Ejercicios de selectividad

Introducción

En esta sección se encuentran problemas de selectividad de Matemáticas resueltos con sistemas de software libre. Los enunciados de los problemas se encuentran en

• Colección de Eduardo Ramos.
• Estrategias y modelos de exámenes de Matemáticas.
• Ejercicios resueltos de selectividad. Matemáticas II

Ejercicios

1. Hallar la ecuación de una esfera conociendo uno de sus diámetros.
2. Intersección de una esfera y un plano.
3. Hallar el ángulo que forman una recta y un plano.
4. Continuidad y derivabilidad de una función definida a trozos.
5. Aplicación del teorema del Valor Medio.
6. Maximizar el área de un rectángulo inscrito en un semicírculo.
7. Límite cuando x tiende a infinito de ln(x+1) - ln(x) y de x(ln(x+1) - lnx).
8. Calcular un determinante 4x4.
9. Planteamento y resolución de un sistema de ecuaciones.

1. Esferas y cónicas 1.1. Hallar la ecuación de una esfera conociendo uno de sus diámetros

a) Calcular las coordenadas del centro y el radio de la esfera: A: matrix([0,0,4]); B:matrix([2,4,0]); C:abs((A-B)/2); sqrt(C[1,1]^2+C[1,2]^2+C[1,3]^2);

b) Obtener su ecuación cartesiana: sist:[(x-1)^2+(y-2)^2+(z-2)^2=9];

c) Hallar la ecuación del plano tangente a la esfera en el punto P(2,4,4): CP:([1,2,2]); sist:[(x-2)*CP[1,1]+(y-4)*CP[1,2]+(z-4)*CP[1,3]];

1.2. Intersección de una esfera y un plano

a) Determinar el centro y el radio de la esfera solve(x^2+y^2+z^2-2*x+4*y+8*z-4);

b) Determinar el centro y el radio de la circunferencia intersección de la esfera del apartado anterior con el plano z=0; ecu:[x^2+y^2-2*x+4*y-4=0]; solve(ecu,[x,y]);

2. Rectas y planos 2.1. Hallar el ángulo que forman una recta y un plano

a) Calcular el seno del ángulo que forman la recta R y el plano п v:([-1,-1,2]); u:([2,-3,1]); v.u/(abs(sqrt(v[1,1]^2+v[1,2]^2+v[1,3]^2)*(abs(sqrt(u[1,1]^2+u[1,2]^2+u[1,3]^2);

3. Funciones, derivadas e integrales 3.1. Continuidad y derivabilidad de una función definida a trozos a) ¿Es continua en el punto x=0? f(x):=if x<0 then e^(-x)-1 else x^2+x; limit(f(x),x,0, plus); limit(f(x),x,0, minus);

b) ¿Es derivable en el punto x=0? limit(diff(f(x),x),x,0,plus); limit(diff(f(x),x),x,0,minus);

3.2. Aplicación del teorema del Valor Medio Determinar m y n para que se cumplan las hipótesis del teorema del valor medio en el intervalo [-4,2] g(x):=if x<2 then x^2+n*x else x^3+m limit(g(x),x,2,plus); limit(g(x),x,2,minus);

4. Maximización y minimización 4.1. Maximizar el área de un rectángulo inscrito en un semicírculo

h(x):=if y>0 then x^2+y^2=25 else 0; solve(diff(h(x),x),[x,y]);

5. Límites 5.1. Límite cuando x tiende a infinito de ln(x+1) - ln(x) y de x(ln(x+1) - lnx) t(x):=(ln(x+1)-ln(x)); limit(t(x),x,inf); z(x):=x*(ln(x+1)-ln(x)); limit(z(x),x,inf);

6. Matrices y determinantes 6.1. Calcular un determinante 4x4 M:matrix[(a,a,a,a],[2,a,a,a],[3,2,a,a],[4,3,2,a]); determinant(A);

7. Sistemas de ecuaciones 7.1. Planteamento y resolución de un sistema de ecuaciones sist:[x+y+z=95, x+2*y+5*z=200]; solve(sist,[x,y,z]);