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Etiqueta: IH.conjunct2

Las funciones de extracción no están acotadas

José A. Alonso-

Para extraer una subsucesión se aplica una función de extracción que conserva el orden; por ejemplo, la subsucesión

   uₒ, u₂, u₄, u₆, ...

se ha obtenido con la función de extracción φ tal que φ(n) = 2*n.

En Lean, se puede definir que φ es una función de extracción por

   def extraccion (φ : ℕ → ℕ) :=
     ∀ n m, n < m → φ n < φ m

Demostrar que las funciones de extracción no está acotadas; es decir, que si φ es una función de extracción, entonces

    ∀ N N', ∃ n ≥ N', φ n ≥ N

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean:

import tactic
open nat
 
variable {φ : ℕ → ℕ}
 
def extraccion (φ : ℕ → ℕ) :=
  ∀ n m, n < m → φ n < φ m
 
example
  (h : extraccion φ)
  : ∀ N N', ∃ n ≥ N', φ n ≥ N :=
sorry
Soluciones con Lean
import tactic
open nat
 
variable {φ : ℕ → ℕ}
 
def extraccion (φ : ℕ → ℕ) :=
  ∀ n m, n < m → φ n < φ m
 
lemma aux
  (h : extraccion φ)
  : ∀ n, n ≤ φ n :=
begin
  intro n,
  induction n with m HI,
  { exact nat.zero_le (φ 0), },
  { apply nat.succ_le_of_lt,
    calc m ≤ φ m        : HI
       ... < φ (succ m) : h m (m+1) (lt_add_one m), },
end
 
-- 1ª demostración
example
  (h : extraccion φ)
  : ∀ N N', ∃ n ≥ N', φ n ≥ N :=
begin
  intros N N',
  let n := max N N',
  use n,
  split,
  { exact le_max_right N N', },
  { calc N ≤ n   : le_max_left N N'
       ... ≤ φ n : aux h n, },
end
 
-- 2ª demostración
example
  (h : extraccion φ)
  : ∀ N N', ∃ n ≥ N', φ n ≥ N :=
begin
  intros N N',
  let n := max N N',
  use n,
  split,
  { exact le_max_right N N', },
  { exact le_trans (le_max_left N N')
                   (aux h n), },
end
 
-- 3ª demostración
example
  (h : extraccion φ)
  : ∀ N N', ∃ n ≥ N', φ n ≥ N :=
begin
  intros N N',
  use max N N',
  split,
  { exact le_max_right N N', },
  { exact le_trans (le_max_left N N')
                   (aux h (max N N')), },
end
 
-- 4ª demostración
example
  (h : extraccion φ)
  : ∀ N N', ∃ n ≥ N', φ n ≥ N :=
begin
  intros N N',
  use max N N',
  exact ⟨le_max_right N N',
         le_trans (le_max_left N N')
                  (aux h (max N N'))⟩,
end
 
-- 5ª demostración
example
  (h : extraccion φ)
  : ∀ N N', ∃ n ≥ N', φ n ≥ N :=
λ N N',
  ⟨max N N', ⟨le_max_right N N',
              le_trans (le_max_left N N')
                       (aux h (max N N'))⟩⟩
 
-- 6ª demostración
example
  (h : extraccion φ)
  : ∀ N N', ∃ n ≥ N', φ n ≥ N :=
assume N N',
let n := max N N' in
have h1 : n ≥ N',
  from le_max_right N N',
show ∃ n ≥ N', φ n ≥ N, from
exists.intro n
  (exists.intro h1
    (show φ n ≥ N, from
       calc N ≤ n   : le_max_left N N'
          ... ≤ φ n : aux h n))
 
-- 7ª demostración
example
  (h : extraccion φ)
  : ∀ N N', ∃ n ≥ N', φ n ≥ N :=
assume N N',
let n := max N N' in
have h1 : n ≥ N',
  from le_max_right N N',
show ∃ n ≥ N', φ n ≥ N, from
⟨n, h1, calc N ≤ n   : le_max_left N N'
          ...  ≤ φ n : aux h n⟩
 
-- 8ª demostración
example
  (h : extraccion φ)
  : ∀ N N', ∃ n ≥ N', φ n ≥ N :=
assume N N',
let n := max N N' in
have h1 : n ≥ N',
  from le_max_right N N',
show ∃ n ≥ N', φ n ≥ N, from
⟨n, h1, le_trans (le_max_left N N')
                 (aux h (max N N'))⟩
 
