Números trimórficos

PorJosé A. Alonso 12-febrero-201819-febrero-2018

Un número trimórfico es un número cuyo cubo termina en dicho número. Por ejemplo, 24 es trimórfico ya que 24^3 = 13824 termina en 24.

Para cada entero positivo n, la densidad de trimórficos hasta n es el cociente entre la cantidad de números trimórficos menores o iguales que n y el número n. Por ejemplo, hasta 10 hay 6 números trimórficos (0, 1, 4, 5, 6 y 9); por tanto, la densidad hasta 10 es 6/10 = 0.6.

Definir las funciones

   trimorficos         :: [Integer]
   densidadTrimorficos :: Integer -> Double

1 2	trimorficos :: [Integer] densidadTrimorficos :: Integer -> Double

tal que

trimorficos es la lista de los números trimórficos. Por ejemplo,

     λ> take 20 trimorficos
     [0,1,4,5,6,9,24,25,49,51,75,76,99,125,249,251,375,376,499,501]

1 2	λ> take 20 trimorficos [0,1,4,5,6,9,24,25,49,51,75,76,99,125,249,251,375,376,499,501]

(densidadTrimorficos n) es la densidad de trimórficos hasta n. Por ejemplo,

     densidadTrimorficos 10      ==  0.6
     densidadTrimorficos 100     ==  0.13
     densidadTrimorficos 1000    ==  2.6e-2
     densidadTrimorficos 10000   ==  3.7e-3
     densidadTrimorficos 100000  ==  4.8e-4

densidadTrimorficos 10 == 0.6

densidadTrimorficos 100 == 0.13

densidadTrimorficos 1000 == 2.6e-2

densidadTrimorficos 10000 == 3.7e-3

densidadTrimorficos 100000 == 4.8e-4

Soluciones

import Data.List (genericLength, isPrefixOf)

trimorficos :: [Integer]
trimorficos = filter esTrimorfico [0..]

-- (esTrimorfico n) se verifica si n es trimórfico. Por ejemplo,
--    esTrimorfico 24  ==  True
esTrimorfico :: Integer -> Bool
esTrimorfico n =
  reverse (show n) `isPrefixOf` reverse (show (n^3)) 

densidadTrimorficos :: Integer -> Double
densidadTrimorficos n =
  genericLength [x | x <- [0..n-1], esTrimorfico x] / fromIntegral n

import Data.List (genericLength, isPrefixOf)

trimorficos :: [Integer]

trimorficos = filter esTrimorfico [0..]

-- (esTrimorfico n) se verifica si n es trimórfico. Por ejemplo,

-- esTrimorfico 24 == True

esTrimorfico :: Integer -> Bool

esTrimorfico n =

reverse (show n) `isPrefixOf` reverse (show (n^3))

densidadTrimorficos :: Integer -> Double

densidadTrimorficos n =

genericLength [x | x <- [0..n-1], esTrimorfico x] / fromIntegral n

11 Comentarios

import Data.List

esTrimorfico :: Integer -> Bool
esTrimorfico x = isSuffixOf (show x) (show (x^3))
 
trimorficos :: [Integer]
trimorficos = [x | x <- [0..], esTrimorfico x]
 
densidadTrimorficos :: Integer -> Double
densidadTrimorficos x = a / fromInteger x
  where a = fromInteger (genericLength (takeWhile (< x) trimorficos))

import Data.List

esTrimorfico :: Integer -> Bool

esTrimorfico x = isSuffixOf (show x) (show (x^3))

trimorficos :: [Integer]

trimorficos = [x | x <- [0..], esTrimorfico x]

densidadTrimorficos :: Integer -> Double

densidadTrimorficos x = a / fromInteger x

where a = fromInteger (genericLength (takeWhile (< x) trimorficos))

Responder

import Data.List
import Data.Char
import Control.Monad
import Test.Hspec

-- λ> trimorficos !! 12
-- 99
trimorficos :: [Integer]
trimorficos = filter esTrimorfico [0..]
 
esTrimorfico :: Integer -> Bool 
esTrimorfico n = show n `isSuffixOf` show (n*n*n)
 
densidadTrimorficos :: Integer -> Double
densidadTrimorficos =
  ap ((/) . fromInteger . cantidadTrimorficos) fromInteger
 
