29-marzo-2018 – Exercitium

Sucesiones de números consecutivos con suma dada

PorJosé A. Alonso 29-marzo-20187-abril-2018

El número 15 se puede escribir de 5 formas como suma de números naturales consecutivos:

   15 = 0+1+2+3+4+5 = 1+2+3+4+5 = 4+5+6 = 7+8 = 15.

1	15 = 0+1+2+3+4+5 = 1+2+3+4+5 = 4+5+6 = 7+8 = 15.

Definir las funciones

   sucesionesConSuma        :: Int -> [(Int,Int)]
   graficaSucesionesConSuma :: Int -> IO ()

1 2	sucesionesConSuma :: Int -> [(Int,Int)] graficaSucesionesConSuma :: Int -> IO ()

tales que

(sucesionesConSuma n) es la lista de los pares formados por el primero y por el último elemento de las sucesiones de números naturales consecutivos con suma n. Por ejemplo,

     sucesionesConSuma 15             ==  [(0,5),(1,5),(4,6),(7,8),(15,15)]
     length (sucesionesConSuma 3000)  ==  8

1 2	sucesionesConSuma 15 == [(0,5),(1,5),(4,6),(7,8),(15,15)] length (sucesionesConSuma 3000) == 8

(graficaSucesionesConSuma n) dibuja la gráfica del número de formas de escribir los n primeros números como suma de números naturales consecutivos. Por ejemplo, (graficaSucesionesConSuma 100) dibuja

Soluciones

import Graphics.Gnuplot.Simple

-- 1ª solución
sucesionesConSuma :: Int -> [(Int,Int)]
sucesionesConSuma n =
  [(x,y) | y <- [0..n], x <- [0..y], sum [x..y] == n]

-- 2ª solución
sucesionesConSuma2 :: Int -> [(Int,Int)]
sucesionesConSuma2 n = 
    [(x,y) | y <- [0..n], x <- [0..y], (x+y)*(y-x+1) == 2*n]

-- Comparación de eficiencia
--    λ> sucesionesConSuma 700
--    [(3,37),(16,40),(84,91),(97,103),(138,142),(700,700)]
--    (2.71 secs, 7,894,718,264 bytes)
--    λ> sucesionesConSuma2 700
--    [(3,37),(16,40),(84,91),(97,103),(138,142),(700,700)]
--    (0.22 secs, 118,104,176 bytes)

-- Gráfica
graficaSucesionesConSuma :: Int -> IO ()
graficaSucesionesConSuma n =
  plotList [ Key Nothing
           , PNG "Sucesiones_de_numeros_consecutivos_con_suma_dada.png"]
           [length (sucesionesConSuma2 k) | k <- [0..n]]

import Graphics.Gnuplot.Simple

-- 1ª solución

sucesionesConSuma :: Int -> [(Int,Int)]

sucesionesConSuma n =

[(x,y) | y <- [0..n], x <- [0..y], sum [x..y] == n]

-- 2ª solución

sucesionesConSuma2 :: Int -> [(Int,Int)]

sucesionesConSuma2 n =

[(x,y) | y <- [0..n], x <- [0..y], (x+y)*(y-x+1) == 2*n]

-- Comparación de eficiencia

-- λ> sucesionesConSuma 700

-- [(3,37),(16,40),(84,91),(97,103),(138,142),(700,700)]

-- (2.71 secs, 7,894,718,264 bytes)

-- λ> sucesionesConSuma2 700

-- [(3,37),(16,40),(84,91),(97,103),(138,142),(700,700)]

-- (0.22 secs, 118,104,176 bytes)

-- Gráfica

graficaSucesionesConSuma :: Int -> IO ()

graficaSucesionesConSuma n =

plotList [ Key Nothing

, PNG "Sucesiones_de_numeros_consecutivos_con_suma_dada.png"]

[length (sucesionesConSuma2 k) | k <- [0..n]]

Día: 29-marzo-2018

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