-- 9ª demostración
example
  (h : extraccion φ)
  : ∀ N N', ∃ n ≥ N', φ n ≥ N :=
assume N N',
let n := max N N' in
have h1 : n ≥ N',
  from le_max_right N N',
⟨n, h1, le_trans (le_max_left N N')
                 (aux h n)⟩
 
-- 10ª demostración
example
  (h : extraccion φ)
  : ∀ N N', ∃ n ≥ N', φ n ≥ N :=
assume N N',
⟨max N N', le_max_right N N',
           le_trans (le_max_left N N')
                    (aux h (max N N'))⟩
 
-- 11ª demostración
lemma extraccion_mye
  (h : extraccion φ)
  : ∀ N N', ∃ n ≥ N', φ n ≥ N :=
λ N N',
  ⟨max N N', le_max_right N N',
             le_trans (le_max_left N N')
             (aux h (max N N'))⟩

Se puede interactuar con la prueba anterior en esta sesión con Lean.

En los comentarios se pueden escribir otras soluciones, escribiendo el código entre una línea con <pre lang="lean"> y otra con </pre>

Soluciones con Isabelle/HOL
theory Las_funciones_de_extraccion_no_estan_acotadas
imports Main
begin
 
definition extraccion :: "(nat ⇒ nat) ⇒ bool" where
  "extraccion φ ⟷ (∀ n m. n < m ⟶ φ n < φ m)"
 
(* En la demostración se usará el siguiente lema *)
lemma aux :
  assumes "extraccion φ"
  shows   "n ≤ φ n"
proof (induct n)
  show "0 ≤ φ 0"
    by simp
next
  fix n
  assume HI : "n ≤ φ n"
  also have "φ n < φ (Suc n)"
    using assms extraccion_def by blast
  finally show "Suc n ≤ φ (Suc n)"
    by simp
qed
 
(* 1ª demostración *)
lemma
  assumes "extraccion φ"
  shows   "∀ N N'. ∃ k ≥ N'. φ k ≥ N"
proof (intro allI)
  fix N N' :: nat
  let ?k = "max N N'"
  have "max N N' ≤ ?k"
    by (rule le_refl)
  then have hk : "N ≤ ?k ∧ N' ≤ ?k"
    by (simp only: max.bounded_iff)
  then have "?k ≥ N'"
    by (rule conjunct2)
  moreover
  have "N ≤ φ ?k"
  proof -
    have "N ≤ ?k"
      using hk by (rule conjunct1)
    also have "… ≤ φ ?k"
      using assms by (rule aux)
    finally show "N ≤ φ ?k"
      by this
  qed
  ultimately have "?k ≥ N' ∧ φ ?k ≥ N"
    by (rule conjI)
  then show "∃k ≥ N'. φ k ≥ N"
    by (rule exI)
qed
 
(* 2ª demostración *)
lemma
  assumes "extraccion φ"
  shows   "∀ N N'. ∃ k ≥ N'. φ k ≥ N"
proof (intro allI)
  fix N N' :: nat
  let ?k = "max N N'"
  have "?k ≥ N'"
    by simp
  moreover
  have "N ≤ φ ?k"
  proof -
    have "N ≤ ?k"
      by simp
    also have "… ≤ φ ?k"
      using assms by (rule aux)
    finally show "N ≤ φ ?k"
      by this
  qed
  ultimately show "∃k ≥ N'. φ k ≥ N"
    by blast
qed
 
end

En los comentarios se pueden escribir otras soluciones, escribiendo el código entre una línea con <pre lang="isar"> y otra con </pre>

Soluciones →

Las particiones definen relaciones transitivas

José A. Alonso-

Cada familia de conjuntos P define una relación de forma que dos elementos están relacionados si algún conjunto de P contiene a ambos elementos. Se puede definir en Lean por

   def relacion (P : set (set X)) (x y : X) :=
     ∃ A ∈ P, x ∈ A ∧ y ∈ A

Una familia de subconjuntos de X es una partición de X si cada de X pertenece a un único conjunto de P y todos los elementos de P son no vacíos. Se puede definir en Lean por

   def particion (P : set (set X)) : Prop :=
     (∀ x, (∃ B ∈ P, x ∈ B ∧ ∀ C ∈ P, x ∈ C → B = C)) ∧ ∅ ∉ P

Demostrar que si P es una partición de X, entonces la relación definida por P es transitiva.

