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Etiqueta: IH.max.cobounded2

Las sucesiones divergentes positivas no tienen límites finitos

José A. Alonso-

En Lean, una sucesión u₀, u₁, u₂, … se puede representar mediante una función (u : ℕ → ℝ) de forma que u(n) es uₙ.

Se define que a es el límite de la sucesión u, por

   def limite (u: ℕ → ℝ) (a: ℝ) :=
     ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, |u n - a| < ε

donde se usa la notación |x| para el valor absoluto de x

   notation `|`x`|` := abs x

La sucesión u diverge positivamente cuando, para cada número real A, se puede encontrar un número natural m tal que, para n > m , se tenga u(n) > A. En Lean se puede definir por

   def diverge_positivamente (u : ℕ → ℝ) :=
     ∀ A, ∃ m, ∀ n ≥ m, u n > A

Demostrar que si u diverge positivamente, entonces ningún número real es límite de u.

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean:

import data.real.basic
import tactic
 
variable  {u : ℕ → ℝ}
 
notation `|`x`|` := abs x
 
def limite (u : ℕ → ℝ) (a : ℝ) :=
  ∀ ε > 0, ∃ m, ∀ n ≥ m, |u n - a| < ε
 
def diverge_positivamente (u : ℕ → ℝ) :=
  ∀ A, ∃ m, ∀ n ≥ m, u n > A
 
example
  (h : diverge_positivamente u)
  : ¬(∃ a, limite u a) :=
sorry
Soluciones con Lean
import data.real.basic
import tactic
 
variable  {u : ℕ → ℝ}
 
notation `|`x`|` := abs x
 
def limite (u : ℕ → ℝ) (a : ℝ) :=
  ∀ ε > 0, ∃ m, ∀ n ≥ m, |u n - a| < ε
 
def diverge_positivamente (u : ℕ → ℝ) :=
  ∀ A, ∃ m, ∀ n ≥ m, u n > A
 
-- 1ª demostración
example
  (h : diverge_positivamente u)
  : ¬(∃ a, limite u a) :=
begin
  push_neg,
  intros a ha,
  cases ha 1 zero_lt_one with m1 hm1,
  cases h (a+1) with m2 hm2,
  let m := max m1 m2,
  specialize hm1 m (le_max_left _ _),
  specialize hm2 m (le_max_right _ _),
  replace hm1 : u m - a < 1 := lt_of_abs_lt hm1,
  replace hm2 : 1 < u m - a := lt_sub_iff_add_lt'.mpr hm2,
  apply lt_irrefl (u m),
  calc u m < a + 1 : sub_lt_iff_lt_add'.mp hm1
       ... < u m   : lt_sub_iff_add_lt'.mp hm2,
end
 
-- 2ª demostración
example
  (h : diverge_positivamente u)
  : ¬(∃ a, limite u a) :=
begin
  push_neg,
  intros a ha,
  cases ha 1 (by linarith) with m1 hm1,
  cases h (a+1) with m2 hm2,
  let m := max m1 m2,
  replace hm1 : |u m - a| < 1 := by finish,
  replace hm1 : u m - a < 1   := lt_of_abs_lt hm1,
  replace hm2 : u m > a + 1   := by finish,
  replace hm2 : 1 < u m - a   := lt_sub_iff_add_lt'.mpr hm2,
  apply lt_irrefl (u m),
  calc u m < a + 1 : by linarith
       ... < u m   : by linarith
end
 
-- 3ª demostración
example
  (h : diverge_positivamente u)
  : ¬(∃ a, limite u a) :=
begin
  push_neg,
  intros a ha,
  cases ha 1 (by linarith) with m1 hm1,
  cases h (a+1) with m2 hm2,
  let m := max m1 m2,
  specialize hm1 m (le_max_left _ _),
  specialize hm2 m (le_max_right _ _),
  rw abs_lt at hm1,
  linarith,
end

Se puede interactuar con la prueba anterior en esta sesión con Lean.

