [Int] -> [Int] sumasParciales = map sum . listasParciales prop_Nicomaco :: (Positive Int) -> Bool prop_Nicomaco (Positive n) = sumasParciales [1,3..] !! n == n^3 |
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