Anillos – Página 2

Si R es un anillo y a ∈ R, entonces 0.a = 0

PorJosé A. Alonso 4 agosto 202327 julio 2023

Demostrar con Lean4 que si R es un anillo y a ∈ R, entonces

   0 * a = 0

0 * a = 0

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Algebra.Ring.Defs
import Mathlib.Tactic

variable {R : Type _} [Ring R]
variable (a : R)

example : 0 * a = 0 :=
sorry

import Mathlib.Algebra.Ring.Defs

import Mathlib.Tactic

variable {R : Type _} [Ring R]

variable (a : R)

example : 0 * a = 0 :=

sorry

Si R es un anillo y a ∈ R, entonces a.0 = 0

PorJosé A. Alonso 3 agosto 202327 julio 2023

Demostrar con Lean4 que si R es un anillo y a ∈ R, entonces

   a * 0 = 0

a * 0 = 0

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Algebra.Ring.Defs
import Mathlib.Tactic

variable {R : Type _} [Ring R]
variable (a : R)

example : a * 0 = 0 :=
sorry

import Mathlib.Algebra.Ring.Defs

import Mathlib.Tactic

variable {R : Type _} [Ring R]

variable (a : R)

example : a * 0 = 0 :=

sorry

Si R es un anillo y a, b, c ∈ R tales que a+b=c+b, entonces a=c

PorJosé A. Alonso 2 agosto 202327 julio 2023

Demostrar con Lean4 que si R es un anillo y a, b, c ∈ R tales que

   a + b = c + b

1	a + b = c + b

entonces

   a = c

a = c

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Algebra.Ring.Defs
import Mathlib.Tactic

variable {R : Type _} [Ring R]
variable {a b c : R}

example
  (h : a + b = c + b)
  : a = c :=
sorry

import Mathlib.Algebra.Ring.Defs

import Mathlib.Tactic

variable {R : Type _} [Ring R]

variable {a b c : R}

example

(h : a + b = c + b)

: a = c :=

sorry

Si R es un anillo y a, b, c ∈ R tales que a+b=a+c, entonces b=c

PorJosé A. Alonso 1 agosto 202327 julio 2023

Demostrar con Lean4 que si R es un anillo y a, b, c ∈ R tales que

   a + b = a + c

1	a + b = a + c

entonces

   b = c

b = c

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Algebra.Ring.Defs
import Mathlib.Tactic

variable {R : Type _} [Ring R]
variable {a b c : R}

example
  (h : a + b = a + c)
  : b = c :=
sorry

import Mathlib.Algebra.Ring.Defs

import Mathlib.Tactic

variable {R : Type _} [Ring R]

variable {a b c : R}

example

(h : a + b = a + c)

: b = c :=

sorry

Si R es un anillo y a, b ∈ R, entonces (a + b) + -b = a

PorJosé A. Alonso 31 julio 202323 julio 2023

En Lean4, se declara que R es un anillo mediante la expresión

   variable {R : Type _} [Ring R]

1	variable {R : Type _} [Ring R]

Como consecuencia, se tiene los siguientes axiomas

   add_assoc    : ∀ a b c : R, (a + b) + c = a + (b + c)
   add_comm     : ∀ a b : R,   a + b = b + a
   zero_add     : ∀ a : R,     0 + a = a
   add_left_neg : ∀ a : R,     -a + a = 0
   mul_assoc    : ∀ a b c : R, a * b * c = a * (b * c)
   mul_one      : ∀ a : R,     a * 1 = a
   one_mul      : ∀ a : R,     1 * a = a
   mul_add      : ∀ a b c : R, a * (b + c) = a * b + a * c
   add_mul      : ∀ a b c : R, (a + b) * c = a * c + b * c

add_assoc : ∀ a b c : R, (a + b) + c = a + (b + c)

add_comm : ∀ a b : R, a + b = b + a

zero_add : ∀ a : R, 0 + a = a

add_left_neg : ∀ a : R, -a + a = 0

mul_assoc : ∀ a b c : R, a * b * c = a * (b * c)

mul_one : ∀ a : R, a * 1 = a

one_mul : ∀ a : R, 1 * a = a

mul_add : ∀ a b c : R, a * (b + c) = a * b + a * c

add_mul : ∀ a b c : R, (a + b) * c = a * c + b * c

Demostrar que si R es un anillo, entonces

   ∀ a, b : R, (a + b) + -b = a

1	∀ a, b : R, (a + b) + -b = a

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Algebra.Ring.Defs

variable {R : Type _} [Ring R]
variable (a b : R)

example : (a + b) + -b = a :=
sorry

import Mathlib.Algebra.Ring.Defs

variable {R : Type _} [Ring R]

variable (a b : R)

