Si R es un anillo y a ∈ R, entonces a + -a = 0
Demostrar con Lean4 que si \(R\) es un anillo, entonces
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∀ a : R, a + -a = 0 |
Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:
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import Mathlib.Algebra.Ring.Defs variable {R : Type _} [Ring R] variable (a : R) example : a + -a = 0 := sorry |
Demostración en lenguaje natural
Por la siguiente cadena de igualdades
\begin{align}
a + -a &= -a + a &&\text{[por la conmutativa de la suma]} \\
&= 0 &&\text{[por el axioma de inverso por la izquierda]}
\end{align}
Demostraciones con Lean4
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import Mathlib.Algebra.Ring.Defs variable {R : Type _} [Ring R] variable (a : R) -- 1ª demostración -- =============== example : a + -a = 0 := calc a + -a = -a + a := by rw [add_comm] _ = 0 := by rw [add_left_neg] -- 2ª demostración -- =============== example : a + -a = 0 := by rw [add_comm] rw [add_left_neg] -- 3ª demostración -- =============== example : a + -a = 0 := by rw [add_comm, add_left_neg] -- 4ª demostración -- =============== example : a + -a = 0 := by exact add_neg_self a -- 5ª demostración -- =============== example : a + -a = 0 := add_neg_self a -- 6ª demostración -- =============== example : a + -a = 0 := by simp |
Demostraciones interactivas
Se puede interactuar con las demostraciones anteriores en Lean 4 Web.
Referencias
- J. Avigad y P. Massot. Mathematics in Lean, p. 10.