En los comentarios se pueden escribir otras soluciones, escribiendo el código entre una línea con <pre lang="lean"> y otra con </pre>

Soluciones con Isabelle/HOL
theory Las_sucesiones_divergentes_positivas_no_tienen_limites_finitos
imports Main HOL.Real
begin
 
definition limite :: "(nat ⇒ real) ⇒ real ⇒ bool"
  where "limite u a ⟷ (∀ε>0. ∃N. ∀k≥N. ¦u k - a¦ < ε)"
 
definition diverge_positivamente :: "(nat ⇒ real) ⇒ bool"
  where "diverge_positivamente u ⟷ (∀A. ∃m. ∀n≥m. u n > A)"
 
(* 1ª demostración *)
lemma
  assumes "diverge_positivamente u"
  shows   "∄a. limite u a"
proof (rule notI)
  assume "∃a. limite u a"
  then obtain a where "limite u a" try
    by auto
  then obtain m1 where hm1 : "∀n≥m1. ¦u n - a¦ < 1"
    using limite_def by fastforce
  obtain m2 where hm2 : "∀n≥m2. u n > a + 1"
    using assms diverge_positivamente_def by blast
  let ?m = "max m1 m2"
  have "u ?m < u ?m" using hm1 hm2
  proof -
    have "?m ≥ m1"
      by (rule max.cobounded1)
    have "?m ≥ m2"
      by (rule max.cobounded2)
    have "u ?m - a < 1"
      using hm1 ‹?m ≥ m1› by fastforce
    moreover have "u ?m > a + 1"
      using hm2 ‹?m ≥ m2› by simp
    ultimately show "u ?m < u ?m"
      by simp
  qed
  then show False
    by auto
qed
 
(* 2ª demostración *)
lemma
  assumes "diverge_positivamente u"
  shows   "∄a. limite u a"
proof (rule notI)
  assume "∃a. limite u a"
  then obtain a where "limite u a" try
    by auto
  then obtain m1 where hm1 : "∀n≥m1. ¦u n - a¦ < 1"
    using limite_def by fastforce
  obtain m2 where hm2 : "∀n≥m2. u n > a + 1"
    using assms diverge_positivamente_def by blast
  let ?m = "max m1 m2"
  have "1 < 1"
  proof -
    have "1 < u ?m - a"
      using hm2
      by (metis add.commute less_diff_eq max.cobounded2)
    also have "… < 1"
      using hm1
      by (metis abs_less_iff max_def order_refl)
    finally show "1 < 1" .
  qed
  then show False
    by auto
qed
 
end

En los comentarios se pueden escribir otras soluciones, escribiendo el código entre una línea con <pre lang="isar"> y otra con </pre>

Soluciones →

Si a es un punto de acumulación de la sucesión de Cauchy u, entonces a es el límite de u

José A. Alonso-

En Lean, una sucesión u₀, u₁, u₂, … se puede representar mediante una función (u : ℕ → ℝ) de forma que u(n) es uₙ.

Para extraer una subsucesión se aplica una función de extracción queconserva el orden; por ejemplo, la subsucesión

   uₒ, u₂, u₄, u₆, ...

se ha obtenido con la función de extracción φ tal que φ(n) = 2*n.

En Lean, se puede definir que φ es una función de extracción por

   def extraccion (φ : ℕ → ℕ) :=
     ∀ n m, n < m → φ n < φ m

que a es un límite de u por

   def limite (u : ℕ → ℝ) (a : ℝ) :=
     ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ k ≥ N, |u k - a| < ε

que a es un punto de acumulación de u por

   def punto_acumulacion (u : ℕ → ℝ) (a : ℝ) :=
     ∃ φ, extraccion φ ∧ limite (u ∘ φ) a

que la sucesión u es de Cauchy por

   def suc_cauchy (u : ℕ → ℝ) :=
     ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ p ≥ N, ∀ q ≥ N, |u p - u q| < ε

Demostrar que si u es una sucesión de Cauchy y a es un punto de acumulación de u, entonces a es el límite de u.

