31 julio 2023 – Calculemus

Si R es un anillo y a, b ∈ R, entonces (a + b) + -b = a

PorJosé A. Alonso 31 julio 202323 julio 2023

En Lean4, se declara que R es un anillo mediante la expresión

   variable {R : Type _} [Ring R]

1	variable {R : Type _} [Ring R]

Como consecuencia, se tiene los siguientes axiomas

   add_assoc    : ∀ a b c : R, (a + b) + c = a + (b + c)
   add_comm     : ∀ a b : R,   a + b = b + a
   zero_add     : ∀ a : R,     0 + a = a
   add_left_neg : ∀ a : R,     -a + a = 0
   mul_assoc    : ∀ a b c : R, a * b * c = a * (b * c)
   mul_one      : ∀ a : R,     a * 1 = a
   one_mul      : ∀ a : R,     1 * a = a
   mul_add      : ∀ a b c : R, a * (b + c) = a * b + a * c
   add_mul      : ∀ a b c : R, (a + b) * c = a * c + b * c

add_assoc : ∀ a b c : R, (a + b) + c = a + (b + c)

add_comm : ∀ a b : R, a + b = b + a

zero_add : ∀ a : R, 0 + a = a

add_left_neg : ∀ a : R, -a + a = 0

mul_assoc : ∀ a b c : R, a * b * c = a * (b * c)

mul_one : ∀ a : R, a * 1 = a

one_mul : ∀ a : R, 1 * a = a

mul_add : ∀ a b c : R, a * (b + c) = a * b + a * c

add_mul : ∀ a b c : R, (a + b) * c = a * c + b * c

Demostrar que si R es un anillo, entonces

   ∀ a, b : R, (a + b) + -b = a

1	∀ a, b : R, (a + b) + -b = a

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Algebra.Ring.Defs

variable {R : Type _} [Ring R]
variable (a b : R)

example : (a + b) + -b = a :=
sorry

import Mathlib.Algebra.Ring.Defs

variable {R : Type _} [Ring R]

variable (a b : R)

example : (a + b) + -b = a :=

sorry