Demostrar con Lean4 que si a, b, c y d son números reales, entonces
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(a + b) * (c + d) = a * c + a * d + b * c + b * d |
Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:
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import Mathlib.Data.Real.Basic import Mathlib.Tactic variable (a b c d : ℝ) example : (a + b) * (c + d) = a * c + a * d + b * c + b * d := sorry |
Demostración en lenguaje natural
Por la siguiente cadena de igualdades
(a+b)(c+d)=a(c+d)+b(c+d)[por la distributiva]=ac+ad+b(c+d)[por la distributiva]=ac+ad+(bc+bd)[por la distributiva]=ac+ad+bc+bd[por la asociativa]
Demostraciones con Lean4
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import Mathlib.Data.Real.Basic import Mathlib.Tactic variable (a b c d : ℝ) -- 1ª demostración example : (a + b) * (c + d) = a * c + a * d + b * c + b * d := calc (a + b) * (c + d) = a * (c + d) + b * (c + d) := by rw [add_mul] _ = a * c + a * d + b * (c + d) := by rw [mul_add] _ = a * c + a * d + (b * c + b * d) := by rw [mul_add] _ = a * c + a * d + b * c + b * d := by rw [←add_assoc] -- 2ª demostración example : (a + b) * (c + d) = a * c + a * d + b * c + b * d := calc (a + b) * (c + d) = a * (c + d) + b * (c + d) := by ring _ = a * c + a * d + b * (c + d) := by ring _ = a * c + a * d + (b * c + b * d) := by ring _ = a * c + a * d + b * c + b * d := by ring -- 3ª demostración example : (a + b) * (c + d) = a * c + a * d + b * c + b * d := by ring -- 4ª demostración example : (a + b) * (c + d) = a * c + a * d + b * c + b * d := by rw [add_mul] rw [mul_add] rw [mul_add] rw [← add_assoc] -- 5ª demostración example : (a + b) * (c + d) = a * c + a * d + b * c + b * d := by rw [add_mul, mul_add, mul_add, ←add_assoc] |
Demostraciones interactivas
Se puede interactuar con las demostraciones anteriores en Lean 4 Web.
Referencias