-- λ> cantidadTrimorficos 1000000
-- 26
cantidadTrimorficos :: Integer -> Integer
cantidadTrimorficos n = genericLength [x | x <- [0..n], esTrimorfico x]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- § Verificación                                                     --
-- ---------------------------------------------------------------------

verifica :: IO ()
verifica = hspec $ do
  describe "trimorficos" $ do
    it "e1" $ do 
      take 20 (trimorficos) `shouldBe`
       [0,1,4,5,6,9,24,25,49,51,75,76,99,125,249,251,375,376,499,501]

  describe "densidadTrimorficos" $ do
     it "e1" $ do
      densidadTrimorficos 10 `shouldBe`
        0.6
     it "e2" $ do
      densidadTrimorficos 100 `shouldBe`
        0.13
     it "e3" $ do
       densidadTrimorficos 1000 `shouldBe`
        2.6e-2
     it "e4" $ do
       densidadTrimorficos 10000 `shouldBe`
         3.7e-3
     it "e5" $ do
        densidadTrimorficos 100000 `shouldBe`
         4.8e-4

-- λ> verifica

-- trimorficos
  -- e1
-- densidadTrimorficos
  -- e1
  -- e2
  -- e3
  -- e4
  -- e5

-- Finished in 0.5413 seconds
-- 6 examples, 0 failures
-- (0.78 secs, 269,760 bytes)

import Data.List

import Data.Char

import Control.Monad

import Test.Hspec

-- λ> trimorficos !! 12

-- 99

trimorficos :: [Integer]

trimorficos = filter esTrimorfico [0..]

esTrimorfico :: Integer -> Bool

esTrimorfico n = show n `isSuffixOf` show (n*n*n)

densidadTrimorficos :: Integer -> Double

densidadTrimorficos =

ap ((/) . fromInteger . cantidadTrimorficos) fromInteger

-- λ> cantidadTrimorficos 1000000

-- 26

cantidadTrimorficos :: Integer -> Integer

cantidadTrimorficos n = genericLength [x | x <- [0..n], esTrimorfico x]

-- ---------------------------------------------------------------------

-- § Verificación --

-- ---------------------------------------------------------------------

verifica :: IO ()

verifica = hspec $ do

describe "trimorficos" $ do

it "e1" $ do

take 20 (trimorficos) `shouldBe`

[0,1,4,5,6,9,24,25,49,51,75,76,99,125,249,251,375,376,499,501]

describe "densidadTrimorficos" $ do

it "e1" $ do

densidadTrimorficos 10 `shouldBe`

0.6

it "e2" $ do

densidadTrimorficos 100 `shouldBe`

0.13

it "e3" $ do

densidadTrimorficos 1000 `shouldBe`

2.6e-2

it "e4" $ do

densidadTrimorficos 10000 `shouldBe`

3.7e-3

it "e5" $ do

densidadTrimorficos 100000 `shouldBe`

4.8e-4

-- λ> verifica

-- trimorficos

-- e1

-- densidadTrimorficos

-- e1

-- e2

-- e3

-- e4

-- e5

-- Finished in 0.5413 seconds

-- 6 examples, 0 failures

-- (0.78 secs, 269,760 bytes)

Responder

-- También podemos definir esTrimorfico, de la siguiente forma

esTrimorfico1 :: Integer -> Bool
esTrimorfico1 =  liftM2 isSuffixOf  show (show . (^ 3))

-- Comparación de eficiencia

-- λ> esTrimorfico 501
-- True
-- (0.06 secs, 47,568 bytes)
-- λ> esTrimorfico1 501
-- True
-- (0.04 secs, 50,640 bytes)

-- También podemos definir esTrimorfico, de la siguiente forma

esTrimorfico1 :: Integer -> Bool

esTrimorfico1 = liftM2 isSuffixOf show (show . (^ 3))

-- Comparación de eficiencia

-- λ> esTrimorfico 501

-- True

-- (0.06 secs, 47,568 bytes)

-- λ> esTrimorfico1 501

-- True

-- (0.04 secs, 50,640 bytes)

Responder

antgongar dice:

12-febrero-2018 a las 20:53

También se puede escribir sin argumentos con los operadores aplicativos:

Haskell

esTrimorfico :: Integer -> Bool esTrimorfico = isSuffixOf <$> show <*> (show . (^3))

1
2

esTrimorfico :: Integer -> Bool
esTrimorfico = isSuffixOf <$> show <*> (show . (^3))

El uso de estos operadores se explica en el libro ¡Aprende Haskell por el bien de todos!.