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean:

import data.real.basic
open nat
 
variable  {u : ℕ → ℝ}
variables {a : ℝ}
variable  {φ : ℕ → ℕ}
 
notation `|`x`|` := abs x
 
def extraccion (φ : ℕ → ℕ) :=
  ∀ n m, n < m → φ n < φ m
 
def limite (u : ℕ → ℝ) (l : ℝ) : Prop :=
  ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, |u n - l| < ε
 
def punto_acumulacion (u : ℕ → ℝ) (a : ℝ) :=
  ∃ φ, extraccion φ ∧ limite (u ∘ φ) a
 
def suc_cauchy (u : ℕ → ℝ) :=
  ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ p ≥ N, ∀ q ≥ N, |u p - u q| < ε
 
example
  (hu : suc_cauchy u)
  (ha : punto_acumulacion u a)
  : limite u a :=
sorry
Soluciones con Lean
import data.real.basic
open nat
 
variable  {u : ℕ → ℝ}
variables {a : ℝ}
variable  {φ : ℕ → ℕ}
 
notation `|`x`|` := abs x
 
def extraccion (φ : ℕ → ℕ) :=
  ∀ n m, n < m → φ n < φ m
 
def limite (u : ℕ → ℝ) (l : ℝ) : Prop :=
  ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, |u n - l| < ε
 
def punto_acumulacion (u : ℕ → ℝ) (a : ℝ) :=
  ∃ φ, extraccion φ ∧ limite (u ∘ φ) a
 
def suc_cauchy (u : ℕ → ℝ) :=
  ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ p ≥ N, ∀ q ≥ N, |u p - u q| < ε
 
lemma aux1
  (h : extraccion φ)
  : ∀ n, n ≤ φ n :=
begin
  intro n,
  induction n with m HI,
  { exact nat.zero_le (φ 0), },
  { apply nat.succ_le_of_lt,
    calc m ≤ φ m        : HI
       ... < φ (succ m) : h m (m+1) (lt_add_one m), },
end
 
lemma aux2
  (h : extraccion φ)
  : ∀ N N', ∃ n ≥ N', φ n ≥ N :=
λ N N', ⟨max N N', ⟨le_max_right N N',
                    le_trans (le_max_left N N')
                             (aux1 h (max N N'))⟩⟩
 
lemma cerca_acumulacion
  (h : punto_acumulacion u a)
  : ∀ ε > 0, ∀ N, ∃ n ≥ N, |u n - a| < ε :=
begin
  intros ε hε N,
  rcases h with ⟨φ, hφ1, hφ2⟩,
  cases hφ2 ε hε with N' hN',
  rcases aux2 hφ1 N N' with ⟨m, hm, hm'⟩,
  exact ⟨φ m, hm', hN' _ hm⟩,
end
 
-- 1ª demostración
example
  (hu : suc_cauchy u)
  (ha : punto_acumulacion u a)
  : limite u a :=
begin
  unfold limite,
  intros ε hε,
  unfold suc_cauchy at hu,
  cases hu (ε/2) (half_pos hε) with N hN,
  use N,
  have ha' : ∃ N' ≥ N, |u N' - a| < ε/2,
    apply cerca_acumulacion ha (ε/2) (half_pos hε),
  cases ha' with N' h,
  cases h with hNN' hN',
  intros n hn,
  calc   |u n - a|
       = |(u n - u N') + (u N' - a)| : by ring_nf
   ... ≤ |u n - u N'| + |u N' - a|   : abs_add (u n - u N') (u N' - a)
   ... < ε/2 + |u N' - a|            : add_lt_add_right (hN n hn N' hNN') _
   ... < ε/2 + ε/2                   : add_lt_add_left hN' (ε / 2)
   ... = ε                           : add_halves ε
end
 
-- 2ª demostración
example
  (hu : suc_cauchy u)
  (ha : punto_acumulacion u a)
  : limite u a :=
begin
  intros ε hε,
  cases hu (ε/2) (by linarith) with N hN,
  use N,
  have ha' : ∃ N' ≥ N, |u N' - a| < ε/2,
    apply cerca_acumulacion ha (ε/2) (by linarith),
  rcases ha' with ⟨N', hNN', hN'⟩,
  intros n hn,
  calc  |u n - a|
      = |(u n - u N') + (u N' - a)| : by ring_nf
  ... ≤ |u n - u N'| + |u N' - a|   : by simp [abs_add]
  ... < ε                           : by linarith [hN n hn N' hNN'],
end

Se puede interactuar con la prueba anterior en esta sesión con Lean.