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean:

import tactic
 
variable {X : Type}
variable (P : set (set X))
 
def relacion (P : set (set X)) (x y : X) :=
  ∃ A ∈ P, x ∈ A ∧ y ∈ A
 
def particion (P : set (set X)) : Prop :=
  (∀ x, (∃ B ∈ P, x ∈ B ∧ ∀ C ∈ P, x ∈ C → B = C)) ∧ ∅ ∉ P
 
example
  (h : particion P)
  : transitive (relacion P) :=
sorry
Soluciones con Lean
import tactic
 
variable {X : Type}
variable (P : set (set X))
 
def relacion (P : set (set X)) (x y : X) :=
  ∃ A ∈ P, x ∈ A ∧ y ∈ A
 
def particion (P : set (set X)) : Prop :=
  (∀ x, (∃ B ∈ P, x ∈ B ∧ ∀ C ∈ P, x ∈ C → B = C)) ∧ ∅ ∉ P
 
-- 1ª demostración
example
  (h : particion P)
  : transitive (relacion P) :=
begin
  unfold transitive,
  intros x y z h1 h2,
  unfold relacion at *,
  rcases h1 with ⟨B1, hB1P, hxB1, hyB1⟩,
  rcases h2 with ⟨B2, hB2P, hyB2, hzB2⟩,
  use B1,
  repeat { split },
  { exact hB1P, },
  { exact hxB1, },
  { convert hzB2,
    rcases (h.1 y) with ⟨B, -, -, hB⟩,
    have hBB1 : B = B1 := hB B1 hB1P hyB1,
    have hBB2 : B = B2 := hB B2 hB2P hyB2,
    exact eq.trans hBB1.symm hBB2, },
end
 
-- 2ª demostración
example
  (h : particion P)
  : transitive (relacion P) :=
begin
  rintros x y z ⟨B1,hB1P,hxB1,hyB1⟩ ⟨B2,hB2P,hyB2,hzB2⟩,
  use B1,
  repeat { split },
  { exact hB1P, },
  { exact hxB1, },
  { convert hzB2,
    rcases (h.1 y) with ⟨B, -, -, hB⟩,
    exact eq.trans (hB B1 hB1P hyB1).symm (hB B2 hB2P hyB2), },
end
 
-- 3ª demostración
example
  (h : particion P)
  : transitive (relacion P) :=
begin
  rintros x y z ⟨B1,hB1P,hxB1,hyB1⟩ ⟨B2,hB2P,hyB2,hzB2⟩,
  use [B1, ⟨hB1P,
            hxB1,
            by { convert hzB2,
                 rcases (h.1 y) with ⟨B, -, -, hB⟩,
                 exact eq.trans (hB B1 hB1P hyB1).symm
                                (hB B2 hB2P hyB2), }⟩],
end

Se puede interactuar con la prueba anterior en esta sesión con Lean.

En los comentarios se pueden escribir otras soluciones, escribiendo el código entre una línea con <pre lang="lean"> y otra con </pre>

Soluciones con Isabelle/HOL
theory Las_particiones_definen_relaciones_transitivas
imports Main
begin
 
definition relacion :: "('a set) set ⇒ 'a ⇒ 'a ⇒ bool" where
  "relacion P x y ⟷ (∃A∈P. x ∈ A ∧ y ∈ A)"
 
definition particion :: "('a set) set ⇒ bool" where
  "particion P ⟷ (∀x. (∃B∈P. x ∈ B ∧ (∀C∈P. x ∈ C ⟶ B = C))) ∧ {} ∉ P"
 