Responder

import Data.List (isSuffixOf, genericLength)

trimorficos :: [Integer]
trimorficos = filter (isSuffixOf . show <*> show . (^3)) [0..]

densidadTrimorficos :: Integer -> Double
densidadTrimorficos n = x / fromIntegral n
  where x = genericLength (takeWhile (< n) trimorficos)

import Data.List (isSuffixOf, genericLength)

trimorficos :: [Integer]

trimorficos = filter (isSuffixOf . show <*> show . (^3)) [0..]

densidadTrimorficos :: Integer -> Double

densidadTrimorficos n = x / fromIntegral n

where x = genericLength (takeWhile (< n) trimorficos)

Responder

import Data.List

trimorficos :: [Integer]
trimorficos =
  0 : 1 : [x | x <- [4..], x^3 `mod` 10^(length (show x)) == x]

densidadTrimorficos :: Integer -> Double
densidadTrimorficos n = x / fromIntegral n
  where x = genericLength (takeWhile (< n) trimorficos)

import Data.List

trimorficos :: [Integer]

trimorficos =

0 : 1 : [x | x <- [4..], x^3 `mod` 10^(length (show x)) == x]

densidadTrimorficos :: Integer -> Double

densidadTrimorficos n = x / fromIntegral n

where x = genericLength (takeWhile (< n) trimorficos)

Responder

Pueden enumerarse eficientemente los trimórficos:

-- puede definirse una multiplicación perezosa en que se obtiene dígito a dígito
mulStep :: Integral a => (a, [a], [(a, a)]) -> (a, a) -> (a, [a], [(a, a)])
mulStep (r, ds, ms) n =
    let ms' = n: ms
        (r', d) = (r + sum (zipWith (*) (fst <$> ms') (snd <$> reverse ms'))) `divMod` 10
    in  (r', d: ds, ms')

-- usando ésta, el cubo perezoso puede obtenese como
cuboStep :: Integral a => a -> ((a, [a], [(a, a)]), (a, [a], [(a, a)])) -> ((a, [a], [(a, a)]), (a, [a], [(a, a)]))
cuboStep n (s1, s2) =
    let s1'@(_, (d:_), _) = mulStep s1 (n, n)
        s2'               = mulStep s2 (n, d)
    in  (s1', s2')

-- y ahora podemos obtener (eficientemente) todos los trimórficos
trimorficos :: [Integer]
trimorficos = 0: (map sol $ filter zero $ rec [((0,[],[]),(0,[],[]))])
    where rec xs = let xs' = concatMap (next xs) [0..9]
                   in  xs' ++ rec xs'
          next xs i = [x | x <- cuboStep i <$> xs, let (_,(_,(d:_),_)) = x, d == i]
          zero (_,(_,(0:_),_)) = False
          zero _ = True
          sol (_,(_,ds,_)) = read $ concatMap show ds

{-

*Main> trimorficos !! 2000
45011970552039185326239496042803106285328198624380944537003185235736096046992680891830197061490109937833490419136188999442576576769103890995893380022607743740081787109375
(0.97 secs, 1,626,434,928 bytes)

-}

-- puede definirse una multiplicación perezosa en que se obtiene dígito a dígito

mulStep :: Integral a => (a, [a], [(a, a)]) -> (a, a) -> (a, [a], [(a, a)])

mulStep (r, ds, ms) n =

let ms' = n: ms

(r', d) = (r + sum (zipWith (*) (fst <$> ms') (snd <$> reverse ms'))) `divMod` 10

in (r', d: ds, ms')

-- usando ésta, el cubo perezoso puede obtenese como

cuboStep :: Integral a => a -> ((a, [a], [(a, a)]), (a, [a], [(a, a)])) -> ((a, [a], [(a, a)]), (a, [a], [(a, a)]))

cuboStep n (s1, s2) =

let s1'@(_, (d:_), _) = mulStep s1 (n, n)

s2' = mulStep s2 (n, d)

in (s1', s2')

-- y ahora podemos obtener (eficientemente) todos los trimórficos

trimorficos :: [Integer]

trimorficos = 0: (map sol $ filter zero $ rec [((0,[],[]),(0,[],[]))])

where rec xs = let xs' = concatMap (next xs) [0..9]

in xs' ++ rec xs'

next xs i = [x | x <- cuboStep i <$> xs, let (_,(_,(d:_),_)) = x, d == i]

zero (_,(_,(0:_),_)) = False

zero _ = True

sol (_,(_,ds,_)) = read $ concatMap show ds

*Main> trimorficos !! 2000

45011970552039185326239496042803106285328198624380944537003185235736096046992680891830197061490109937833490419136188999442576576769103890995893380022607743740081787109375

(0.97 secs, 1,626,434,928 bytes)