En los comentarios se pueden escribir otras soluciones, escribiendo el código entre una línea con <pre lang="lean"> y otra con </pre>

Soluciones con Isabelle/HOL
theory "Si_a_es_un_punto_de_acumulacion_de_la_sucesion_de_Cauchy_u,_entonces_a_es_el_limite_de_u"
imports Main HOL.Real
begin
 
definition extraccion :: "(nat ⇒ nat) ⇒ bool" where
  "extraccion φ ⟷ (∀ n m. n < m ⟶ φ n < φ m)"
 
definition limite :: "(nat ⇒ real) ⇒ real ⇒ bool"
  where "limite u a ⟷ (∀ε>0. ∃N. ∀k≥N. ¦u k - a¦ < ε)"
 
definition punto_acumulacion :: "(nat ⇒ real) ⇒ real ⇒ bool"
  where "punto_acumulacion u a ⟷ (∃φ. extraccion φ ∧ limite (u ∘ φ) a)"
 
definition suc_cauchy :: "(nat ⇒ real) ⇒ bool"
  where "suc_cauchy u ⟷ (∀ε>0. ∃k. ∀m≥k. ∀n≥k. ¦u m - u n¦ < ε)"
 
(* Lemas auxiliares *)
 
lemma aux1 :
  assumes "extraccion φ"
  shows   "n ≤ φ n"
proof (induct n)
  show "0 ≤ φ 0" by simp
next
  fix n assume HI : "n ≤ φ n"
  then show "Suc n ≤ φ (Suc n)"
    using assms extraccion_def
    by (metis Suc_leI lessI order_le_less_subst1)
qed
 
lemma aux2 :
  assumes "extraccion φ"
  shows   "∀ N N'. ∃ k ≥ N'. φ k ≥ N"
proof (intro allI)
  fix N N' :: nat
  have "max N N' ≥ N' ∧ φ (max N N') ≥ N"
    by (meson assms aux1 max.bounded_iff max.cobounded2)
  then show "∃k ≥ N'. φ k ≥ N"
    by blast
qed
 
lemma cerca_acumulacion :
  assumes "punto_acumulacion u a"
  shows   "∀ε>0. ∀ N. ∃k≥N. ¦u k - a¦ < ε"
proof (intro allI impI)
  fix ε :: real and N :: nat
  assume "ε > 0"
  obtain φ where hφ1 : "extraccion φ"
             and hφ2 : "limite (u ∘ φ) a"
    using assms punto_acumulacion_def by blast
  obtain N' where hN' : "∀k≥N'. ¦(u ∘ φ) k - a¦ < ε"
    using hφ2 limite_def ‹ε > 0› by auto
  obtain m where "m ≥ N' ∧ φ m ≥ N"
    using aux2 hφ1 by blast
  then show "∃k≥N. ¦u k - a¦ < ε"
    using hN' by auto
qed
 
(* Demostración *)
lemma
  assumes "suc_cauchy u"
          "punto_acumulacion u a"
  shows   "limite u a"
proof (unfold limite_def; intro allI impI)
  fix ε :: real
  assume "ε > 0"
  then have "ε/2 > 0"
    by simp
  then obtain N where hN : "∀m≥N. ∀n≥N. ¦u m - u n¦ < ε/2"
    using assms(1) suc_cauchy_def
    by blast
  have "∀k≥N. ¦u k - a¦ < ε"
  proof (intro allI impI)
    fix k
    assume hk : "k ≥ N"
    obtain N' where hN'1 : "N' ≥ N" and
                    hN'2 : "¦u N' - a¦ < ε/2"
      using assms(2) cerca_acumulacion ‹ε/2 > 0› by blast
    have "¦u k - a¦ = ¦(u k - u N') + (u N'  - a)¦"
      by simp
    also have "… ≤ ¦u k - u N'¦ + ¦u N'  - a¦"
      by simp
    also have "… < ε/2 + ¦u N'  - a¦"
      using hk hN hN'1 by auto
    also have "… < ε/2 + ε/2"
      using hN'2 by auto
    also have "… = ε"
      by simp
    finally show "¦u k - a¦ < ε" .
  qed
  then show "∃N. ∀k≥N. ¦u k - a¦ < ε"
    by auto
qed
 
end

En los comentarios se pueden escribir otras soluciones, escribiendo el código entre una línea con <pre lang="isar"> y otra con </pre>

Soluciones →

Si a es un punto de acumulación de u, entonces ∀ε>0, ∀ N, ∃k≥N, |u(k)−a| < ε

José A. Alonso-

Para extraer una subsucesión se aplica una función de extracción que conserva el orden; por ejemplo, la subsucesión

   uₒ, u₂, u₄, u₆, ...

se ha obtenido con la función de extracción φ tal que φ(n) = 2*n.

