Menu Close

Etiqueta: IH.not_le_imp_less

Límite de sucesiones no decrecientes

José A. Alonso-

En Lean, una sucesión u₀, u₁, u₂, … se puede representar mediante una función (u : ℕ → ℝ) de forma que u(n) es uₙ.

En Lean, se define que a es el límite de la sucesión u, por

   def limite (u: ℕ → ℝ) (a: ℝ) :=
     ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, |u n - a| < ε
<pre lang="text">
donde se usa la notación |x| para el valor absoluto de x
<pre lang="text">
   notation `|`x`|` := abs x

y que la sucesión u es no decreciente por

   def no_decreciente (u : ℕ → ℝ) :=
     ∀ n m, n ≤ m → u n ≤ u m

Demostrar que si u es una sucesión no decreciente y su límite es a, entonces u(n) ≤ a para todo n.

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean:

import data.real.basic
import tactic
 
variable {u : ℕ → ℝ}
variable (a : ℝ)
 
notation `|`x`|` := abs x
 
def limite (u : ℕ → ℝ) (a : ℝ) :=
  ∀ ε > 0, ∃ m, ∀ n ≥ m, |u n - a| < ε
 
def no_decreciente (u : ℕ → ℝ) :=
  ∀ n m, n ≤ m → u n ≤ u m
 
example
  (h : limite u a)
  (h' : no_decreciente u)
  : ∀ n, u n ≤ a :=
sorry
Soluciones con Lean
import data.real.basic
import tactic
 
variable {u : ℕ → ℝ}
variable (a : ℝ)
 
notation `|`x`|` := abs x
 
def limite (u : ℕ → ℝ) (a : ℝ) :=
  ∀ ε > 0, ∃ m, ∀ n ≥ m, |u n - a| < ε
 
def no_decreciente (u : ℕ → ℝ) :=
  ∀ n m, n ≤ m → u n ≤ u m
 
-- 1ª demostración
example
  (h : limite u a)
  (h' : no_decreciente u)
  : ∀ n, u n ≤ a :=
begin
  intro n,
  by_contradiction H,
  push_neg at H,
  replace H : u n - a > 0 := sub_pos.mpr H,
  cases h (u n - a) H with m hm,
  let k := max n m,
  specialize hm k (le_max_right _ _),
  specialize h' n k (le_max_left _ _),
  replace hm : |u k - a| < u k - a, by
    calc |u k - a| < u n - a : hm
               ... ≤ u k - a : sub_le_sub_right h' a,
  rw ← not_le at hm,
  apply hm,
  exact le_abs_self (u k - a),
end
 
-- 2ª demostración
example
  (h : limite u a)
  (h' : no_decreciente u)
  : ∀ n, u n ≤ a :=
begin
  intro n,
  by_contradiction H,
  push_neg at H,
  cases h (u n - a) (by linarith) with m hm,
  specialize hm (max n m) (le_max_right _ _),
  specialize h' n (max n m) (le_max_left _ _),
  rw abs_lt at hm,
  linarith,
end

Se puede interactuar con la prueba anterior en esta sesión con Lean.

En los comentarios se pueden escribir otras soluciones, escribiendo el código entre una línea con <pre lang="lean"> y otra con </pre>

Soluciones con Isabelle/HOL
theory Limite_de_sucesiones_no_decrecientes
imports Main HOL.Real
begin
 
definition limite :: "(nat ⇒ real) ⇒ real ⇒ bool"
  where "limite u a ⟷ (∀ε>0. ∃N. ∀k≥N. ¦u k - a¦ < ε)"
 
definition no_decreciente :: "(nat ⇒ real) ⇒ bool"
  where "no_decreciente u ⟷ (∀ n m. n ≤ m ⟶ u n ≤ u m)"
 
(* 1ª demostración *)
lemma
  assumes "limite u a"
          "no_decreciente u"
  shows   "∀ n. u n ≤ a"
proof (rule allI)
  fix n
  show "u n ≤ a"
  proof (rule ccontr)
    assume "¬ u n ≤ a"
    then have "a < u n"
      by (rule not_le_imp_less)
    then have H : "u n - a > 0"
      by (simp only: diff_gt_0_iff_gt)
    then obtain m where hm : "∀p≥m. ¦u p - a¦ < u n - a"
      using assms(1) limite_def by blast
    let ?k = "max n m"
    have "n ≤ ?k"
      by (simp only: assms(2) no_decreciente_def)
    then have "u n ≤ u ?k"
      using assms(2) no_decreciente_def by blast
    have "¦u ?k - a¦ < u n - a"
      by (simp only: hm)
    also have "… ≤ u ?k - a"
      using ‹u n ≤ u ?k› by (rule diff_right_mono)
    finally have "¦u ?k - a¦ < u ?k - a"
      by this
    then have "¬ u ?k - a ≤ ¦u ?k - a¦"
      by (simp only: not_le_imp_less)
    moreover have "u ?k - a ≤ ¦u ?k - a¦"
      by (rule abs_ge_self)
    ultimately show False
      by (rule notE)
  qed
qed
 
(* 2ª demostración *)
lemma
  assumes "limite u a"
          "no_decreciente u"
  shows   "∀ n. u n ≤ a"
proof (rule allI)
  fix n
  show "u n ≤ a"
  proof (rule ccontr)
    assume "¬ u n ≤ a"
    then have H : "u n - a > 0"
      by simp
    then obtain m where hm : "∀p≥m. ¦u p - a¦ < u n - a"
      using assms(1) limite_def by blast
    let ?k = "max n m"
    have "¦u ?k - a¦ < u n - a"
      using hm by simp
    moreover have "u n ≤ u ?k"
      using assms(2) no_decreciente_def by simp
    ultimately have "¦u ?k - a¦ < u ?k - a"
      by simp
    then show False
      by simp
  qed
qed
 
(* 3ª demostración *)
lemma
  assumes "limite u a"
          "no_decreciente u"
  shows   "∀ n. u n ≤ a"
proof
  fix n
  show "u n ≤ a"
  proof (rule ccontr)
    assume "¬ u n ≤ a"
    then obtain m where hm : "∀p≥m. ¦u p - a¦ < u n - a"
      using assms(1) limite_def by fastforce
    let ?k = "max n m"
    have "¦u ?k - a¦ < u n - a"
      using hm by simp
    moreover have "u n ≤ u ?k"
      using assms(2) no_decreciente_def by simp
    ultimately show False
      by simp
  qed
qed
 
end

En los comentarios se pueden escribir otras soluciones, escribiendo el código entre una línea con <pre lang="isar"> y otra con </pre>

Soluciones →