header {* R2: Razonamiento automático sobre programas *}
theory R2
imports Main
begin
text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 1. Definir la función
sumaImpares :: nat ⇒ nat
tal que (sumaImpares n) es la suma de los n primeros números
impares. Por ejemplo,
sumaImpares 5 = 25
------------------------------------------------------------------ *}
fun sumaImpares :: "nat ⇒ nat" where
"sumaImpares 0 = 0"
| "sumaImpares (Suc n) = sumaImpares n + (2*n+1)"
value "sumaImpares 5" -- "= 25"
text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 2. Demostrar que
sumaImpares n = n*n
------------------------------------------------------------------- *}
lemma "sumaImpares n = n*n"
by (induct n) auto
text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 3. Definir la función
sumaPotenciasDeDosMasUno :: nat ⇒ nat
tal que
(sumaPotenciasDeDosMasUno n) = 1 + 2^0 + 2^1 + 2^2 + ... + 2^n.
Por ejemplo,
sumaPotenciasDeDosMasUno 3 = 16
------------------------------------------------------------------ *}
fun sumaPotenciasDeDosMasUno :: "nat ⇒ nat" where
"sumaPotenciasDeDosMasUno 0 = 2"
| "sumaPotenciasDeDosMasUno (Suc n) =
sumaPotenciasDeDosMasUno n + 2^(n+1)"
value "sumaPotenciasDeDosMasUno 3" -- "= 16"
text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 4. Demostrar que
sumaPotenciasDeDosMasUno n = 2^(n+1)
------------------------------------------------------------------- *}
lemma "sumaPotenciasDeDosMasUno n = 2^(n+1)"
by (induct n) auto
text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 5. Definir la función
copia :: nat ⇒ 'a ⇒ 'a list
tal que (copia n x) es la lista formado por n copias del elemento
x. Por ejemplo,
copia 3 x = [x,x,x]
------------------------------------------------------------------ *}
fun copia :: "nat ⇒ 'a ⇒ 'a list" where
"copia 0 x = []"
| "copia (Suc n) x = x # copia n x"
value "copia 3 x" -- "= [x,x,x]"
text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 6. Definir la función
todos :: ('a ⇒ bool) ⇒ 'a list ⇒ bool
tal que (todos p xs) se verifica si todos los elementos de xs cumplen
la propiedad p. Por ejemplo,
todos (λx. x>(1::nat)) [2,6,4] = True
todos (λx. x>(2::nat)) [2,6,4] = False
------------------------------------------------------------------ *}
fun todos :: "('a ⇒ bool) ⇒ 'a list ⇒ bool" where
"todos p [] = True"
| "todos p (x#xs) = (p x ∧ todos p xs)"
value "todos (λx. x>(1::nat)) [2,6,4]" -- "= True"
value "todos (λx. x>(2::nat)) [2,6,4]" -- "= False"
text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 7. Demostrar que todos los elementos de (copia n x) son
iguales a x.
------------------------------------------------------------------- *}
lemma "todos (λy. y=x) (copia n x)"
by (induct n) auto
text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 8. Definir la función
factR :: nat ⇒ nat
tal que (factR n) es el factorial de n. Por ejemplo,
factR 4 = 24
------------------------------------------------------------------ *}
fun factR :: "nat ⇒ nat" where
"factR 0 = 1"
| "factR (Suc n) = Suc n * factR n"
value "factR 4" -- "= 24"
text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 9. Se considera la siguiente definición iterativa de la
función factorial
factI :: "nat ⇒ nat" where
factI n = factI' n 1
factI' :: nat ⇒ nat ⇒ nat" where
factI' 0 x = x
factI' (Suc n) x = factI' n (Suc n)*x
Demostrar que, para todo n y todo x, se tiene
factI' n x = x * factR n
------------------------------------------------------------------- *}
fun factI' :: "nat ⇒ nat ⇒ nat" where
"factI' 0 x = x"
| "factI' (Suc n) x = factI' n (x * Suc n)"
fun factI :: "nat ⇒ nat" where
"factI n = factI' n 1"
value "factI 4" -- "= 24"
lemma fact:
"factI' n x = x * factR n"
by (induct n arbitrary: x)
(auto simp del: mult_Suc)
text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 10. Demostrar que
factI n = factR n
------------------------------------------------------------------- *}
corollary "factI n = factR n"
by (simp add: fact)
text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 11. Definir, recursivamente y sin usar (@), la función
amplia :: 'a list ⇒ 'a ⇒ 'a list
tal que (amplia xs y) es la lista obtenida añadiendo el elemento y al
final de la lista xs. Por ejemplo,
amplia [d,a] t = [d,a,t]
------------------------------------------------------------------ *}
fun amplia :: "'a list ⇒ 'a ⇒ 'a list" where
"amplia [] y = [y]"
| "amplia (x#xs) y = x # amplia xs y"
value "amplia [d,a] t" -- "= [d,a,t]"
text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 12. Demostrar que
amplia xs y = xs @ [y]
------------------------------------------------------------------- *}
lemma "amplia xs y = xs @ [y]"
by (induct xs) auto
end