En Lean, se puede definir que φ es una función de extracción por

   def extraccion (φ : ℕ → ℕ) :=
     ∀ n m, n < m → φ n < φ m

También se puede definir que a es un límite de u por

   def limite (u : ℕ → ℝ) (a : ℝ) :=
     ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ k ≥ N, |u k - a| < ε

Los puntos de acumulación de una sucesión son los límites de sus subsucesiones. En Lean se puede definir por

   def punto_acumulacion (u : ℕ → ℝ) (a : ℝ) :=
     ∃ φ, extraccion φ ∧ limite (u ∘ φ) a

Demostrar que si a es un punto de acumulación de u, entonces

   ∀ ε > 0, ∀ N, ∃ k ≥ N, |u k - a| < ε

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean:

import data.real.basic
open nat
 
variable  {u : ℕ → ℝ}
variables {a : ℝ}
variable  {φ : ℕ → ℕ}
 
def extraccion (φ : ℕ → ℕ):=
  ∀ n m, n < m → φ n < φ m
 
notation `|`x`|` := abs x
 
def limite (u : ℕ → ℝ) (a : ℝ) :=
  ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ k ≥ N, |u k - a| < ε
 
def punto_acumulacion (u : ℕ → ℝ) (a : ℝ) :=
  ∃ φ, extraccion φ ∧ limite (u ∘ φ) a
 
example
  (h : punto_acumulacion u a)
  : ∀ ε > 0, ∀ N, ∃ k ≥ N, |u k - a| < ε :=
sorry
Soluciones con Lean
import data.real.basic
open nat
 
variable  {u : ℕ → ℝ}
variables {a : ℝ}
variable  {φ : ℕ → ℕ}
 
def extraccion (φ : ℕ → ℕ):=
  ∀ n m, n < m → φ n < φ m
 
notation `|`x`|` := abs x
 
def limite (u : ℕ → ℝ) (a : ℝ) :=
  ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ k ≥ N, |u k - a| < ε
 
def punto_acumulacion (u : ℕ → ℝ) (a : ℝ) :=
  ∃ φ, extraccion φ ∧ limite (u ∘ φ) a
 
-- En la demostración se usarán los siguientes lemas.
 
lemma aux1
  (h : extraccion φ)
  : ∀ n, n ≤ φ n :=
begin
  intro n,
  induction n with m HI,
  { exact nat.zero_le (φ 0), },
  { apply nat.succ_le_of_lt,
    calc m ≤ φ m        : HI
       ... < φ (succ m) : h m (m+1) (lt_add_one m), },
end
 
lemma aux2
  (h : extraccion φ)
  : ∀ N N', ∃ n ≥ N', φ n ≥ N :=
λ N N', ⟨max N N', ⟨le_max_right N N',
                    le_trans (le_max_left N N')
                             (aux1 h (max N N'))⟩⟩
 
-- 1ª demostración
example
  (h : punto_acumulacion u a)
  : ∀ ε > 0, ∀ N, ∃ k ≥ N, |u k - a| < ε :=
begin
  intros ε hε N,
  unfold punto_acumulacion at h,
  rcases h with ⟨φ, hφ1, hφ2⟩,
  unfold limite at hφ2,
  cases hφ2 ε hε with N' hN',
  rcases aux2 hφ1 N N' with ⟨m, hm, hm'⟩,
  clear hφ1 hφ2,
  use φ m,
  split,
  { exact hm', },
  { exact hN' m hm, },
end
 
-- 2ª demostración
example
  (h : punto_acumulacion u a)
  : ∀ ε > 0, ∀ N, ∃ n ≥ N, |u n - a| < ε :=
begin
  intros ε hε N,
  rcases h with ⟨φ, hφ1, hφ2⟩,
  cases hφ2 ε hε with N' hN',
  rcases aux2 hφ1 N N' with ⟨m, hm, hm'⟩,
  use φ m,
  exact ⟨hm', hN' m hm⟩,
end
 