(* 1ª demostración *)
lemma
  assumes "particion P"
  shows   "transp (relacion P)"
proof (rule transpI)
  fix x y z
  assume "relacion P x y" and "relacion P y z"
  have "∃A∈P. x ∈ A ∧ y ∈ A"
    using ‹relacion P x y›
    by (simp only: relacion_def)
  then obtain A where "A ∈ P" and hA : "x ∈ A ∧ y ∈ A"
    by (rule bexE)
  have "∃B∈P. y ∈ B ∧ z ∈ B"
    using ‹relacion P y z›
    by (simp only: relacion_def)
  then obtain B where "B ∈ P" and hB : "y ∈ B ∧ z ∈ B"
    by (rule bexE)
  have "A = B"
  proof -
    have "∃C ∈ P. y ∈ C ∧ (∀D∈P. y ∈ D ⟶ C = D)"
      using assms
      by (simp only: particion_def)
    then obtain C where "C ∈ P"
                    and hC : "y ∈ C ∧ (∀D∈P. y ∈ D ⟶ C = D)"
      by (rule bexE)
    have hC' : "∀D∈P. y ∈ D ⟶ C = D"
      using hC by (rule conjunct2)
    have "C = A"
      using ‹A ∈ P› hA hC' by simp
    moreover have "C = B"
      using ‹B ∈ P› hB hC by simp
    ultimately show "A = B"
      by (rule subst)
  qed
  then have "x ∈ A ∧ z ∈ A"
    using hA hB by simp
  then have "∃A∈P. x ∈ A ∧ z ∈ A"
    using ‹A ∈ P› by (rule bexI)
  then show "relacion P x z"
    using ‹A = B› ‹A ∈ P›
    by (unfold relacion_def)
qed
 
(* 2ª demostración *)
lemma
  assumes "particion P"
  shows   "transp (relacion P)"
proof (rule transpI)
  fix x y z
  assume "relacion P x y" and "relacion P y z"
  obtain A where "A ∈ P" and hA : "x ∈ A ∧ y ∈ A"
    using ‹relacion P x y›
    by (meson relacion_def)
  obtain B where "B ∈ P" and hB : "y ∈ B ∧ z ∈ B"
    using ‹relacion P y z›
    by (meson relacion_def)
  have "A = B"
  proof -
    obtain C where "C ∈ P" and hC : "y ∈ C ∧ (∀D∈P. y ∈ D ⟶ C = D)"
      using assms particion_def
      by metis
    have "C = A"
      using ‹A ∈ P› hA hC by auto
    moreover have "C = B"
      using ‹B ∈ P› hB hC by auto
    ultimately show "A = B"
      by simp
  qed
  then have "x ∈ A ∧ z ∈ A"
    using hA hB by auto
  then show "relacion P x z"
    using ‹A = B› ‹A ∈ P› relacion_def
    by metis
qed
 
(* 3ª demostración *)
lemma
  assumes "particion P"
  shows   "transp (relacion P)"
  using assms particion_def relacion_def
  by (smt (verit) transpI)
 
end

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Soluciones →

Las particiones definen relaciones reflexivas

José A. Alonso-

Cada familia de conjuntos P define una relación de forma que dos elementos están relacionados si algún conjunto de P contiene a ambos elementos. Se puede definir en Lean por

   def relacion (P : set (set X)) (x y : X) :=
     ∃ A ∈ P, x ∈ A ∧ y ∈ A

Una familia de subconjuntos de X es una partición de X si cada elemento de X pertenece a un único conjunto de P y todos los elementos de P son no vacíos. Se puede definir en Lean por

   def particion (P : set (set X)) : Prop :=
     (∀ x, (∃ B ∈ P, x ∈ B ∧ ∀ C ∈ P, x ∈ C → B = C)) ∧ ∅ ∉ P

Demostrar que si P es una partición de X, entonces la relación definida por P es reflexiva.

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean:

import tactic
 
variable {X : Type}
variable (P : set (set X))
 
def relacion (P : set (set X)) (x y : X) :=
  ∃ A ∈ P, x ∈ A ∧ y ∈ A
 
def particion (P : set (set X)) : Prop :=
  (∀ x, (∃ B ∈ P, x ∈ B ∧ ∀ C ∈ P, x ∈ C → B = C)) ∧ ∅ ∉ P
 
example
  (h : particion P)
  : reflexive (relacion P) :=
sorry
Soluciones con Lean
import tactic
 
variable {X : Type}
variable (P : set (set X))
 
def relacion (P : set (set X)) (x y : X) :=
  ∃ A ∈ P, x ∈ A ∧ y ∈ A
 
def particion (P : set (set X)) : Prop :=
  (∀ x, (∃ B ∈ P, x ∈ B ∧ ∀ C ∈ P, x ∈ C → B = C)) ∧ ∅ ∉ P
 
