Números polidivisibles
Introducción
Un número natural es polidivisible si cumple las siguientes condiciones:
- El número formado por sus dos primeros dígitos es divisible por 2.
- El número formado por sus tres primeros dígitos es divisible por 3.
- El número formado por sus cuatros primeros dígitos es divisible por 4.
- etcétera.
Por ejemplo, el número 345654 es un número polidivisible ya que
- 34 es divisible por 2,
- 345 es divisible por 3,
- 3456 es divisible por 4,
- 34565 es divisible por 5 y
- 345654 es divisible por 6.
pero 123456 no lo es, porque 1234 no es divisible por 4.
Enunciado
Definir las funciones
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polidivisibles :: [Integer] polidivisiblesN :: Integer -> [Integer] |
tales que
- polidivisible es la sucesión cuyos elementos son los números polidivisibles. Por ejemplo,
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ghci> take 20 polidivisibles [1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,12,14,16,18,20,22,24,26,28,30] ghci> take 10 (dropWhile (<=100) polidivisibles) [102,105,108,120,123,126,129,141,144,147] |
- (polidivisiblesN k) es la lista de los números polidivisibles con k dígitos. Por ejemplo,
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ghci> polidivisiblesN 2 [10,12,14,16,18,20,22,24,26,28,30,32,34,36,38,40,42,44,46,48, 50,52,54,56,58,60,62,64,66,68,70,72,74,76,78,80,82,84,86,88, 90,92,94,96,98] |
Comprobar que, para n entre 1 y 5, la cantidad de números polidivisibles de n dígitos es 9*10^(n-1)/n!.
Soluciones
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polidivisibles :: [Integer] polidivisibles = [n | n <- [1..], esPolidivisible n] -- (esPolidivisible n) se verifica si n es polidivisible. Por ejemplo, -- esPolidivisible 345654 == True -- esPolidivisible 123456 == False esPolidivisible :: Integer -> Bool esPolidivisible n = and [(n `div` 10^(m-k)) `mod` k == 0 | k <- [2..m]] where m = fromIntegral (length (show n)) -- (polidivisiblesN n) es la lista de los números polidivisibles de n -- dígitos. Por ejemplo, -- take 6 (polidivisiblesN 3) == [102,105,108,120,123,126] -- take 6 (polidivisiblesN 5) == [10200,10205,10240,10245,10280,10285] polidivisiblesN :: Integer -> [Integer] polidivisiblesN n = takeWhile (<=10^n-1) (dropWhile (<10^(n-1)) polidivisibles) -- (conjetura k) se verifica si la cantidad de números polidivisibles de -- k dígitos es 9*10^(k-1)/k!. conjetura :: Integer -> Bool conjetura k = fromIntegral (length (polidivisiblesN k)) == 9*10^(k-1) `div` factorial k where factorial n = product [1..n] -- La comprobación de la conjetura para k entre 1 y 5 es -- ghci> all conjetura [1..5] -- True |