-- 3ª demostración
example
  (h : punto_acumulacion u a)
  : ∀ ε > 0, ∀ N, ∃ n ≥ N, |u n - a| < ε :=
begin
  intros ε hε N,
  rcases h with ⟨φ, hφ1, hφ2⟩,
  cases hφ2 ε hε with N' hN',
  rcases aux2 hφ1 N N' with ⟨m, hm, hm'⟩,
  exact ⟨φ m, hm', hN' _ hm⟩,
end
 
-- 4ª demostración
example
  (h : punto_acumulacion u a)
  : ∀ ε > 0, ∀ N, ∃ n ≥ N, |u n - a| < ε :=
begin
  intros ε hε N,
  rcases h with ⟨φ, hφ1, hφ2⟩,
  cases hφ2 ε hε with N' hN',
  rcases aux2 hφ1 N N' with ⟨m, hm, hm'⟩,
  use φ m ; finish,
end
 
-- 5ª demostración
example
  (h : punto_acumulacion u a)
  : ∀ ε > 0, ∀ N, ∃ n ≥ N, |u n - a| < ε :=
assume ε,
assume hε : ε > 0,
assume N,
exists.elim h
  ( assume φ,
    assume hφ : extraccion φ ∧ limite (u ∘ φ) a,
    exists.elim (hφ.2 ε hε)
      ( assume N',
        assume hN' : ∀ (n : ℕ), n ≥ N' → |(u ∘ φ) n - a| < ε,
        have h1 : ∃ n ≥ N', φ n ≥ N,
          from aux2 hφ.1 N N',
        exists.elim h1
          ( assume m,
            assume hm : ∃ (H : m ≥ N'), φ m ≥ N,
            exists.elim hm
              ( assume hm1 : m ≥ N',
                assume hm2 : φ m ≥ N,
                have h2 : |u (φ m) - a| < ε,
                  from hN' m hm1,
                show ∃ n ≥ N, |u n - a| < ε,
                  from exists.intro (φ m) (exists.intro hm2 h2)))))
 
-- 6ª demostración
example
  (h : punto_acumulacion u a)
  : ∀ ε > 0, ∀ N, ∃ n ≥ N, |u n - a| < ε :=
assume ε,
assume hε : ε > 0,
assume N,
exists.elim h
  ( assume φ,
    assume hφ : extraccion φ ∧ limite (u ∘ φ) a,
    exists.elim (hφ.2 ε hε)
      ( assume N',
        assume hN' : ∀ (n : ℕ), n ≥ N' → |(u ∘ φ) n - a| < ε,
        have h1 : ∃ n ≥ N', φ n ≥ N,
          from aux2 hφ.1 N N',
        exists.elim h1
          ( assume m,
            assume hm : ∃ (H : m ≥ N'), φ m ≥ N,
            exists.elim hm
              ( assume hm1 : m ≥ N',
                assume hm2 : φ m ≥ N,
                have h2 : |u (φ m) - a| < ε,
                  from hN' m hm1,
                show ∃ n ≥ N, |u n - a| < ε,
                  from ⟨φ m, hm2, h2⟩))))
 
-- 7ª demostración
example
  (h : punto_acumulacion u a)
  : ∀ ε > 0, ∀ N, ∃ n ≥ N, |u n - a| < ε :=
assume ε,
assume hε : ε > 0,
assume N,
exists.elim h
  ( assume φ,
    assume hφ : extraccion φ ∧ limite (u ∘ φ) a,
    exists.elim (hφ.2 ε hε)
      ( assume N',
        assume hN' : ∀ (n : ℕ), n ≥ N' → |(u ∘ φ) n - a| < ε,
        have h1 : ∃ n ≥ N', φ n ≥ N,
          from aux2 hφ.1 N N',
        exists.elim h1
          ( assume m,
            assume hm : ∃ (H : m ≥ N'), φ m ≥ N,
            exists.elim hm
              ( assume hm1 : m ≥ N',
                assume hm2 : φ m ≥ N,
                have h2 : |u (φ m) - a| < ε,
                  from hN' m hm1,
                ⟨φ m, hm2, h2⟩))))
 