example : (a + b) + -b = a :=

sorry

Si R es un anillo y a, b ∈ R, entonces -a + (a + b) = b

PorJosé A. Alonso 28 julio 202329 julio 2023

Demostrar en Lean4 que si R es un anillo, entonces

   ∀ a, b : R, -a + (a + b) = b

1	∀ a, b : R, -a + (a + b) = b

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Algebra.Ring.Defs

variable {R : Type _} [Ring R]
variable (a b : R)

example : -a + (a + b) = b :=
sorry

import Mathlib.Algebra.Ring.Defs

variable {R : Type _} [Ring R]

variable (a b : R)

example : -a + (a + b) = b :=

sorry

Si R es un anillo y a ∈ R, entonces a + -a = 0

PorJosé A. Alonso 27 julio 202329 julio 2023

Demostrar con Lean4 que si \(R\) es un anillo, entonces

   ∀ a : R, a + -a = 0

1	∀ a : R, a + -a = 0

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Algebra.Ring.Defs

variable {R : Type _} [Ring R]
variable (a : R)

example : a + -a = 0 :=
sorry

import Mathlib.Algebra.Ring.Defs

variable {R : Type _} [Ring R]

variable (a : R)

example : a + -a = 0 :=

sorry

Si R es un anillo y a ∈ R, entonces a + 0 = a

PorJosé A. Alonso 26 julio 202321 julio 2023

En Lean4, se declara que \(R\) es un anillo mediante la expresión

   variable {R : Type _} [Ring R]

1	variable {R : Type _} [Ring R]

Como consecuencia, se tiene los siguientes axiomas

   add_assoc    : ∀ a b c : R, (a + b) + c = a + (b + c)
   add_comm     : ∀ a b : R,   a + b = b + a
   zero_add     : ∀ a : R,     0 + a = a
   add_left_neg : ∀ a : R,     -a + a = 0
   mul_assoc    : ∀ a b c : R, a * b * c = a * (b * c)
   mul_one      : ∀ a : R,     a * 1 = a
   one_mul      : ∀ a : R,     1 * a = a
   mul_add      : ∀ a b c : R, a * (b + c) = a * b + a * c
   add_mul      : ∀ a b c : R, (a + b) * c = a * c + b * c

add_assoc : ∀ a b c : R, (a + b) + c = a + (b + c)

add_comm : ∀ a b : R, a + b = b + a

zero_add : ∀ a : R, 0 + a = a

add_left_neg : ∀ a : R, -a + a = 0

mul_assoc : ∀ a b c : R, a * b * c = a * (b * c)

mul_one : ∀ a : R, a * 1 = a

one_mul : ∀ a : R, 1 * a = a

mul_add : ∀ a b c : R, a * (b + c) = a * b + a * c

add_mul : ∀ a b c : R, (a + b) * c = a * c + b * c

Demostrar que si \(R\) es un anillo, entonces

   ∀ a : R, a + 0 = a

1	∀ a : R, a + 0 = a

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Algebra.Ring.Defs

variable {R : Type _} [Ring R]
variable (a : R)

example : a + 0 = a :=
sorry

import Mathlib.Algebra.Ring.Defs

variable {R : Type _} [Ring R]

variable (a : R)

example : a + 0 = a :=

sorry

Si G es un grupo y a ∈ G, entonces a * a⁻¹ = 1

PorJosé A. Alonso 14 septiembre 202211 septiembre 2022

En Lean, se declara que G es un grupo mediante la expresión

   variables {G : Type*} [group G]

1	variables {G : Type*} [group G]

y, como consecuencia, se tiene los siguientes axiomas

   mul_assoc    : ∀ a b c : G, a * b * c = a * (b * c)
   one_mul      : ∀ a : G,     1 * a = a
   mul_left_inv : ∀ a : G,     a⁻¹ * a = 1

mul_assoc : ∀ a b c : G, a * b * c = a * (b * c)

one_mul : ∀ a : G, 1 * a = a

mul_left_inv : ∀ a : G, a⁻¹ * a = 1

Demostrar que si G es un grupo y a ∈ G, entonces

a * a⁻¹ = 1

1	a * a⁻¹ = 1

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean:

import algebra.group
variables {G : Type*} [group G]
variables (a b : G)

example : a * a⁻¹ = 1 :=
sorry

import algebra.group

variables {G : Type*} [group G]

variables (a b : G)

example : a * a⁻¹ = 1 :=

sorry

Si R es un anillo y a ∈ R, entonces 2 * a = a + a

PorJosé A. Alonso 13 septiembre 202211 septiembre 2022

Demostrar que si R es un anillo y a ∈ R, entonces

2 * a = a + a.

1	2 * a = a + a.

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean:

import algebra.ring

variables {R : Type*} [ring R]
variables a : R

example : 2 * a = a + a :=
sorry

import algebra.ring

variables {R : Type*} [ring R]

variables a : R

example : 2 * a = a + a :=

sorry