Si R es un anillo y a, b ∈ R, entonces (a + b) + -b = a
En Lean4, se declara que R es un anillo mediante la expresión
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variable {R : Type _} [Ring R] |
Como consecuencia, se tiene los siguientes axiomas
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add_assoc : ∀ a b c : R, (a + b) + c = a + (b + c) add_comm : ∀ a b : R, a + b = b + a zero_add : ∀ a : R, 0 + a = a add_left_neg : ∀ a : R, -a + a = 0 mul_assoc : ∀ a b c : R, a * b * c = a * (b * c) mul_one : ∀ a : R, a * 1 = a one_mul : ∀ a : R, 1 * a = a mul_add : ∀ a b c : R, a * (b + c) = a * b + a * c add_mul : ∀ a b c : R, (a + b) * c = a * c + b * c |
Demostrar que si R es un anillo, entonces
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∀ a, b : R, (a + b) + -b = a |
Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:
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import Mathlib.Algebra.Ring.Defs variable {R : Type _} [Ring R] variable (a b : R) example : (a + b) + -b = a := sorry |
Demostración en lenguaje natural
Por la siguiente cadena de igualdades
\begin{align}
(a + b) + -b &= a + (b + -b) &&\text{[por la asociativa]} \\
&= a + 0 &&\text{[por suma con opuesto]} \\
&= a &&\text{[por suma con cero]}
\end{align}
Demostraciones con Lean4
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import Mathlib.Algebra.Ring.Defs variable {R : Type _} [Ring R] variable (a b : R) -- 1ª demostración example : (a + b) + -b = a := calc (a + b) + -b = a + (b + -b) := by rw [add_assoc] _ = a + 0 := by rw [add_right_neg] _ = a := by rw [add_zero] -- 2ª demostración example : (a + b) + -b = a := by rw [add_assoc] rw [add_right_neg] rw [add_zero] -- 3ª demostración example : (a + b) + -b = a := by rw [add_assoc, add_right_neg, add_zero] -- 4ª demostración example : (a + b) + -b = a := add_neg_cancel_right a b -- 5ª demostración example : (a + b) + -b = a := add_neg_cancel_right _ _ -- 6ª demostración example : (a + b) + -b = a := by simp |
Demostraciones interactivas
Se puede interactuar con las demostraciones anteriores en Lean 4 Web.
Referencias
- J. Avigad y P. Massot. Mathematics in Lean, p. 11.