-- 8ª demostración
example
  (h : punto_acumulacion u a)
  : ∀ ε > 0, ∀ N, ∃ n ≥ N, |u n - a| < ε :=
assume ε,
assume hε : ε > 0,
assume N,
exists.elim h
  ( assume φ,
    assume hφ : extraccion φ ∧ limite (u ∘ φ) a,
    exists.elim (hφ.2 ε hε)
      ( assume N',
        assume hN' : ∀ (n : ℕ), n ≥ N' → |(u ∘ φ) n - a| < ε,
        have h1 : ∃ n ≥ N', φ n ≥ N,
          from aux2 hφ.1 N N',
        exists.elim h1
          ( assume m,
            assume hm : ∃ (H : m ≥ N'), φ m ≥ N,
            exists.elim hm
              ( assume hm1 : m ≥ N',
                assume hm2 : φ m ≥ N,
                ⟨φ m, hm2, hN' m hm1⟩))))
 
-- 9ª demostración
example
  (h : punto_acumulacion u a)
  : ∀ ε > 0, ∀ N, ∃ n ≥ N, |u n - a| < ε :=
assume ε,
assume hε : ε > 0,
assume N,
exists.elim h
  ( assume φ,
    assume hφ : extraccion φ ∧ limite (u ∘ φ) a,
    exists.elim (hφ.2 ε hε)
      ( assume N',
        assume hN' : ∀ (n : ℕ), n ≥ N' → |(u ∘ φ) n - a| < ε,
        have h1 : ∃ n ≥ N', φ n ≥ N,
          from aux2 hφ.1 N N',
        exists.elim h1
          ( assume m,
            assume hm : ∃ (H : m ≥ N'), φ m ≥ N,
            exists.elim hm
              (λ hm1 hm2, ⟨φ m, hm2, hN' m hm1⟩))))
 
-- 10ª demostración
example
  (h : punto_acumulacion u a)
  : ∀ ε > 0, ∀ N, ∃ n ≥ N, |u n - a| < ε :=
assume ε,
assume hε : ε > 0,
assume N,
exists.elim h
  ( assume φ,
    assume hφ : extraccion φ ∧ limite (u ∘ φ) a,
    exists.elim (hφ.2 ε hε)
      ( assume N',
        assume hN' : ∀ (n : ℕ), n ≥ N' → |(u ∘ φ) n - a| < ε,
        have h1 : ∃ n ≥ N', φ n ≥ N,
          from aux2 hφ.1 N N',
        exists.elim h1
          (λ m hm, exists.elim hm (λ hm1 hm2, ⟨φ m, hm2, hN' m hm1⟩))))
 
-- 11ª demostración
example
  (h : punto_acumulacion u a)
  : ∀ ε > 0, ∀ N, ∃ n ≥ N, |u n - a| < ε :=
assume ε,
assume hε : ε > 0,
assume N,
exists.elim h
  ( assume φ,
    assume hφ : extraccion φ ∧ limite (u ∘ φ) a,
    exists.elim (hφ.2 ε hε)
      ( assume N',
        assume hN' : ∀ (n : ℕ), n ≥ N' → |(u ∘ φ) n - a| < ε,
        exists.elim (aux2 hφ.1 N N')
          (λ m hm, exists.elim hm (λ hm1 hm2, ⟨φ m, hm2, hN' m hm1⟩))))
 
-- 12ª demostración
example
  (h : punto_acumulacion u a)
  : ∀ ε > 0, ∀ N, ∃ n ≥ N, |u n - a| < ε :=
assume ε,
assume hε : ε > 0,
assume N,
exists.elim h
  ( assume φ,
    assume hφ : extraccion φ ∧ limite (u ∘ φ) a,
    exists.elim (hφ.2 ε hε)
      (λ N' hN', exists.elim (aux2 hφ.1 N N')
        (λ m hm, exists.elim hm
          (λ hm1 hm2, ⟨φ m, hm2, hN' m hm1⟩))))
 
-- 13ª demostración
example
  (h : punto_acumulacion u a)
  : ∀ ε > 0, ∀ N, ∃ n ≥ N, |u n - a| < ε :=
assume ε,
assume hε : ε > 0,
assume N,
exists.elim h
  (λ φ hφ, exists.elim (hφ.2 ε hε)
    (λ N' hN', exists.elim (aux2 hφ.1 N N')
      (λ m hm, exists.elim hm
        (λ hm1 hm2, ⟨φ m, hm2, hN' m hm1⟩))))
 