-- 1ª demostración
example
  (h : particion P)
  : reflexive (relacion P) :=
begin
  unfold reflexive,
  intro x,
  unfold relacion,
  unfold particion at h,
  replace h : ∃ A ∈ P, x ∈ A ∧ ∀ B ∈ P, x ∈ B → A = B := h.1 x,
  rcases h with ⟨A, hAP, hxA, -⟩,
  use A,
  repeat { split },
  { exact hAP, },
  { exact hxA, },
  { exact hxA, },
end
 
-- 2ª demostración
example
  (h : particion P)
  : reflexive (relacion P) :=
begin
  intro x,
  replace h : ∃ A ∈ P, x ∈ A ∧ ∀ B ∈ P, x ∈ B → A = B := h.1 x,
  rcases h with ⟨A, hAP, hxA, -⟩,
  use A,
  repeat { split } ; assumption,
end
 
-- 3ª demostración
example
  (h : particion P)
  : reflexive (relacion P) :=
begin
  intro x,
  rcases (h.1 x) with ⟨A, hAP, hxA, -⟩,
  use A,
  repeat { split } ; assumption,
end
 
-- 4ª demostración
example
  (h : particion P)
  : reflexive (relacion P) :=
begin
  intro x,
  rcases (h.1 x) with ⟨A, hAP, hxA, -⟩,
  use [A, ⟨hAP, hxA, hxA⟩],
end

Se puede interactuar con la prueba anterior en esta sesión con Lean.

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Soluciones con Isabelle/HOL
theory Las_particiones_definen_relaciones_reflexivas
imports Main
begin
 
definition relacion :: "('a set) set ⇒ 'a ⇒ 'a ⇒ bool" where
  "relacion P x y ⟷ (∃A∈P. x ∈ A ∧ y ∈ A)"
 
definition particion :: "('a set) set ⇒ bool" where
  "particion P ⟷ (∀x. (∃B∈P. x ∈ B ∧ (∀C∈P. x ∈ C ⟶ B = C))) ∧ {} ∉ P"
 
ru(* 1ª demostración *)
lemma
  assumes "particion P"
  shows   "reflp (relacion P)"
proof (rule reflpI)
  fix x
  have "(∀x. (∃B∈P. x ∈ B ∧ (∀C∈P. x ∈ C ⟶ B = C))) ∧ {} ∉ P"
    using assms by (unfold particion_def)
  then have "∀x. (∃B∈P. x ∈ B ∧ (∀C∈P. x ∈ C ⟶ B = C))"
    by (rule conjunct1)
  then have "∃B∈P. x ∈ B ∧ (∀C∈P. x ∈ C ⟶ B = C)"
    by (rule allE)
  then obtain B where "B ∈ P ∧ (x ∈ B ∧ (∀C∈P. x ∈ C ⟶ B = C))"
    by (rule someI2_bex)
  then obtain B where "(B ∈ P ∧ x ∈ B) ∧ (∀C∈P. x ∈ C ⟶ B = C)"
    by (simp only: conj_assoc)
  then have "B ∈ P ∧ x ∈ B"
    by (rule conjunct1)
  then have "x ∈ B"
    by (rule conjunct2)
  then have "x ∈ B ∧ x ∈ B"
    using ‹x ∈ B› by (rule conjI)
  moreover have "B ∈ P"
    using ‹B ∈ P ∧ x ∈ B› by (rule conjunct1)
  ultimately have "∃B∈P. x ∈ B ∧ x ∈ B"
    by (rule bexI)
  then show "relacion P x x"
    by (unfold relacion_def)
qed
 
(* 2ª demostración *)
lemma
  assumes "particion P"
  shows   "reflp (relacion P)"
proof (rule reflpI)
  fix x
  obtain A where "A ∈ P ∧ x ∈ A"
    using assms particion_def
    by metis
  then show "relacion P x x"
    using relacion_def
    by metis
qed
 
(* 3ª demostración *)
lemma
  assumes "particion P"
  shows   "reflp (relacion P)"
  using assms particion_def relacion_def
  by (metis reflp_def)
 
end

En los comentarios se pueden escribir otras soluciones, escribiendo el código entre una línea con <pre lang="isar"> y otra con </pre>

Soluciones →