Si R es un anillo y a, b ∈ R, entonces -a + (a + b) = b
Demostrar en Lean4 que si R es un anillo, entonces
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∀ a, b : R, -a + (a + b) = b |
Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:
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import Mathlib.Algebra.Ring.Defs variable {R : Type _} [Ring R] variable (a b : R) example : -a + (a + b) = b := sorry |
Demostración en lenguaje natural
Por la siguiente cadena de igualdades
\begin{align}
-a + (a + b) &= (-a + a) + b &&\text{[por la asociativa]} \\
&= 0 + b &&\text{[por inverso por la izquierda]} \\
&= b &&\text{[por cero por la izquierda]}
\end{align}
Demostraciones con Lean4
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-- 1ª demostración example : -a + (a + b) = b := calc -a + (a + b) = (-a + a) + b := by rw [← add_assoc] _ = 0 + b := by rw [add_left_neg] _ = b := by rw [zero_add] -- 2ª demostración example : -a + (a + b) = b := by rw [←add_assoc] rw [add_left_neg] rw [zero_add] -- 3ª demostración example : -a + (a + b) = b := by rw [←add_assoc, add_left_neg, zero_add] -- 4ª demostración example : -a + (a + b) = b := by exact neg_add_cancel_left a b -- 5ª demostración example : -a + (a + b) = b := neg_add_cancel_left a b -- 6ª demostración example : -a + (a + b) = b := by simp |
Demostraciones interactivas
Se puede interactuar con las demostraciones anteriores en Lean 4 Web.
Referencias
- J. Avigad y P. Massot. Mathematics in Lean, p. 10.