-- 14ª demostración
example
  (h : punto_acumulacion u a)
  : ∀ ε > 0, ∀ N, ∃ n ≥ N, |u n - a| < ε :=
λ ε hε N, exists.elim h
  (λ φ hφ, exists.elim (hφ.2 ε hε)
    (λ N' hN', exists.elim (aux2 hφ.1 N N')
      (λ m hm, exists.elim hm
        (λ hm1 hm2, ⟨φ m, hm2, hN' m hm1⟩))))

Se puede interactuar con la prueba anterior en esta sesión con Lean.

En los comentarios se pueden escribir otras soluciones, escribiendo el código entre una línea con <pre lang="lean"> y otra con </pre>

Soluciones con Isabelle/HOL
theory "Si_a_es_un_punto_de_acumulacion_de_u,_entonces_a_tiene_puntos_cercanos"
imports Main HOL.Real
begin
 
definition extraccion :: "(nat ⇒ nat) ⇒ bool" where
  "extraccion φ ⟷ (∀ n m. n < m ⟶ φ n < φ m)"
 
definition limite :: "(nat ⇒ real) ⇒ real ⇒ bool"
  where "limite u a ⟷ (∀ε>0. ∃N. ∀k≥N. ¦u k - a¦ < ε)"
 
definition punto_acumulacion :: "(nat ⇒ real) ⇒ real ⇒ bool"
  where "punto_acumulacion u a ⟷ (∃φ. extraccion φ ∧ limite (u ∘ φ) a)"
 
(* En la demostración se usarán los siguientes lemas *)
lemma aux1 :
  assumes "extraccion φ"
  shows   "n ≤ φ n"
proof (induct n)
  show "0 ≤ φ 0" by simp
next
  fix n assume HI : "n ≤ φ n"
  then show "Suc n ≤ φ (Suc n)"
    using assms extraccion_def
    by (metis Suc_leI lessI order_le_less_subst1)
qed
 
lemma aux2 :
  assumes "extraccion φ"
  shows   "∀ N N'. ∃ k ≥ N'. φ k ≥ N"
proof (intro allI)
  fix N N' :: nat
  have "max N N' ≥ N' ∧ φ (max N N') ≥ N"
    by (meson assms aux1 max.bounded_iff max.cobounded2)
  then show "∃k ≥ N'. φ k ≥ N"
    by blast
qed
 
(* 1ª demostración *)
lemma
  assumes "punto_acumulacion u a"
  shows   "∀ε>0. ∀ N. ∃k≥N. ¦u k - a¦ < ε"
proof (intro allI impI)
  fix ε :: real and N :: nat
  assume "ε > 0"
  obtain φ where hφ1 : "extraccion φ"
             and hφ2 : "limite (u ∘ φ) a"
    using assms punto_acumulacion_def by blast
  obtain N' where hN' : "∀k≥N'. ¦(u ∘ φ) k - a¦ < ε"
    using hφ2 limite_def ‹ε > 0› by auto
  obtain m where hm1 : "m ≥ N'" and hm2 : "φ m ≥ N"
    using aux2 hφ1 by blast
  have "φ m ≥ N ∧ ¦u (φ m) - a¦ < ε"
    using hN' hm1 hm2 by force
  then show "∃k≥N. ¦u k - a¦ < ε"
    by auto
qed
 
(* 2ª demostración *)
lemma
  assumes "punto_acumulacion u a"
  shows   "∀ε>0. ∀ N. ∃k≥N. ¦u k - a¦ < ε"
proof (intro allI impI)
  fix ε :: real and N :: nat
  assume "ε > 0"
  obtain φ where hφ1 : "extraccion φ"
             and hφ2 : "limite (u ∘ φ) a"
    using assms punto_acumulacion_def by blast
  obtain N' where hN' : "∀k≥N'. ¦(u ∘ φ) k - a¦ < ε"
    using hφ2 limite_def ‹ε > 0› by auto
  obtain m where "m ≥ N' ∧ φ m ≥ N"
    using aux2 hφ1 by blast
  then show "∃k≥N. ¦u k - a¦ < ε"
    using hN' by auto
qed
 
end

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