Responder

import Data.List 

esTrimorfico :: Integer -> Bool
esTrimorfico = isSuffixOf . show <*> (show . flip (^) 3)
 
trimorficos :: [Integer]
trimorficos = filter esTrimorfico [0..]
 
densidadTrimorficos :: Integer -> Double
densidadTrimorficos =
  (/) . (genericLength . flip takeWhile trimorficos . (>)) <*> fromIntegral

import Data.List

esTrimorfico :: Integer -> Bool

esTrimorfico = isSuffixOf . show <*> (show . flip (^) 3)

trimorficos :: [Integer]

trimorficos = filter esTrimorfico [0..]

densidadTrimorficos :: Integer -> Double

densidadTrimorficos =

(/) . (genericLength . flip takeWhile trimorficos . (>)) <*> fromIntegral

Responder

trimorficos :: [Integer]
trimorficos = filter (trim) [0..]

trim :: Integer -> Bool
trim x = (show x) `isSuffixOf` (show (x^3))
      where a = show x
            b = show (x^3)

densidadTrimorficos :: Integer -> Double
densidadTrimorficos n = fromInteger (n - (genericLength (filter (<=10) trimorficos))) / fromInteger n

--La ultima definición no carga

trimorficos :: [Integer]

trimorficos = filter (trim) [0..]

trim :: Integer -> Bool

trim x = (show x) `isSuffixOf` (show (x^3))

where a = show x

b = show (x^3)

densidadTrimorficos :: Integer -> Double

densidadTrimorficos n = fromInteger (n - (genericLength (filter (<=10) trimorficos))) / fromInteger n

--La ultima definición no carga

Responder

import Data.List
import Data.Function


trimorficos = [0,1] ++(drop 2 (nub [soloRepetidos x | x <- [1..]]))

colas n = (sort (tails (digitosC n) ++ tails (digitosC (n^3))))


soloRepetidos n =
  f (last (sortBy (compare `on`length) ((colas n) \\ nub (colas n))))
    where f = listaNumeroC

digitosC :: Integer -> [Integer]
digitosC n = [read [x] | x <- show n]

listaNumeroC :: [Integer] -> Integer
listaNumeroC xs = sum [y*10^n | (y,n) <- zip (reverse xs) [0..]]




densidadTrimorficos n = a / (fromIntegral n)
  where a = genericLength (takeWhile (<= n) (trimorficos))

import Data.List

import Data.Function

trimorficos = [0,1] ++(drop 2 (nub [soloRepetidos x | x <- [1..]]))

colas n = (sort (tails (digitosC n) ++ tails (digitosC (n^3))))

soloRepetidos n =

f (last (sortBy (compare `on`length) ((colas n) \\ nub (colas n))))

where f = listaNumeroC

digitosC :: Integer -> [Integer]

digitosC n = [read [x] | x <- show n]

listaNumeroC :: [Integer] -> Integer

listaNumeroC xs = sum [y*10^n | (y,n) <- zip (reverse xs) [0..]]

densidadTrimorficos n = a / (fromIntegral n)

where a = genericLength (takeWhile (<= n) (trimorficos))

Responder

import Data.List
import Data.Function


trimorficos = [0,1] ++(drop 2 (nub [soloRepetidos x | x <- [1..]]))

colas n = (sort (tails (digitosC n) ++ tails (digitosC (n^3))))


soloRepetidos n =
  f (last (sortBy (compare `on`length) ((colas n) \\ nub (colas n))))
    where f = listaNumeroC

digitosC :: Integer -> [Integer]
digitosC n = [read [x] | x <- show n]

listaNumeroC :: [Integer] -> Integer
listaNumeroC xs = sum [y*10^n | (y,n) <- zip (reverse xs) [0..]]




densidadTrimorficos n = a / (fromIntegral n)
  where a = genericLength (takeWhile (<= n) (trimorficos))

import Data.List

import Data.Function

trimorficos = [0,1] ++(drop 2 (nub [soloRepetidos x | x <- [1..]]))

colas n = (sort (tails (digitosC n) ++ tails (digitosC (n^3))))

soloRepetidos n =

f (last (sortBy (compare `on`length) ((colas n) \\ nub (colas n))))

where f = listaNumeroC

digitosC :: Integer -> [Integer]

digitosC n = [read [x] | x <- show n]

listaNumeroC :: [Integer] -> Integer

listaNumeroC xs = sum [y*10^n | (y,n) <- zip (reverse xs) [0..]]

densidadTrimorficos n = a / (fromIntegral n)

where a = genericLength (takeWhile (<= n) (trimorficos))

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