Límite de sucesiones no decrecientes

En Lean, una sucesión u₀, u₁, u₂, … se puede representar mediante una función (u : ℕ → ℝ) de forma que u(n) es uₙ.

En Lean, se define que a es el límite de la sucesión u, por

y que la sucesión u es no decreciente por

Demostrar que si u es una sucesión no decreciente y su límite es a, entonces u(n) ≤ a para todo n.

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean:

[expand title=»Soluciones con Lean»]

Se puede interactuar con la prueba anterior en esta sesión con Lean.

En los comentarios se pueden escribir otras soluciones, escribiendo el código entre una línea con <pre lang="lean"> y otra con </pre>
[/expand]

[expand title=»Soluciones con Isabelle/HOL»]

En los comentarios se pueden escribir otras soluciones, escribiendo el código entre una línea con <pre lang="isar"> y otra con </pre>
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Las sucesiones divergentes positivas no tienen límites finitos

En Lean, una sucesión u₀, u₁, u₂, … se puede representar mediante una función (u : ℕ → ℝ) de forma que u(n) es uₙ.

Se define que a es el límite de la sucesión u, por

donde se usa la notación |x| para el valor absoluto de x

La sucesión u diverge positivamente cuando, para cada número real A, se puede encontrar un número natural m tal que, para n > m , se tenga u(n) > A. En Lean se puede definir por

Demostrar que si u diverge positivamente, entonces ningún número real es límite de u.

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean:

[expand title=»Soluciones con Lean»]

Se puede interactuar con la prueba anterior en esta sesión con Lean.

En los comentarios se pueden escribir otras soluciones, escribiendo el código entre una línea con <pre lang="lean"> y otra con </pre>
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[expand title=»Soluciones con Isabelle/HOL»]

En los comentarios se pueden escribir otras soluciones, escribiendo el código entre una línea con <pre lang="isar"> y otra con </pre>
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Si a es un punto de acumulación de la sucesión de Cauchy u, entonces a es el límite de u

En Lean, una sucesión u₀, u₁, u₂, … se puede representar mediante una función (u : ℕ → ℝ) de forma que u(n) es uₙ.

Para extraer una subsucesión se aplica una función de extracción queconserva el orden; por ejemplo, la subsucesión

se ha obtenido con la función de extracción φ tal que φ(n) = 2*n.

En Lean, se puede definir que φ es una función de extracción por

que a es un límite de u por

que a es un punto de acumulación de u por

que la sucesión u es de Cauchy por

Demostrar que si u es una sucesión de Cauchy y a es un punto de acumulación de u, entonces a es el límite de u.

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean:

[expand title=»Soluciones con Lean»]

Se puede interactuar con la prueba anterior en esta sesión con Lean.

En los comentarios se pueden escribir otras soluciones, escribiendo el código entre una línea con <pre lang="lean"> y otra con </pre>
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[expand title=»Soluciones con Isabelle/HOL»]

En los comentarios se pueden escribir otras soluciones, escribiendo el código entre una línea con <pre lang="isar"> y otra con </pre>
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El punto de acumulación de las sucesiones convergente es su límite

Para extraer una subsucesión se aplica una función de extracción que conserva el orden; por ejemplo, la subsucesión

se ha obtenido con la función de extracción φ tal que φ(n) = 2*n.

En Lean, se puede definir que φ es una función de extracción por

que a es un límite de u por

que u es convergente por

que a es un punto de acumulación de u por

Demostrar que si u es una sucesión convergente y a es un punto de acumulación de u, entonces a es un límite de u.

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean:

[expand title=»Soluciones con Lean»]

Se puede interactuar con la prueba anterior en esta sesión con Lean.

En los comentarios se pueden escribir otras soluciones, escribiendo el código entre una línea con <pre lang="lean"> y otra con </pre>
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[expand title=»Soluciones con Isabelle/HOL»]

En los comentarios se pueden escribir otras soluciones, escribiendo el código entre una línea con <pre lang="isar"> y otra con </pre>
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Las subsucesiones tienen el mismo límite que la sucesión

Para extraer una subsucesión se aplica una función de extracción que conserva el orden; por ejemplo, la subsucesión

se ha obtenido con la función de extracción φ tal que φ(n) = 2*n.

En Lean, se puede definir que φ es una función de extracción por

que v es una subsucesión de u por

y que a es un límite de u por

Demostrar que las subsucesiones de una sucesión convergente tienen el mismo límite que la sucesión.

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean:

[expand title=»Soluciones con Lean»]

Se puede interactuar con la prueba anterior en esta sesión con Lean.

En los comentarios se pueden escribir otras soluciones, escribiendo el código entre una línea con <pre lang="lean"> y otra con </pre>
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[expand title=»Soluciones con Isabelle/HOL»]

En los comentarios se pueden escribir otras soluciones, escribiendo el código entre una línea con <pre lang="isar"> y otra con </pre>
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El conjunto de las clases de equivalencia es una partición

Demostrar que si R es una relación de equivalencia en X, entonces las clases de equivalencia de R es una partición de X.

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean:

[expand title=»Soluciones con Lean»]

Se puede interactuar con la prueba anterior en esta sesión con Lean.

En los comentarios se pueden escribir otras soluciones, escribiendo el código entre una línea con <pre lang="lean"> y otra con </pre>
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[expand title=»Soluciones con Isabelle/HOL»]

En los comentarios se pueden escribir otras soluciones, escribiendo el código entre una línea con <pre lang="isar"> y otra con </pre>
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Las clases de equivalencia de elementos no relacionados son disjuntas

Demostrar que las clases de equivalencia de elementos no relacionados son disjuntas.

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean:

[expand title=»Soluciones con Lean»]

Se puede interactuar con la prueba anterior en esta sesión con Lean.

En los comentarios se pueden escribir otras soluciones, escribiendo el código entre una línea con <pre lang="lean"> y otra con </pre>
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[expand title=»Soluciones con Isabelle/HOL»]

En los comentarios se pueden escribir otras soluciones, escribiendo el código entre una línea con <pre lang="isar"> y otra con </pre>
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Las clases de equivalencia de elementos relacionados son iguales

Demostrar que las clases de equivalencia de elementos relacionados son iguales.

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean:

[expand title=»Soluciones con Lean»]

Se puede interactuar con la prueba anterior en esta sesión con Lean.

En los comentarios se pueden escribir otras soluciones, escribiendo el código entre una línea con <pre lang="lean"> y otra con </pre>
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En los comentarios se pueden escribir otras soluciones, escribiendo el código entre una línea con <pre lang="isar"> y otra con </pre>
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La composición por la izquierda con una inyectiva es una operación inyectiva

Sean f₁ y f₂ funciones de X en Y y g una función de X en Y. Demostrar que si g es inyectiva y g ∘ f₁ = g ∘ f₂, entonces f₁ = f₂.

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean:

[expand title=»Soluciones con Lean»]

Se puede interactuar con la prueba anterior en esta sesión con Lean.

En los comentarios se pueden escribir otras soluciones, escribiendo el código entre una línea con <pre lang="lean"> y otra con </pre>
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[expand title=»Soluciones con Isabelle/HOL»]

En los comentarios se pueden escribir otras soluciones, escribiendo el código entre una línea con <pre lang="isar"> y otra con </pre>
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