Demostrar con Lean4 que en los anillos ordenados se verifica que
a≤b→0≤b–a
Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:
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import Mathlib.Algebra.Order.Ring.Defs variable {R : Type _} [StrictOrderedRing R] variable (a b c : R) example : a ≤ b → 0 ≤ b - a := by sorry |
Demostración en lenguaje natural
Se usarán los siguientes lemas:
a–a=0a≤b→(∀c)[a–c≤b–c]
Supongamos que
a≤b
La demostración se tiene por la siguiente cadena de desigualdades:
0=a–a[por L1]≤b–a[por (1) y L2]
Demostraciones con Lean4
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import Mathlib.Algebra.Order.Ring.Defs variable {R : Type _} [StrictOrderedRing R] variable (a b c : R) -- 1ª demostración example : a ≤ b → 0 ≤ b - a := by intro h calc 0 = a - a := (sub_self a).symm _ ≤ b - a := sub_le_sub_right h a -- 2ª demostración example : a ≤ b → 0 ≤ b - a := sub_nonneg.mpr -- 3ª demostración example : a ≤ b → 0 ≤ b - a := by simp -- Lemas usados -- ============ -- #check (sub_le_sub_right : a ≤ b → ∀ (c : R), a - c ≤ b - c) -- #check (sub_nonneg : 0 ≤ a - b ↔ b ≤ a) -- #check (sub_self a : a - a = 0) |
Demostraciones interactivas
Se puede interactuar con las demostraciones anteriores en Lean 4 Web.
Referencias
